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Le site héberge plusieurs sujets additionnels courts et synthétiques. Voir Sommaire.
Bardula est un pseudonyme créé par une artiste belge qui vit actuellement et travaille en France.
Bardula crée des tableaux lumineux, dont les tableaux hypnotiques "Interférences bleues" et "Blue ice" (voir Figures 1 et 2 ci-dessus).
Sources :
Light ZOOM Lumière.
Bardula.
Voici une sélection des meilleures illusions de mouvement (voir ci-dessus Figure 1 cf [GomboDigital], Figures 2 à 5 cf [Sélection.ca] et Figure 6 cf [Akiyoshi Kitaoka]) :
1. Vortex en rotation (Image Vectordivider via Getty Images)
2. Spirales en rotation (Image Vectordivider via Getty Images)
3. Effet hypnotisant (Image Mark Grenier via Shutterstock)
4. Défilement (Image Guten Tag Vector via Shutterstock)
5. Grille scintillante (Image Mark via Shutterstock)
6. "Expanding pupils" (Image de Akiyoshi Kitaoka)
Sources :
Sélection du Reader's Digest (Canada) - 24 illusions d'optique complètement étourdissantes.
GomboDigital - 5 illusions d'optique qui vont vous scotcher/.
Akiyoshi Kitaoka - Anomalous motion illusions 35.
L'Auteur de ce site a réalisé quatre sculptures éoliennes installées dans son jardin à Berrac (Gers).
Description :
Conception :
Ces sculptures sont fabriquées avec des produits de récupération (rails en aluminium pour ossature d'isolation thermique, bols de camping en PVC, flancs de bidon en plastique, balle de tennis, fer à béton, etc.).
Tous les éléments mobiles sont portés sur roulement à billes.
Tous les éléments fixes sont assemblés par visserie inox.
Les sculptures sont fixées au sol par un mât vertical (piquet de clôture en acier galvanisé ou ancien tuyau d'eau en acier).
Pierre Luu est un sculpteur français qui a créé des sculptures à mouvements imprévisibles, mues par le vent ou l'eau, dont l' "éolienne à mouvements aléatoires" (voir Figures ci-dessus, et vidéo "Mobile eolien art cinétique" dans [Pierre Luu]).
Description :
Figure 1 ci-dessus : vue générale (cf [Art et Eau]).
Figure 2 ci-dessus : zoom sur angle de vrillage des pales (séquence 0:12 de la vidéo).
Figure 3 ci-dessus : zoom sur longueur des pales (séquence 0:22 de la vidéo).
L' "éolienne à mouvements aléatoires" est composée de 5 pièces mobiles en équilibre instable (cf [Pierre Luu - Quelque chose ne tourne pas rond][Art et Eau - Quelque chose ne tourne pas rond]).
L'équilibre est d'autant plus instable qu'il n'y a pas de girouette pour orienter la sculpture dans la direction du vent. La boule bleue est esthétique et symbolise la Terre (cf mail du 5/3/2023 de Pierre Luu à Régis Petit).
Les deux pales sont de taille différente avec une rotation secondaire imbriquée dans la rotation principale (cf [Pierre Luu - Eolide].
La sculpture s'anime lentement et change de forme grâce à l'action du vent. Le mouvement s'entretient par inertie du fait de l'équilibre des masses (cf [Art et Eau - Quelque chose ne tourne pas rond]).
La sculpture se déploie dans une chorégraphie énigmatique et ne trouve une stabilité provisoire que lorsque les pales atteignent une certaine vitesse (cf [Pierre Luu - Quelque chose ne tourne pas rond]).
Conception :
L'ensemble est conçu dans une recherche d'équilibre entre les masses, les centres de gravité, les superficies exposées au vent et les angles relatifs des surfaces (cf [Pierre Luu - Quelque chose ne tourne pas rond]).
Les éléments mobiles sont fixés au moyen de roulements à billes pour toutes les sculptures en version projet (cf mail du 7/3/2023 de Pierre Luu à Régis Petit). Cette association permet des rotations et déplacements fluides même par vent faible (cf [Pierre Luu - Fragments mobile éolien).
Matériau : acier inoxydable et matériaux composites (cf [Art et Eau - Quelque chose ne tourne pas rond]).
Hauteur : 3 m 50 (cf [Art et Eau - Quelque chose ne tourne pas rond]).
Sources :
Pierre Luu - Mobile eolien art cinétique (YouTube, 01:57).
Pierre Luu - Un art en mouvement - Sculptures éoliennes et mobiles.
Pierre Luu - Un art en mouvement - Quelque chose ne tourne pas rond.
Pierre Luu - Un art en mouvement - Fragments mobile éolien.
Pierre Luu - Un art en mouvement - Eolide.
Pierre Luu - Un art en mouvement - Solaris : sculpture éolienne et solaire autonome en énergie.
Art et Eau - Ellipse, quelque chose ne tourne pas rond.
Jeff Kahn est un sculpteur américain qui a créé des sculptures cinétiques, intitulées "Forces invisibles", à partir d'aluminium et d'acier inoxydable.
Ces sculptures explorent l'équilibre et la gravité et comment des courants d'air presque imperceptibles interagissent avec elles. Elles sont extrêmement sensibles au milieu ambiant (faibles brises, chaleur du soleil, poids de la rosée du matin). Voir Figures 1, 2 et 3 ci-dessus montrant trois sculptures particulières : "Astrolabe", "Naked Alien" et "I Ching".
L'atelier de Jeff Kahn est situé à Lenhartsville, Pennsylvanie, USA.
Sources :
Jeff Kahn - Biographie.
Jeff Kahn - Catalogue.
Jeff Kahn - Videos.
Anthony Howe est un sculpteur américain qui a créé des sculptures mobiles hypnotiques, dont "Di-Octo" en 2014 (voir Figures 1, 2 et 3 ci-dessus, et vidéo "Di-Octo" dans [Anthony Howe] et [KULTT]).
Anthony Howe vit actuellement à Eastsound, sur l'île d'Orcas, comté de San Juan, dans l'Etat de Washington (USA).
Description :
Di-Octo est une sculpture mobile mi-pieuvre, mi-étoile, mue par le vent et quasi-silencieuse.
L'original Di-Octo, conçu et fabriqué par Anthony Howe, a été industrialisé en deux exemplaires identiques par Show Canada Inc (aciérie de Laval au Québec) comme suit (cf mail du 10/03/2023 de David Boulay (Show Canada Inc) à Régis Petit) :
Conception :
Di-Octo a 8
mètres de haut, 3 mètres de diamètre, pèse 725 kilogrammes et ne nécessite que 2 km/h de vent pour que ses pièces mobiles s'activent (cf [Université Concordia]).
Di-Octo est composée de 36 bras portant chacun 16 coupoles en acier très fin et tournant autour d'un anneau circulaire vertical. Les liaisons inter-bras sont de type roue intermédiaire à doigts d'entraînement. Voir détail en Figure 3 ci-dessus (cf [Show Canada]).
Les bras tournent toujours dans le même sens, quelle que soit la direction du vent. Cela est dû à la forme des coupoles (cf mail du 19/03/2023 de David Boulay à Régis Petit) :
Di-Octo est entièrement fabriquée en acier inoxydable 316, ce qui lui confère une meilleure résistance à la corrosion ainsi que des propriétés non-magnétiques (cf [Show Canada]).
Autres sculptures similaires :
Anthony Howe a conçu et fabriqué d'autres sculptures similaires à Di-Octo (cf [Anthony Howe, https://www.howeart.net/about]) :
Sources :
Anthony Howe.
Anthony Howe - Shindahiku (Fern pull).
The DC Blike Blogger - Shindahiku (Fern Pull).
KULTT - Les sculptures hypnotiques d'Anthony Howe.
Anthony Howe - Di-Octo (Youtube 1:10).
Anthony Howe - Di-Octo (long version) (Youtube 1:33).
Université Concordia - Di-Octo : captivant, cinétique et unique.
Show Canada.
JuanG3D : Di-Octo 3D Model.
What's on - Check out these alien-esque kinetic sculptures in Dubai.
UAE - Famous American artist brings kinetic sculptures to Dubai.
reddit - "Octo II", Anthony Howe, stainless steel, 2013..
Jennifer Townley est une artiste néerlandaise qui a créé des sculptures mobiles hypnotiques, dont "Asinas" en 2015 (voir Figure 1 ci-dessus, et vidéo "Asinas").
Vu à l'arrêt de face, on croirait voir une double hélice, telle l'habituelle représentation de l'ADN.
Description (cf [Jennifer Towley]) :
"Asinas" est une sculpture mobile composée de deux hélices qui s'entrelacent et glissent l'une dans l'autre, produisant un mouvement fluide et naturel.
Les deux hélices tournent lentement dans des directions opposées et à des vitesses légèrement différentes, ce qui transforme progressivement la sculpture.
Une démonstration du fonctionnement de cette sculpture permet de mieux comprendre cette description (voir vidéo "Asinas Working Demonstration" dans [Amogh Jadhav] et vidéo "SolidWorks Mechanical Sculpture" dans [tecnoloxia.org]).
Conception :
Les soixante-cinq briques blanches en bois qui forment les deux hélices augmentent de taille vers le milieu de la sculpture, lui donnant une forme conique.
Chaque brique a la forme d'un Z dont les angles font 90°. Les briques d'une hélice sont fixées sur l'axe de rotation. Les briques de l'autre hélice sont reliées entre elles par de petites entretoises (voir Figure 2 ci-dessus issue de [Amogh Jadhav]).
Les briques sont en bois peint. Le chassis est en acier ainsi que toutes les pièces reliant les engrenages à leurs axes, les roulements au chassis, etc.
Ensuite, il y a toutes les autres pièces : un moteur électrique, des engrenages droits et des pignons en acier lourd, deux courroies et de nombreux roulements (cf [The Plus Paper]).
Sources :
Asinas - Jennifer Townley - 2015 - Kinetic art (Youtube 2:31).
Jennifer Townley - Asinas.
L'Usine Nouvelle - Hypnotiques, ces sculptures cinétiques vous étonneront.
Amogh Jadhav - Asinas.
Amogh Jadhav - Asinas Working Demonstration (Youtube 2:14).
tecnoloxia.org - As esculturas cinéticas de Jennifer Townley.
MadCadSkills : Jennifer Townley - SolidWorks Mechanical Sculpture (Youtube 3:43).
The Plus Paper - Asinas : Fluent Movement ( http://www.thepluspaper.com/2015/03/23/asinas-fluent-movement/ ).
Theo Jansen est un sculpteur néerlandais qui a créé en 1991 des créatures étranges, dont le robot marcheur (voir Figures 1 et 2 ci-dessus).
Fonctionnement :
Ce robot marcheur est un mécanisme à pattes très légères qui peut se déplacer sur un plan horizontal sous l'action du vent, ou sur un plan incliné sous l'action de son propre poids (voir vidéo, cf [Jansen, Plaudens Vela]).
Le seul actionneur du robot est un vilebrequin central faisant la liaison entre les pattes et le corps du robot (voir roue de couleur rouge en Figure 2, et aussi [Exergia]).
Pour un robot à trois paires de pattes, le vilebrequin possède trois manivelles décalées successivement de 120° pour avoir un mouvement constant du robot pendant la phase propulsive (voir Figure 2).
Description du corps :
Le corps du robot se compose d'une plate-forme horizontale (longueur 2a) et de supports fixes verticaux (longueur l) portant le vilebrequin (excentricité m). Voir Figure 3 ci-dessus.
La double longueur (a) de la plate-forme est calculée pour assurer la non-collision entre pattes avant et pattes arrière.
La longueur (l) des supports est modifiable pour assurer un mouvement d'ensemble horizontal du robot. Augmenter ou diminuer la longueur (l) revient à faire pivoter l'ensemble des barres de chaque patte autour de chaque point fixe F.
Description des pattes :
Chaque patte est constituée de dix barres articulées (barres b à k) dont deux forment un lien rigide (barres e et h)). Voir Figure 3 ci-dessus.
Les deux pattes d'une même paire sont identiques et en miroir l'une de l'autre de chaque côté du vilebrequin.
Le pied de chaque patte décrit une courbe ovoïde dont la partie inférieure est quasiment plate et horizontale, permettant ainsi au pied d'être au contact avec le sol pendant la phase propulsive.
En phase retour, le pied décolle du sol et le robot peut enjamber de petits obstacles sans trop soulever son corps.
Le tableau de la Figure 3 donne la longueur de chaque barre selon différents auteurs :
Sources :
Jansen - Plaudens Vela.
Jansen - plaudens vela 1 (Youtube 0:53).
Wikipedia - Mécanisme de Jansen.
Exergia - Simulation von Theo Jansen's Strandbeest.
Giesbrecht Daniel - Design and optimisation of a one-degree-offreedom eight-bar leg mechanism for a walking machine.
Les fichiers suivants décrivent le patrimoine monumental et architectural de 140 communes situées à moins de 20 km des villes de Lectoure ou de Condom dans le Gers (France), et comprenant la Lomagne gersoise et ses environs.
Liste des communes :
Les communes sont listées alphabétiquement, chacune étant suivie du numéro de département : Gers (32 par défaut), Lot-et-Garonne (47), Tarn-et-Garonne (82).
Chaque fichier pdf pèse environ 500 Ko, le plus lourd étant Lectoure (3.3 Mo).
Sources :
- Wikipedia, Descriptif de chaque commune dont département, toponymie, histoire, maire, nombre d'habitants, altitude, lieux et monuments.
- Ministère de la Culture, Immeubles protégés au titre des Monuments Historiques, par département et par commune. N'inclut pas les sites protégés.
- Ministères Ecologie Energie Territoires, Liste des servitudes des sites et monuments du Gers jusque janvier 2015, par commune et incluant la protection des sites et des monuments au titre des Monuments Historiques.
- SDAP renommé STAP (Services Territoriaux de l'Architecture et du Patrimoine), Liste des monuments historiques et des sites du Lot-et-Garonne, par commune et jusqu'en 2006.
- DREAL Midi-Pyrénées (Direction Régionale de l'Environnement, de l'Aménagement et du Logement Midi-Pyrénées), Bilan des sites classés et inscrits du Tarn-et-Garonne, avril 2013, par commune.
- Ministère de la Culture, Base Mérimée du patrimoine monumental français, par commune et par monument incluant date d'origine, lieu, descriptif et propriété.
- Comet Anaïs Villages et bourgs de la Gascogne gersoise à la fin du Moyen Age (1250-1550), par commune, Thèse d'histoire, 2017, Volume 1 : Synthèse (405 p), Volume 2 : Figures (442 p), Volume 3 : Notices (680 p), Volume 4 : Atlas (391 p).
- Google, Recherche par commune (histoire, origine du nom, bastide, castelnau, castrum, fortification, rempart, château, fossé, vestige) ou par monument (protection récente des monuments et des sites au titre des Monuments Historiques)
- Google Images et Google Vidéos, Recherche par commune (monument, "carte postale", vidéo Youtube).
- IGN (Institut Géographique National, renommé Institut National de l'information Géographique et forestière), Géoportail, par commune (situation graphique des lieux-dits et des rues).
- Google, Google Maps, par commune (situation GPS des lieux-dits, rues principales, photos par Street View).
- Google, Recherche par commune (cadrans solaires, moulins, pigeonniers, puits, fontaines, lavoirs).
- Mapio, Photos d'internautes avec titre et géolocalisation précise. Recherche par Région, Département, Arrondissement, Commune.
Voir détail.
Voir détail.
Les constellations, regroupements apparents d'étoiles formant des figures imaginaires dans le ciel, ont fasciné l'humanité depuis des millénaires.
Aujourd'hui, 88 constellations officielles servent à cartographier le ciel. Certaines, comme la Petite Ourse ou Cassiopée, sont visibles toute l'année, tandis que d'autres, comme le Cygne en été ou Orion en hiver, ne se dévoilent qu'en certaines saisons.
Les constellations zodiacales, traversées par le Soleil au cours de l'année, font partie de ces 88 officielles et jouent un rôle particulier en astrologie.
L'observation du ciel révèle également des étoiles remarquables, telles que Sirius ou Vega, véritables points de repère dans la voûte céleste. Pour en profiter au mieux, il est alors important de suivre certains conseils pratiques d'observation.
C4.1. Constellations officielles [CHA][PER] :
Une constellation est un groupement apparent d'étoiles dans le ciel nocturne, vu depuis la Terre.
L'Union Astronomique Internationale (UAI) a défini 88 constellations officielles en 1922 [IAU1]. Elles couvrent la totalité de la sphère céleste, répartie entre l'hémisphère nord et sud.
A noter :
- L'étoile polaire (Polaris) est un excellent représentant du pôle nord céleste par lequel passe l'axe de rotation propre de la Terre. La déviation angulaire entre les deux (environ 0°38' en 2025) est en effet négligeable à l'oeil nu. Compte-tenu de la rotation propre de la terre, chaque constellation fait un tour complet en 24 heures autour de Polaris dans le sens horaire inverse.
- La position géométrique relative entre les constellations, ainsi qu'entre les étoiles d'une même constellation, ne change pas de manière significative durant la rotation de la Terre (mouvement diurne) et sa révolution autour du Soleil (mouvement saisonnier). Cela est dû à la très grande distance existant entre la Terre et les étoiles de ces constellations. Seul change la portion du ciel visible depuis un lieu donné sur Terre à un moment précis.
- Attention : sur une carte du ciel, les directions est et ouest sont inversées pour correspondre au point de vue de l'observateur regardant vers le ciel.
- Les étoiles scintillent. Ce phénomène est dû à la turbulence de l'atmosphère terrestre qui perturbe la lumière provenant de ces sources ponctuelles très éloignées.
- Les planètes, en revanche, ne scintillent pas ou très peu. Elles sont en effet beaucoup plus proches de la Terre et apparaissent sous forme de petits disques stables.
- Les objets les plus brillants du ciel nocturne terrestre pour l'hémisphère nord sont, par ordre décroissant de brillance :
C4.2. Liste des constellations :
Les 88 constellations officielles se répartissent comme suit :
* 54 constellations visibles totalement ou partiellement depuis la France métropolitaine :
- 7 constellations visibles toute l'année
- 20 constellations saisonnières visibles pendant l'été étendu (de mai à octobre)
- 15 constellations saisonnières visibles pendant l'hiver étendu (de novembre à avril)
- 12 constellations difficiles à voir à l'oeil nu
* 34 constellations non visibles depuis la France métropolitaine
Les 54 constellations visibles totalement ou partiellement depuis la France métropolitaine sont les suivantes, classées par ordre alphabétique :
Ces constellations sont décrites ci-dessous, en les classant par période de l'année puis par position dans le ciel, selon les définitions suivantes :
C4.3. Constellations visibles toute l'année :
Les constellations visibles toute l'année (constellations circumpolaires) sont les suivantes (voir Figures ci-dessous [IST][LES]) :
Pour trouver dans le ciel ces constellations, la méthode la plus simple est la suivante [DAR][CHA][PER], en se reportant à la carte ci-dessous :
- Carte du 25 juillet 2025 à 0h00 pour France métropolitaine ou latitudes de 40 à 55°N, avec zénith au centre de la portion de ciel visible [STE].
|
1a. Trouver la Grande Ourse : grande casserole située au nord, à une hauteur moyenne dans le ciel. Trouver l'étoile polaire Polaris : étoile brillante située près de la Grande Ourse en prolongeant vers le dessus de la casserole cinq fois la distance entre les deux étoiles du bord externe de la casserole (voir Figure 1 ci-dessus). 1b. Trouver la Petite Ourse : petite casserole avec trois étoiles brillantes : Polaris en bout du manche et deux étoiles du bord externe de la casserole (voir Figure 1 ci-dessus). 2. Trouver Cassiopée : W ou M, situé sur une ligne passant par la Grande Ourse avec Polaris au milieu. 3. Trouver le Dragon : la tête formant un triangle de trois étoiles brillantes (β, γ, ξ) situé au-dessus de la grande casserole perpendiculairement au bout du manche, le corps et la queue formant un grand S de six étoiles brillantes qui s'enroule partiellement entre la Grande Ourse et la Petit Ourse. 4. Trouver Céphée : polygone à sept étoiles brillantes, situé à mi-chemin entre Cassiopée et la tête du Dragon. 5. Trouver la Girafe : groupe de neuf étoiles dont une brillante située dans le prolongement du manche de la Petite Ourse. 6. Trouver le Lynx : arc de trois ou quatre étoiles brillantes visible essentiellement en hiver et au printemps, l'étoile la plus brillante (α) étant située près du Lion sur une ligne passant par Regulus avec la tête du Lion (ε) au milieu. |
C4.4. Constellations saisonnières d'été :
Les constellations saisonnières visibles pendant l'été étendu (de mai à octobre) sont les suivantes (voir Figures ci-dessous [IST][LES]) :
Pour trouver dans le ciel d'été ces constellations, la méthode la plus simple est la suivante [CHA][PER], en se reportant aux cartes ci-dessous :
- Triangle d'été.
- Carte du 25 juillet 2025 à 0h00 pour France métropolitaine ou latitudes de 40 à 55°N, avec zénith au centre de la portion de ciel visible [STE].
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Trouver le Triangle d'été proche du zénith vers minuit en été (juillet à septembre) : triangle quasi-isocèle formé de trois étoiles super brillantes : Vega (Lyre), Altair (Aigle) et Deneb (Cygne). Trouver l'étoile Vega : étoile la plus brillante du Triange d'été, de couleur bleue-blanche. 1. Trouver la Lyre : petit parallélogramme attaché à Vega. 2. Trouver l'Aigle : grand X terminé par Altair, étoile la plus au sud du Triangle d'été et blanche. 3. Trouver le Cygne : grande croix terminée par Deneb, étoile la plus au nord du Triangle d'été et blanche. 4. Trouver le Bouvier : groupe de sept étoiles brillantes dont une super brillante (Acturus, orange), situé près de la Grande Ourse en prolongeant le manche de la casserole. 5. Trouver Hercule : groupe de quatorze étoiles brillantes, situé juste devant la tête du Dragon (triangle β, γ, ξ) et aussi sur une ligne passant par Deneb avec Vega au milieu. 6. Trouver la Couronne Boréale : groupe de sept étoiles dont deux brillantes, situé à mi-chemin entre le Bouvier et Hercule. 7. Trouver la Balance : polygone à six étoiles brillantes, situé sur une ligne passant par la Grande Ourse avec le Bouvier au milieu. 8. Trouver le Scorpion : grand S à dix-neuf étoiles brillantes dont une super brillante (Antares, rouge), situé près de la Balance à l'est. 9. Trouver le Sagittaire : groupe de quinze étoiles brillantes, situé près de la queue brisée du Scorpion à l'est. 10a. Trouver Ophiuchus : polygone à douze étoiles brillantes, situé à mi-chemin entre Antares et Vega. 10b. Trouver le Serpent : groupe d'étoiles brillantes situé de part et d'autre d'Ophiuchus (sept pour la tête du serpent formant un Y et deux pour la queue) 11. Trouver Andromède : groupe de neuf étoiles brillantes, situé sur une ligne passant par Polaris avec Cassiopée au milieu. 12. Trouver Pégase : groupe de onze étoiles brillantes dont quatre formant un carré et une super brillante (Alpheratz, bleue) limitrophe avec Andromède. 13. Trouver les Poissons : grand V à trois étoiles brillantes, situé juste à côté de Pégase. 14. Trouver la Baleine : polygone de six étoiles brillantes prolongé par une ligne de trois autres brillantes, situé au sud des Poissons. 15. Trouver le Capricorne : polygone à huit étoiles brillantes, situé sur une ligne passant par Vega avec Altair au milieu. 16. Trouver le Verseau : groupe de dix étoiles brillantes, situé au sud-est du Cygne en prolongeant l'axe de ses ailes. 17. Trouver le Dauphin : petit losange avec queue supplémentaire, à cinq étoiles dont deux brillantes, situé juste devant l'oeil de l'Aigle (Altair). 18. Trouver la Flèche : flèche à quatre étoiles dont deux brillantes, située juste devant l'oeil de l'Aigle (Altair). 19. Trouver l'Ecu : petit losange à cinq étoiles dont une brillante, situé juste derrière la queue de l'Aigle. |
C4.5. Constellations saisonnières d'hiver :
Les constellations saisonnières visibles pendant l'hiver étendu (de novembre à avril) sont les suivantes (voir Figures ci-dessous [IST][LES]) :
Pour trouver dans le ciel d'hiver ces constellations, la méthode la plus simple est la suivante [CHA][PER], en se reportant aux cartes ci-dessous :
- Triangle d'hiver et hexagone d'hiver.
- Carte du 14 février 2025 à 0h00 pour France métropolitaine ou latitudes de 40 à 55°N, avec zénith au centre de la portion de ciel visible [STE].
- Le "Grand G".
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Trouver le Triangle d'hiver situé au sud vers minuit en hiver (décembre à février) : triangle quasi-isocèle formé de trois étoiles super brillantes : Sirius (Grand Chien), Procyon (Petit Chien) et Betelgeuse (Orion). Trouver l'étoile Sirius : étoile la plus brillante du Triange d'hiver, de couleur bleue-blanche. 1. Trouver le Grand Chien : groupe de dix étoiles brillantes dont Sirius. 2. Trouver le Petit Chien : groupe de deux étoiles brillantes dont Procyon, étoile la plus à l'est du Triangle d'hiver et blanche. 3. Trouver Orion : sablier à douze étoiles brillantes dont une ceinture de trois alignées et Betelgeuse, étoile la plus à l'ouest du Triangle d'hiver et rouge. 4. Trouver le Lièvre : groupe de huit étoiles brillantes, situé juste au sud d'Orion. 5. Trouver le Taureau : grand Y à onze étoiles brillantes dont une super brillante (Aldebaran, orange), situé juste au-dessus de l'arc d'Orion, sur une ligne passant par Sirius avec Betelgeuse au milieu. 6. Trouver le Cocher : polygone à neuf étoiles brillantes dont une super brillante (Capella, jaune) et une autre brillante limitrophe avec le Taureau (Elnath, bleue). 7. Trouver Persée : groupe de dix étoiles brillantes dont une super brillante (Mirfak, blanche), situé sur une ligne passant par Orion avec Le Taureau au milieu. 8. Trouver le Bélier : ligne courbe de quatre étoiles brillantes, située sur une ligne passant par Betelgeuse avec Aldebaran au milieu. 9. Trouver le Triangle : triangle allongé de trois étoiles brillantes, situé juste à côté du Bélier. 10. Trouver les Gémeaux : groupe de onze étoiles brillantes dont deux super brillantes (Pollux, orange, et Castor, blanche), situé devant les deux cornes du Taureau. 11. Trouver le Cancer : grand Y à quatre étoiles brillantes, situé sur une ligne passant par Sirius avec Procyon au milieu. 12. Trouver le Lion : polygone allongé de neuf étoiles brillantes dont une super brillante (Régulus, bleue), situé près de la Grande Ourse en prolongeant vers le dessous de la casserole cinq fois la distance entre les deux étoiles du bord externe de la casserole. 13. Trouver la Vierge : groupe de neuf étoiles brillantes dont une super brillante (Spica, bleue), situé à l'est du Lion. 14. Trouver le Corbeau : groupe de cinq étoiles brillantes, situé au sud-est du Lion. 15. Trouver la Coupe : polygone de quatre étoiles dont une brillante, situé au sud du Lion. Remarquer l'Hexagone d'hiver proche du zénith vers minuit en hiver (décembre à février) : hexagone symétrique à six étoiles super brillantes : Sirius (Grand Chien), Procyon (Petit Chien), Pollux (Gémeaux), Capella (Cocher), Aldebaran (Taureau), Rigel (Orion). Remarquer le "Grand G" proche du zénith vers minuit en hiver (décembre à février) : grand G à neuf étoiles super brillantes : Betelgeuse, Bellatrix et Rigel (Orion), Sirius (Grand Chien), Procyon (Petit Chien), Pollux et Castor (Gémeaux), Capella (Cocher), Aldebaran (Taureau). |
C4.6. Autres constellations :
Les autres constellations sont les suivantes :
12 constellations difficiles à voir à l'oeil nu :
* Constellations trop proches de l'horizon :
- La Colombe (Columba, Col)
- L'Eridan (Eridanus, Eri)
- L'Hydre (Hydra, Hya)
- Le Poisson Austral (Piscis Austrinus, PsA)
* Constellations trop faibles en brillance (aucune étoile n'ayant une magnitude inférieure à 4.0) :
- La Chevelure de Bérénice (Coma Berenices, Com)
- Le Lézard (Lacerta, Lac)
- Le Petit Lion (Leo Minor, LMi)
- Le Petit Renard (Vulpecula, Vul)
- Le Sextant (Sextans, Sex)
* Constellations noyées dans des régions denses en étoiles :
- Les Chiens de chasse (Canes Venatici, CVn)
- La Licorne (Monoceros, Mon)
- Le Petit Cheval (Equuleus, Equ)
34 constellations non visibles depuis la France métropolitaine :
- L'Autel (Ara, Ara)
- La Boussole (Pyxis, Pyx)
- Le Burin (Caelum, Cae)
- Le Caméléon (Chamaeleon, Cha)
- La Carène (Carina, Car)
- Le Centaure (Centaurus, Cen)
- Le Compas (Circinus, Cir)
- La Couronne Australe (Corona Australis, CrA)
- La Croix du Sud (Crux, Cru)
- L'Equerre (Norma, Nor)
- Le Fourneau (Fornax, For)
- La Grue (Grus, Gru)
- L'Horloge (Horologium, Hor)
- L'Hydre Mâle (Hydrus, Hyi)
- L'Indien (Indus, Ind)
- Le Loup (Lupus, Lup)
- La Machine Pneumatique (Antlia, Ant)
- Le Microscope (Microscopium, Mic)
- La Mouche (Musca, Mus)
- L'Octant (Octans, Oct)
- L'Oiseau de Paradis (Apus, Aps)
- Le Paon (Pavo, Pav)
- Le Peintre (Pictor, Pic)
- Le Phénix (Phoenix, Phe)
- Le Poisson Doré (Dorado, Dor)
- Le Poisson Volant (Volans, Vol)
- La Poupe (Puppis, Pup)
- Le Réticule (Reticulum, Ret)
- Le Sculpteur (Sculptor, Scl)
- La Table (Mensa, Men)
- Le Télescope (Telescopium, Tel)
- Le Toucan (Tucana, Tuc)
- Le Triangle Austral (Triangulum Australe, TrA)
- Les Voiles (Vela, Vel)
C4.7. Constellations zodiacales :
Le zodiaque astronomique est une bande dans le ciel qui s'étend d'environ 8° de part et d'autre de l'écliptique (plan de l'orbite terrestre autour du Soleil).
Il comprend treize constellations officielles qui sont les seules que le Soleil masque au cours de son parcours annuel, vu de la Terre.
Ces constellations sont les suivantes, listées de 1 à 12 dans l'ordre où le Soleil les traverse :
Leur visibilité depuis l'hémisphère nord est la suivante :
* Constellations visibles toute l'année : aucune.
* Constellations saisonnières d'été (de mai à octobre) : Balance, Scorpion, Ophiuchus, Sagittaire, Capricorne, Verseau, Poissons.
* Constellations saisonnières d'hiver (de novembre à avril) : Bélier, Taureau, Gémeaux, Cancer, Lion, Vierge.
C4.8. Conseils pour bien observer :
Pour bien observer les étoiles, constellations, planètes et satellites dans le ciel, il est conseillé de [CHA][PER] :
C4.9. Couleur et magnitude :
La couleur apparente des étoiles (vue à l'oeil nu) dépend principalement de leur température de surface selon le classement simplifié suivant :
- Bleu : étoiles très chaudes ( > 10 000 K environ), comme Spica.
- Blanc : étoiles chaudes (de 6 000 à 10 000 K environ), comme Sirius.
- Jaune : étoiles de température moyenne (de 5 200 à 6 000 K environ), comme le Soleil.
- Orange : étoiles froides (de 3 700 à 5 200 K environ), comme Aldebaran.
- Rouge : étoiles très froides ( < 3 700 K environ), comme Betelgeuse.
Cependant, des facteurs influencent sensiblement la couleur apparente :
- La brillance (effet blanchâtre pour les étoiles très lumineuses)
- L'atmosphère terrestre (effet rougeâtre près de l'horizon dû à la diffusion de la lumière dans l'air)
- La poussière interstellaire (accentuation du rouge par absorption des longueurs d'onde courtes (bleu))
- Les nuages de gaz interstellaires (absorption et diffusion de certaines longueurs d'onde selon leur composition)
- La sensibilité de l'oeil humain (atténuation du bleu et du rouge dans l'obscurité)
La magnitude apparente (M) d'une étoile correspond à son état de brillance perçu depuis la Terre :
M = -2.5 log10[F/F0]
avec :
F = flux lumineux reçu de l'étoile (en W/m2)
F0 = flux lumineux de référence correspondant à M = 0 (historiquement celui de Vega, avant les mesures actuelles plus précises).
M est une mesure normalisée qui tient compte de quatre facteurs :
- La luminosité intrinsèque de l'étoile. Elle correspond à la puissance totale de lumière (L en Watt) émise au niveau de sa surface, puis diffusée uniformément dans toutes les directions à travers une surface sphérique de rayon croissant r.
- La distance entre l'étoile et le Terre. La luminosité apparente (I en W/m2), perçue à la distance r de l'étoile, diminue en effet selon la loi de l'inverse du carré : I = L/(4 π r2).
- L'extinction (absorption et diffusion de la lumière par l'atmosphère terrestre, les poussières interstellaires et les nuages de gaz entre l'étoile et la Terre)
- La sensibilité de l'oeil humain (qui perçoit la luminosité apparente selon une échelle logarithmique inverse)
Attention : plus la valeur numérique (M) de la magnitude apparente est faible, plus l'étoile est brillante.
C4.10. Sources relatives aux constellations :
[CHA] ChatGPT, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par OpenAI.
[DAR] Découvrir le ciel à l'oeil nu, Bertrand D'Armagnac et Carine Souplet, Stelvision.
[IAU1] IAU, Les constellations.
[IAU2] IAU, Comment sont nommées les étoiles ?.
[IMA] Imago Mundi, La Girafe.
[IMA] Imago Mundi, Le Lion.
[IMA] Imago Mundi, Le Lynx.
[IMA] Imago Mundi, Ophiuchus.
[IMA] Imago Mundi, Sagittaire.
[IST] iStock, Constellations.
[IMA] Imago Mundi, Ophiuchus.
[LES] Les Astronautes, Comment reconnaître les constellations dans le ciel ?.
[PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
[STE] Stelvision, Carte du ciel du jour (pour France métropolitaine ou latitudes de 40 à 55°N, avec zénith au centre de la portion de ciel visible).
Voir détail.
L'acquisition d'une voiture électrique, qu'elle soit 100 % électrique, hybride ou à hydrogène, nécessite une réflexion approfondie.
Ces différents types de véhicule présentent les avantages et inconvénients suivants par rapport à une voiture classique à motorisation thermique (essence ou diesel).
D3.1. La voiture 100 % électrique
D3.2. La voiture hybride
D3.3. La voiture à hydrogène
D3.4. Synthèse :
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Statistiques : Fin 2024, le parc électrique roulant français des voitures particulières (hors utilitaires légers) représente environ 8 % du parc roulant total, se répartissant comme suit : 2.2 % (100 % électrique), 1.5 % (hybrides rechargeables) et 4.4 % (hybrides non rechargeables). Achat d'un véhicule 100 % électrique ou hybride : De nombreux acheteurs se focalisent sur le prix d'acquisition, les économies de carburant à court terme et les avantages fiscaux ou écologiques. Mais il faut aussi prendre en compte : - les coûts au-delà de 8 ans, incluant le remplacement éventuel de la batterie. - les dépenses sous-estimées, comme les surcoûts d'assurance, de réparation, de mises à jour logicielles, et le coût de recharge de la batterie, en particulier sur les bornes rapides. - le risque financier qu'un accident mineur endommage la batterie (par exemple, un simple choc contre un trottoir) et entraîne le classement du véhicule comme épave lorsque le coût du remplacement de la batterie est trop élevé par rapport à la valeur vénale du véhicule (classement économique VEI) ou lorsque le véhicule présente un risque de sécurité techniquement irréparable (classement technique VGE). - les inquiétudes sur l'autonomie de la voiture 100 % électrique et sur le réseau des bornes de recharge. - le peu de garagistes habilités à intervenir sur des véhicules électriques et hybrides. Pour les ménages aux revenus modestes, deux obstacles majeurs subsistent : le prix élevé à l'achat et le risque de classement en épave après un choc, même léger. Ainsi, l'attrait pour une voiture 100 % électrique ou hybride repose davantage sur des préoccupations environnementales, notamment la réduction des émissions de CO2, que sur une logique strictement économique à court ou long terme. Une décision éclairée passe donc par une analyse complète de tous ces aspects afin de permettre aux acheteurs de faire un choix objectif et adapté à leur situation. Achat d'un véhicule à hydrogène : L'achat d'un véhicule à hydrogène est aujourd'hui plus pertinent pour les flottes professionnelles que pour les particuliers en raison d'un marché encore en développement. Parmi les principaux obstacles, on note : - un prix d'achat élevé, - un réseau insuffisant de stations de ravitaillement en hydrogène, - comme pour les voitures électriques ou hybrides, le risque financier qu'un accident endommage la batterie, voire le réservoir d'hydrogène ou la pile à combustible, et entraîne le classement du véhicule comme épave. Réglementation européenne : A partir de 2035, selon la réglementation européenne publiée au Journal officiel de l'UE le 25 avril 2023 et entrée en vigueur le 15 mai 2023 [EUR] : - La vente de voitures neuves à moteur thermique (essence, diesel et hybrides actuelles), de type voiture particulière ou véhicule utilitaire léger, sera interdite dans l'Union européenne. Seuls les véhicules "zéro émission", comme les voitures 100 % électrique ou celles utilisant des carburants synthétiques (e-fuels) ou de l'hydrogène (FCEV), pourront être commercialisées. - L'interdiction ne s'applique pas au marché de l'occasion. - Les voitures thermiques déjà en circulation ne sont pas concernées et pourront continuer à être utilisées et revendues. Le marché des voitures hybrides, malgré leur succès actuel, est donc amené à disparaître progressivement d'ici 2035, sauf si elles atteignent des performances exceptionnelles en mode électrique. La voiture hybride apparaît ainsi comme une simple étape de transition vers le tout électrique. Secourisme : Les gestes supplémentaires à faire sur un véhicule accidenté de type électrique, hybride ou à hydrogène, sont les suivants : - Identifier et signaler aux secours le type de véhicule car ces véhicules présentent des risques spécifiques concernant notamment la batterie haute tension, le réservoir d'hydrogène haute pression et la gestion du feu. - Maintenir une distance de sécurité d'au moins 30 mètres autour du véhicule accidenté pour éviter tout danger de choc électrique, d'explosion ou d'incendie. - Ne pas utiliser d'eau pour éteindre un feu de batterie sans l'avis des pompiers. Dans le cas rare d'un feu de batterie Lithium-Métal, l'utilisation de l'eau peut aggraver l'incendie. |
D3.5. Sources relatives aux voitures électriques :
[AUJ1] L'auto-journal, Voitures électriques : quel est le coût des réparations ?.
[AUJ2] L'auto-journal, Véhicules électriques et entretiens : un vrai cauchemar ?.
[AUM] L'Automobile Magazine, Les voitures électriques sont-elles 3 fois plus dangereuses pour les piétons ?.
[AUT] Auto, Attention, les voleurs s'attaquent aux batteries des véhicules hybrides.
[CAP1] Capital, Accidents de la route : dans quels cas votre voiture est-elle jugée irréparable ?.
[CAP2] Capital, Automobile : découvrez pourquoi réparer un véhicule électrique coûte plus cher !.
[CEN] La Centrale, Quand la batterie flanche : dites adieu à votre voiture électrique et direction la casse !.
[CHA] ChatGPT, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par OpenAI.
[CNR] CNRS Le journal, Les défis de la voiture à hydrogène.
[ECO] Ecoconso, Voiture électrique : ses avantages et inconvénients.
[EDM] Les éditions du moteur, Voiture électrique : Le désamour inattendu qui touche 30 % des propriétaires.
[EUR] EUR-Lex, Règlement (UE) 2023/851 du Parlement européen et du Conseil du 19 avril 2023 modifiant le règlement (UE) 2019/631 en ce qui concerne le renforcement des normes de performance en matière d'émissions de CO2 pour les voitures particulières neuves et les véhicules utilitaires légers neufs conformément à l'ambition accrue de l'Union en matière de climat.
[MAC] Machines Production, Voitures électriques : l'épineux problème des batteries après un accident.
[NUM] Numerama, Au moindre accident votre voiture électrique peut finir au rebut à cause de sa batterie.
[PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
[PRE] Pressecitron, Une voiture électrique coûte-t-elle vraiment moins cher à l'usage qu'une thermique ?.
[QUE] Que choisir, Comment choisir une voiture hybride.
D7.1. Introduction :
La physique quantique est une branche fondamentale de la physique qui décrit l'univers à l'échelle microscopique au niveau des atomes, des molécules et des particules élémentaires, en tenant compte de leur nature duale d'onde et de particule.
Elle se distingue de la physique classique par des concepts contre-intuitifs tels que la quantification de l'énergie, la dualité onde-corpuscule, la superposition des états, l'indéterminisme quantique et la non-localité quantique.
Ces concepts ont donné naissance à de nombreuses technologies modernes telles que l'électronique, les ordinateurs quantiques, l'imagerie médicale et la nanotechnologie.
Albert Einstein a joué un rôle majeur dans le développement de la physique quantique, notamment par l'explication de l'effet photoélectrique (1905), la quantification des oscillateurs atomiques (1907), la dualité onde-corpuscule pour la lumière (1909), l'émission stimulée (1917) et le paradoxe EPR (1935).
Bien qu'il ait toujours reconnu la validité et l'efficacité du formalisme quantique, il s'opposait toutefois à l'interprétation probabiliste de Niels Bohr et de l'école de Copenhague. Einstein défendait une vision à la fois déterministe et locale du monde quantique, croyant en l'existence de "variables cachées" qui pourraient expliquer les phénomènes quantiques de manière plus complète.
Cependant, les expériences ultérieures, notamment celles de Alain Aspect en 1982 [ASP], ont contredit cette vision en démontrant que la mécanique quantique viole la localité quantique indépendamment de son caractère déterministe ou non.
La mécanique quantique constitue le socle théorique et mathématique qui formalise les principes fondamentaux régissant la physique quantique.
D7.2. Modèle standard de la physique des particules (rappel) :
Voir sujet Relativité - Lexique : Modèle standard de la physique des particules.
D7.3. Principes fondamentaux :
Les principes fondamentaux régissant la physique quantique sont les suivants [CHA][PER], listés par ordre chronologique de découverte.
1. Quantification de l'énergie (Max Planck, 1900, Albert Einstein, 1905-1917)
L'énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes, appelées quanta, et non des valeurs continues.
Ce principe a été progressivement établi et étendu comme suit :
- Rayonnement du corps noir (Max Planck, 1900, et prix Nobel de physique en 1918) : pour un atome, la différence d'énergie E entre deux niveaux d'énergie est donnée par : ΔE = h ν, où h est la constante de Planck et ν la fréquence associée à la transition.
- Effet photoélectrique (Albert Einstein, 1905, et prix Nobel de physique en 1921) : Einstein étend la quantification de Planck à la lumière elle-même.
- Quantification des oscillateurs atomiques (Albert Einstein, 1907) : Einstein applique la quantification aux vibrations des atomes dans un solide.
- Emission stimulée (Albert Einstein, 1917) : Einstein complète la description de l'interaction entre lumière et matière dans laquelle un photon incident provoque la désexcitation d'un atome, émettant un second photon de mêmes direction, fréquence et polarisation.
Confirmation de la quantification introduite par Planck (1900) : expérience de Franck et Hertz (1914) qui a montré que les électrons accélérés perdaient de l'énergie par quantités discrètes lors de collisions avec des atomes de mercure.
2. Dualité onde-corpuscule (Albert Einstein, 1909, Louis de Broglie, 1924)
Les objets quantiques, comme les électrons et les photons, présentent à la fois des propriétés corpusculaires et ondulatoires selon les conditions expérimentales.
La longueur d'onde λ associée à une particule de quantité de mouvement p est donnée par : λ = h/p
Pour une particule non relativiste de masse m et de vitesse v, on a : p = m v.
Pour un photon d'énergie E, on a : p = E/c
Ce principe a été établi en deux étapes comme suit :
- Einstein pose les bases de la dualité onde-corpuscule pour la lumière (1909).
- De Broglie généralise ce concept à toute la matière (1924, et prix Nobel de physique en 1929).
Confirmation : expérience de Davisson-Germer (1927) qui a montré la diffraction d'électrons par un cristal de nickel, confirmant ainsi leur nature ondulatoire.
3. Statistique des bosons et des fermions (Satyendra Nath Bose et Albert Einstein, 1924, Enrico Fermi et Paul Dirac, 1926)
Les bosons (de spin entier, comme le photon) suivent les statistiques de Bose-Einstein quant à leur comportement collectif.
Les fermions (de spin demi-entier, comme l'électron) suivent les statistiques de Fermi-Dirac quant à leur comportement collectif.
Confirmations :
- Condensat de Bose-Einstein (Eric Cornell et Carl Wieman, 1995, et prix Nobel de physique 2001) par refroidissement des atomes de rubidium (bosons).
- Blocage de Pauli (MIT, 2021) par refroidissement d'un nuage de gaz de lithium-6 (fermions).
4. Exclusion de Pauli (Wolfgang Pauli, 1925, et prix Nobel de Physique en 1945)
Deux fermions identiques, comme les électrons, protons ou neutrons, ne peuvent pas occuper simultanément le même état quantique dans un même système.
Ce principe est fondamental pour expliquer la structure électronique des atomes, en particulier la répartition des électrons dans les couches et sous-couches atomiques, ce qui conduit à la structure du tableau périodique des éléments.
Confirmations :
- Analyse de l'effet Zeeman (1927-1930).
- Etude de la structure des bandes électroniques et physique nucléaire (1930-1940).
5. Superposition quantique (collectif, 1926)
Un système quantique existe dans un état global indéterminé sous forme d'une superposition de plusieurs états simultanément jusqu'à ce qu'une mesure soit effectuée. Après la mesure, le système s'effondre dans un état unique correspondant au résultat observé.
Confirmation : expérience de Clinton Davisson et Lester Germer (1927) portant sur la diffraction d'électrons par un cristal.
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Formalisation [PER][CHA] : Elle s'applique à tout phénomème quantique, comme l'expérience de Stern-Gerlach (voir ci-après) pour le cas discret et le calcul avec méthode Schrödinger continue dans le cas continu. La fonction d'onde Ψ(x, t) est une représentation abstraite contenant toutes les informations possibles sur l'état d'une particule ou d'un système quantique à un instant donné. Elle permet de calculer les probabilités des différents résultats des mesures mais ne détermine pas avec certitude la résultat d'une mesure unique. Elle s'exprime mathématiquement de façon standard comme la superposition d'états propres Ψj sous la forme : - Cas discret : Ψ(x, t) = ∑j [cj Ψj(x, t)] où j est l'indice qui numérote les différents états propres Ψj - Cas continu : Ψ(x, t) = ∫R [c(k) Ψk(x, t) dk] où k est une variable continue. où la variable x peut être une position, un volume, une quantité de mouvement, une énergie, etc. Compte-tenu de la condition de normalisation (voir ci-après), l'unité de Ψ(x, t) est sans dimension dans le cas discret et la racine carrée de l'inverse de l'unité de x dans le cas continu (par exemple, Ψ(x,t) a l'unité de m-1/2 pour x exprimé en mètre). Les états propres Ψj sont des modes caractéristiques du système pour lesquels la mesure d'un observable donne toujours le même résultat avec une probabilité de 100 %. Ces modes sont analogues : - Cas discret : aux fréquences spécifiques de réglage d'une radio, où l'observable est la fréquence radio, - Cas continu : aux modes de vibration spécifiques d'une corde tendue, où l'observable est la fréquence de vibration. Chaque état propre Ψj(x, t) s'exprime sous la forme complexe : Ψj(x) e-i Ej t/h' avec une partie non temporelle Ψj(x) solution de l'équation de Schrödinger stationnaire et une partie phase dépendant du temps t. Ej est l'énergie associée à l'état propre Ψj et h' la constante de Planck réduite. Les coefficients cj sont les amplitudes de probabilité associées à chaque état propre Ψj. Ils s'expriment sous la forme complexe : |cj| ei θj où |cj| est le module du coefficient et θj l'angle de phase initiale dans le plan complexe. La détermination des coefficients cj est essentiellement expérimentale. Les modules |cj| sont obtenus par des mesures statistiques sur de nombreuses copies du système. Les phases relatives nécessitent des techniques plus avancées comme la tomographie quantique. Plus généralement, quel que soit le type d'état quantique (propre ou superposé), l'amplitude de probabilité est un coefficient complexe associé à chaque état propre de la fonction d'onde, permettant de calculer la probabilité d'observer un résultat spécifique lors d'une mesure. Ce concept fut introduit en 1926 par Max Born [BOU] qui montra que la fonction d'onde Ψ ne pouvait pas être interprétée directement comme une probabilité car cela violerait les règles de calcul des probabilités pour des événements composés. Il proposa que la probabilité d'observer un état donné soit donnée par le carré du module de l'amplitude de probabilité, soit |Ψ|2 D'où les quatre cas suivants : 1. Cas discret d'un état propre Ψj : l'état du système est Ψj, avec une amplitude de probabilité de 1 pour Ψj et une probabilité de 1 d'observer l'état Ψj 2. Cas continu d'un état propre Ψj : l'état du système est Ψj(x, t), avec une amplitude de probabilité Ψj(x, t) et une densité de probabilité ρ(x, t) = |Ψj(x, t)|2 donnant la probabilité de trouver au temps t la valeur x de la variable mesurée. 3. Cas discret d'une superposition d'états propres : l'état du système est une superposition Ψ(x, t) = ∑j cj Ψj(x, t), avec une amplitude de probabilité cj pour chaque état propre Ψj et une probabilité Pj = |cj|2 d'observer l'état Ψj 4. Cas continu d'une superposition d'états propres : l'état du système est une superposition Ψ(x, t) = ∫R c(k) Ψk(x, t) dk, avec une densité d'amplitude de probabilité c(k) pour chaque état propre Ψk et une densité de probabilité ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 donnant la probabilité de trouver au temps t la valeur x de la variable mesurée en tenant compte des effets d'interférence quantique entre les différents états propres. A noter que l'amplitude de probabilité est la fonction d'onde elle-même uniquement dans le cas continu d'un état propre (cas 2). La condition de normalisation garantissant que la somme des probabilités est égale à 1 impose par ailleurs que : 1. Cas discret d'un état propre Ψj : ∑i |Ψj(xi)|2 = 1 où xi sont les points de discrétisation. 2. Cas continu d'un état propre Ψj : ∫R |Ψj(x, t)|2 dx = 1 3. Cas discret d'une superposition d'états propres : ∑j |cj|2 = 1 4. Cas continu d'une superposition d'états propres : ∫R |c(k)|2 dk = 1 ou ∫R |Ψ(x, t)|2 dx = 1 Exemple concret (expérience de Stern-Gerlach, 1922) : La fonction d'onde d'un atome d'argent dont le spin est dans une superposition d'états selon l'axe z, peut s'écrire : Ψ = c1 |+z> + c2 |-z> où les états propres |+z> et |-z> représentent respectivement les orientations "up" et "down" du spin selon l'axe z. Ces états propres sont aussi les vecteurs propres de l'opérateur de spin Sz qui permet de mesurer la projection du moment angulaire sur l'axe z. Cet opérateur est défini par la matrice suivante : Sz = h'/2 (1 0) (0 -1) où h' est la constante de Planck réduite. Les vecteurs propres associés à cette matrice sont |+z> = (1, 0)T pour la valeur propre +h'/2 (spin "up"), et |-z> = (0, 1)T pour la valeur propre -h'/2 (spin "down"). Ces valeurs propres traduisent la quantification des projections du moment angulaire sur l'axe z, exprimées en unités de h' Les coefficients complexes c1 = 1/(21/2) et c2 = i/(21/2) sont les amplitudes de probabilité, tenant compte à la fois des modules et de la phase relative entre les deux états propres. Par conséquent, si l'on effectue une mesure du spin sur l'axe z, il y a 50 % de chances (= |c1|2) d'obtenir la valeur + h'/2 (état "up") et 50 % de chances (= |c2|2) d'obtenir la valeur -h'/2 (état "down"). |
6. Indéterminisme quantique (Max Born, 1926, et prix Nobel de Physique en 1954)
Les résultats des mesures ne sont pas déterministes, mais probabilistes, lorsque le système évolue librement entre les mesures ou est réinitialisé à son état initial avant chaque nouvelle expérience.
En revanche, des mesures répétées dans les mêmes conditions expérimentales, à très court intervalle, donnent le même résultat car le système reste dans l'état mesuré après la première observation.
Confirmation : expériences répétées sur les fentes de Young.
Interprétations :
- Dans l'interprétation de Copenhague (Bohr, Heisenberg), ce principe remet en question l'idée que les propriétés d'un système quantique ont une réalité objective indépendante de la mesure.
- Mais d'autres interprétations, comme celle de De Broglie-Bohm (théorie à variables cachées) ou celle de Everet (mondes multiples), contestent cette idée tout en restant compatibles avec les prédictions expérimentales. Pour ce faire, l'interprétation de De Broglie-Bohm préserve le déterminisme tout en acceptant le principe de non-localité quantique, et l'interprétation de Everett évite le problème de la non-localité en proposant que tous les résultats possibles d'une mesure se produisent simultanément dans des branches d'univers distinctes.
7. Incertitude quantique (Werner Heisenberg, 1927, et prix Nobel de Physique en 1932)
Il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle certaines paires de grandeurs physiques peuvent être mesurées, notamment position et quantité de mouvement, énergie et temps, spin et orientation.
Par exemple, la relation liant les incertitudes entre position (x) et quantité de mouvement (p) est donnée par :
Δx Δp ≥ h'/2
où h' est la constante de Planck réduite.
Confirmation indirecte : expérience de Davisson-Germer (1927) portant sur la diffraction d'électrons par un cristal de nickel.
8. Effet tunnel (George Gamow, 1928)
Une particule peut traverser une barrière énergétique même sans l'énergie suffisante classiquement requise. La fonction d'onde de la particule ne s'annule pas au niveau de la barrière mais s'atténue à l'intérieur de celle-ci, permettant une probabilité non nulle de la traverser.
Confirmation : expérience de George Gamow (1928) portant sur la désintégration alpha des noyaux radioactifs.
9. Intrication quantique (paradoxe EPR, par Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen, 1935)
Deux particules sont dites intriquées lorsqu'elles forment un système quantique global tel que la mesure de l'état de l'une détermine instantanément l'état de l'autre, quelle que soit la distance qui les sépare.
Ces corrélations quantiques instantanées ne constituent pas une transmission de signal, échappant ainsi au cadre de causalité relativiste sans le contredire.
Confirmation : expériences de Alain Aspect (1982, et prix Nobel de physique 2022) qui ont confirmé les prédictions de la mécanique quantique en violation des inégalités de Bell, confirmant ainsi l'intrication quantique [ASP].
10. Intégrale de chemin (Richard Feynman, 1948)
Une particule allant d'un point à un autre emprunte simultanément tous les chemins possibles pour arriver à destination. Chaque chemin est associé à une amplitude complexe (module et phase) et le probabilité de trouver la particule à un endroit donné est déterminée par la somme des amplitudes de toutes les trajectoires possibles.
Cette approche est une reformulation élégante et puissante de l'équation de Schrödinger.
Confirmation : expérience de Hitachi (1989) portant sur l'interférence d'électrons uniques.
11. Décohérence quantique (David Bohm, 1951)
Un système quantique peut perdre sa cohérence (superposition d'états) en interagissant avec son environnement, conduisant à un comportement apparemment classique.
Confirmation : expériences montrant la transition quantique-classique (Serge Haroche, 1996, Anton Zeilinger, 2003).
12. Non-localité quantique (théorème de Bell, par John Bell, 1964)
Les objets quantiques peuvent présenter des corrélations instantanées à distance. La non-localité englobe l'intrication quantique en incluant des corrélations dans le temps, des systèmes multi-particules complexes, des interactions entre particules et objets macroscopiques, des phénomènes délocalisés sans nécessiter d'interaction directe.
Confirmation : expériences de Alain Aspect (1982) qui ont confirmé les prédictions de la mécanique quantique en violation des inégalités de Bell, confirmant ainsi la non-localité [ASP].
13. Théorie quantique des champs (collectif)
La théorie quantique des champs (TQC) est un cadre théorique unifiant mécanique quantique et relativité restreinte. Elle modélise les particules comme des excitations localisées de champs quantiques qui remplissent tout l'espace-temps, permettant notamment d'expliquer la création et l'annihilation de particules.
Seule l'intrication quantique échappe à l'interprétation de la causalité par son caractère non-local et l'absence de transmission de signal, tout en restant compatible avec le formalisme de la relativité restreinte.
On peut citer les contributions suivantes :
- Théorie quantique du champ électromagnétique (Paul Dirac, 1927) confirmé en 1930 par l'analyse des spectres atomiques (notamment Alfred Lande et Otto Stern).
- Electrodynamique quantique (QED) décrivant l'interaction entre la lumière et la matière (Richard Feynman, Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, Freeman Dyson, 1940, et prix Nobel de physique en 1965), confirmée en 1947 par Polykarp Kusch et Henry Foley par des expériences sur le moment magnétique de l'électron.
- Théories de jauge non abéliennes (Yang Chen-Ning et Robert Mills, 1954) donnant un cadre théorique pour décrire les interactions non abéliennes comme l'interaction faible et forte.
- Unification de l'électromagnétisme et de l'interaction faible dans un modèle standard (Steven Weinberg, Abdus Salam, Sheldon Glashow, 1960, et prix Nobel de physique 1979), confirmée en 1983 au CERN par la découverte des bosons W+, W- et Z0.
- Boson de Higgs (Peter Higgs et François Englert, 1964, et prix Nobel de physique 2013) confirmé en 2012 au CERN par les expériences ATLAS et CMS du LHC (Grand collisionneur de hadrons).
- Chromodynamique quantique (QCD) décrivant l'interaction forte entre quarks et gluons (David Gross, Frank Wilczek, David Politzer, 1973, et prix Nobel de physique 2004, Kenneth G. Wilson, 1974), confirmée en 1979 au centre DESY (Deutsches Elektron SYnchrotron) par l'observation des jets hadroniques issus de collisions de particules à haute énergie.
D7.4. Etat quantique :
L'état quantique d'une particule élémentaire est une description mathématique complète de ses aspects observables et probabilistes, distincte de ses propriétés intrinsèques.
Il s'étend également aux systèmes composés où les interactions, les corrélations et les phénomènes d'intrication entre particules jouent un rôle fondamental.
Il se formalise par un vecteur d'état |Ψ> dans un espace abstrait de Hilbert, associé à une fonction d'onde Ψ(x,t) dans une base concrète, généralement celle des positions ou des quantités de mouvement.
Les propriétés intrinsèques sont des caractéristiques invariantes qui définissent la nature fondamentale de la particule, en particulier la masse m et les nombres quantiques intrinsèques.
Les observables sont des grandeurs physiques mesurables (comme la position x ou la quantité de mouvement p) représentés mathématiquement par des opérateurs hermitiens (comme X ou P).
- Avant mesure, l'observable est une prédiction statistique obtenue en calculant la moyenne pondérée des résultats possibles de la mesure, les poids étant déterminés par les probabilités associées à l'état quantique initial du système.
- Après mesure, un observable fournit une valeur qui correspond à l'une des valeurs propres de l'opérateur associé à l'observable.
Les opérateurs agissent sur l'état quantique du système (fonction d'onde ou vecteur d'état dans un espace de Hilbert) pour calculer des informations, telles que les valeurs possibles des observables (valeurs propres) et les probabilités associées à chaque résultat de mesure. Pour exemples :
- l'opérateur position X est la multiplication par x sous la forme : X(Ψ(x)) = x Ψ(x), permettant de calculer la valeur moyenne de la position pour cet état.
- l'opérateur énergie cinétique T agit sur la fonction d'onde sous la forme : T(Ψ(x)) = -h'2/(2 m) (d2Ψ(x, t)/dx2)
- l'opérateur quantité de mouvement P agit par dérivation sous la forme : P(Ψ(x)) = -i h' dΨ(x)/dx, permettant de calculer la valeur moyenne de la quantité de mouvement pour cet état.
A noter que P peut s'écrire aussi : P = -i h' d/dx
- l'opérateur hamiltonien H agit sur la fonction d'onde sous la forme : H(Ψ(x, t)) = -h'2/(2 m) (d2Ψ(x, t)/dx2) + V(x) Ψ(x, t), permettant de calculer l'énergie totale du système.
A noter que H peut s'écrire aussi : H = -h'2/(2 m) (d2/dx2) + V(X) = P2/(2 m) + V(X)
- l'opérateur moment cinétique J agit sur la fonction d'onde sous forme d'un produit vectoriel : J(Ψ(x, t)) = r x P(Ψ(x, t)), où r est le vecteur position et P l'opérateur quantifié de mouvement, permettant de calculer le moment cinétique du système.
- l'opérateur parité π agit la fonction d'onde sous la forme : π(Ψ(x)) = Ψ(-x), permettant de déterminer la symétrie de la fonction d'onde par rapport à l'inversion spatiale.
- les opérateurs d'échelle (création a+ et annihilation a) agissent sur les états quantiques en ajoutant ou retirant une particule ou un quantum d'excitation.
- l'opérateur spin S agit sur les fonctions d'onde de spin sous la forme de matrices 2x2 de Pauli, permettant de décrire le moment cinétique intrinsèque des particules. Ces matrices sont les suivantes :
σ1 = σx =
(0 1)
(1 0)
σ2 = σy =
(0 -i)
(i 0)
σ3 = σz =
(1 0)
(0 -1)
Ces matrices vérifient la propriété : σ1 σ2 σ3 = i I où I est la matrice Identité.
La valeur propre est un résultat possible et spécifique obtenu lors de la mesure d'un observable sur un système quantique. Elle est obtenue avec certitude si le système est dans un état propre correspondant, et avec une probabilité donnée si le système est dans une superposition d'états propres. Voir expérience de Stern-Gerlach.
Le vecteur propre représente l'état du système lorsque la mesure d'un observable donne une valeur propre. Voir expérience de Stern-Gerlach.
Les vecteurs propres forment une base de l'espace des états quantiques permettant de décrire toutes les configurations possibles du système.
Les probabilités de mesure décrivent comment ces observables se distribuent dans leurs domaines de valeurs possibles en termes de densité de probabilités.
Elles suivent la règle de Born selon laquelle la densité de probabilité ρ vaut |<Ψj|Ψ>|2 où Ψj est l'état propre associé à une valeur propre de l'observable mesuré, c'est-à-dire l'état dans lequel se trouve le système immédiatement après la mesure.
La notation bra-ket <.|.> désigne le produit scalaire hermitien qui généralise le produit scalaire classique aux espaces vectoriels complexes sous la forme :
< u|v > = v+.u
où :
u et v = deux vecteurs colonnes quelconques
v+ = adjoint de v = conjugué complexe transposé tel que v+ = (v*)T
* = opérateur conjugué complexe sans transposition
Exemple : si u = (1 + 2 i, 3)T et v = (4 + 5 i, 6 i)T, alors v* = (4 - 5 i, -6 i)T, v+ = (v*)T = (4 - 5 i, -6 i) et < u|v > = v+.u = (4 - 5 i)(1 + 2 i) + (-6 i)(3) = 14 - 15 i
Exemples de particules élémentaires avec distinction intrinsèque/observable :
Caractéristiques de l'Electron e- :
| Classification : Lepton
| Composition : N/A (Particule élémentaire)
| Masse (m) = 0,511 MeV/c2
| Moment magnétique intrinsèque (μ) = -9,284 10-24 J/T
| Chiralité = Droite et Gauche (mélange possible)
| Symétrie CPT (Charge, Parité, Temps) : Oui
| Interactions fondamentales : forces électromagnétique, faible et gravitationnelle
| Durée de vie (τ) = parfaitement stable (6,6 1028 années)
| Anti-particule : positron
| Nombres quantiques intrinsèques :
| | Spin (S) = 1/2
| | Isospin (T3) = -1/2 (pour l'isospin faible)
| | Charge électrique (Q) = -1e
| | Charge de couleur : N/A (particule autre que Quark et Gluon)
| | Saveur (Le) = électronique
| | Nombre leptonique (L) = +1
| | Nombre baryonique (B) = 0
| Nombres quantiques observables :
| | Nombre quantique principal (n) = entier strictement positif
| | Nombre quantique secondaire ou azimutal (l) = entier de 0 à n - 1
| | Nombre quantique magnétique (ml) = entier de -l à +l
| | Nombre quantique magnétique de spin ou projection de spin (ms) = +1/2 ("up") ou -1/2 ("down")
| | Nombre quantique de moment angulaire total (j) = |l ± s|
| | Nombre quantique ou projection du moment angulaire total (mj) = de -j à +j par pas entiers
| | Projection du moment magnétique (μz) = ±9,284 10-24 J/T
| | Parité (P) = selon contexte
| | Position, quantité de mouvement et énergie totale
Caractéristiques du Positron e+ = Anti-électron :
| Classification : Anti-Lepton
| Composition : N/A (Particule élémentaire)
| Masse (m) = 0,511 MeV/c2
| Moment magnétique intrinsèque (μ) = +9,284 10-24 J/T
| Chiralité = Gauche et Droite (mélange possible)
| Symétrie CPT (Charge, Parité, Temps) : Oui
| Interactions fondamentales : forces électromagnétique, faible et gravitationnelle
| Durée de vie (τ) = parfaitement stable en isolation et courte en présence de matière
| Anti-particule : électron
| Nombres quantiques intrinsèques :
| | Spin (S) = 1/2
| | Isospin (T3) = +1/2 (pour l'isospin faible)
| | Charge électrique (Q) = +1e
| | Charge de couleur : N/A (particule autre que Quark et Gluon)
| | Saveur (Le) = électronique
| | Nombre leptonique (L) = -1
| | Nombre baryonique (B) = 0
| Nombres quantiques observables :
| | Nombre quantique principal (n) = entier strictement positif
| | Nombre quantique secondaire ou azimutal (l) = entier de 0 à n - 1
| | Nombre quantique magnétique (ml) = entier de -l à +l
| | Nombre quantique magnétique de spin ou projection de spin (ms) = +1/2 ("up") ou -1/2 ("down")
| | Nombre quantique de moment angulaire total (j) = |l ± s|
| | Nombre quantique ou projection du moment angulaire total (mj) = de -j à +j par pas entiers
| | Projection du moment magnétique (μz) = ±9,284 10-24 J/T
| | Parité (P) = selon contexte
| | Position, quantité de mouvement et énergie totale
D7.5. Méthodes de calcul quantique :
Toutes les méthodes de calcul quantique ont pour objet de calculer les valeurs possibles des observables et leurs probabilités de mesure, mais elles le font de manières différentes selon les domaines d'application.
Attention : il est courant d'omettre dans les équations certaines constantes universelles, notamment la constante de Planck (h), la constante de Planck réduite (h'), la vitesse de la lumière (c), la matrice Identité (I) et la constante gravitationnelle (G).
Parmi les méthodes de calcul, on peut citer :
D7.5.1. Méthode non-relativistes de type Schrödinger :
Ces approches étudient l'évolution temporelle de l'état quantique |Ψ> (i.e. fonction d'onde Ψ(x, t)), tandis que les observables restent fixes sauf si le potentiel V(x, t) dépend explicitement du temps.
Elles sont utilisées notamment en chimie quantique et suivent l'équation de Schrödinger (1926, et prix Nobel de Physique 1933).
En particulier, pour une particule sans spin de masse m, se déplaçant dans un espace unidimensionnel et soumise à un potentiel V(x), cette équation s'écrit sous la forme :
(L1) i h' dΨ(x, t)/dt = -(1/2)(h'2/m)(d2Ψ(x, t)/dx2) + V(x) Ψ(x, t)
où h' est la constante de Planck réduite (ou constante de Dirac = h' = h/(2 π))
et h est la constante de Planck (h = 6,626 10-34 J.s).
Voir exemple de calcul avec méthode Schrödinger continue et exemple de calcul avec méthode Schrödinger discrétisée.
D7.5.2. Méthodes relativistes de type Schrödinger :
L'évolution temporelle de l'état quantique est décrite par des équations d'onde généralisant l'équation de Schrödinger pour des particules se déplaçant à des vitesses proches de celle de la lumière. On peut citer :
1. Equation de Dirac pour les particules relativistes de spin 1/2 (exemples : électron, neutrino).
En particulier, pour une particule libre, cette équation s'écrit :
(D1) (i h' γμ dμ - m c I) Ψ = 0
où :
Ψ est la fonction d'onde de Dirac à quatre composantes, appelée spineur, qui encode simultanément les deux états propres du spin ("up"/"down"), les solutions d'énergie positive/négative (particule/anti-particule) et leur couplage relativiste, comme suit :
- Lorsque la quantité de mouvement p est nulle, les quatre composantes se décomposent en deux paires distinctes. La première (Φ) encode les amplitudes de probabilité associées aux états propres du spin de la particule (exemple : électron). La seconde (Χ) encode celles de l'antiparticule correspondante (exemple : positron).
- Dès que p ≠ 0, les quatre composantes décrivent soit une particule (énergie positive), soit une antiparticule (énergie négative). Chaque solution individuelle reste un état à quatre composantes où le spin (décrit par les matrices de Pauli σ) et la quantité de mouvement (vecteur p) sont couplés. L'une des paires encode les états propres du spin hérités du référentiel au repos, modulés par le mouvement. L'autre paire encode leur modification relativiste en reliant les deux paires via l'énergie totale E.
m est la masse de la particule au repos.
I est la matrice Identité 4x4
γμ sont des matrices 4x4 spécifiques introduites par Dirac, l'indice μ variant de 0 à 3 (0 correspondant au temps). Ces matrices sont les suivantes en représentation standard Pauli-Dirac :
γ0 =
(I 0)
(0 -I)
γi =
(0 σi)
(-σi 0)
γ5 = i γ0 γ1 γ2 γ3
(0 I)
(I 0)
dans lesquelles σi sont les matrices 2x2 de Pauli et I est la matrice Identité 2x2.
Les matrices γμ satisfont à la relation d'anticommutation du groupe de Lorentz : {γμ, γν} = γμ γν + γν γμ = 2 gμν I avec gμν = métrique de Minkowski et I = matrice Identité 4x4.
dμ sont les dérivées partielles par rapport aux coordonnées xμ = (ct, x1, x2, x3) dans l'espace-temps de Minkowski.
γμ dμ implique une sommation sur l'indice μ conformément à la convention de sommation d'Einstein.
L'équation de Dirac relie donc les propriétés dynamiques de la particule (énergie et quantité de mouvement via l'opérateur différentiel i h' γμ dμ) à sa masse propre m.
Voir exemple de calcul avec méthode Dirac.
2. Equation de Klein-Gordon pour les particules relativistes de spin
0
(exemple : boson de Higgs).
3. Equation de Proca pour les particules relativistes de spin
1
(exemples : photon, bosons W et Z).
4.
Equation de Rarita-Schwinger pour les particules relativistes de spin 3/2
(exemple : gravitino).
5. Généralisations des équations de Rarita-Schwinger pour les particules relativistes de spin demi-entier supérieur à 3/2.
6. Equations d'Einstein linéarisées pour le graviton sans masse de spin 2.
Toutes ces équations sont invariantes par transformation de Lorentz-Poincaré, ce qui les rend compatibles avec la relativité restreinte.
Cependant, l'interprétation de ces équations dans le cadre d'une théorie à une seule particule conduit à certaines incohérences.
C'est pourquoi la Théorie quantique des champs s'impose comme un cadre plus général et cohérent.
D7.5.3. Méthodes de type Heisenberg :
Ces approches étudient l'évolution temporelle des observables, tandis que l'état quantique reste fixe.
Elles sont utilisées notamment en calculs d'opérateurs quantiques et Théorie quantique des champs. Elles suivent l'équation de Heisenberg :
(H1) dA/dt = (i/h') [H, A] + DA/Dt
où :
A est l'opérateur A(t) qui représente l'observable à étudier (par exemple la position x(t) ou la quantité de mouvement p(t))
H est l'opérateur hamiltonien du système
[H, A] est le commutateur entre H et A, défini par : [H, A] = H A - A H
DA/Dt est la dérivée explicite de l'opérateur A en représentation de Schrödinger, obtenue en dérivant uniquement sa partie temporelle. Par exemple si A(t) = cos(ω t) X alors DA/Dt = -ω sin(ω t) X
Voir exemple de calcul avec méthode Heisenberg.
D7.5.4. Méthodes de type Dirac :
Ces approches combinent l'évolution temporelle de l'état quantique et des observables en décrivant les interactions entre particules relativistes dans le cadre de la théorie quantique des champs, notamment en électrodynamique quantique à travers les calculs perturbatifs et les diagrammes de Feynman.
Ces approches utilisent une version élargie de l'équation relativiste de Dirac pour particule libre de spin 1/2.
D7.5.5. Méthodes algébriques avancées :
Ces méthodes générales, basées sur des outils algébriques (matrices, opérateurs, algèbres de Lie), sont utilisées lorsqu'il est difficile, voire impossible, de résoudre exactement les équations de mouvement, qu'elles soient différentielles (type Schrödinger), matricielles (type Heisenberg) ou interactionnelles (type Dirac).
Elle permettent la résolution de systèmes simples (atome, petites molécules) ou plus complexes (grandes molécules, matériaux) en fournissant des solutions exactes ou approximatives.
On peut citer :
- la théorie des perturbations qui est utilisée lorsque le système peut être considéré comme une modification d'un cas soluble.
- la méthode variationnelle qui fournit une estimation des énergies des états liés en minimisant une fonction d'essai.
- les approches ab initio qui résolvent approximativement l'équation de Schrödinger à partir des principes fondamentaux, sans recourir à des paramètres empiriques.
D7.5.6. Méthodes numériques :
Ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est impossible d'obtenir les solutions analytiques des équations.
On peut citer : méthode de Monte-Carlo, méthode des différences finies, méthode de Lanczos.
D7.6. Exemple de calcul avec méthode Schrödinger continue :
L'exemple suivant illustre les calculs quantiques en utilisant l'équation de Schrödinger.
Hypothèses :
On considère une particule libre, non relativiste, massique et sans spin, située dans un puits de potentiel infini unidimensionnel.
L'évolution temporelle de la fonction d'onde Ψ est alors donnée par l'équation de Schrödinger (relation L1).
(L1) i h' dΨ(x, t)/dt = -(1/2)(h'2/m)(d2Ψ(x, t)/dx2) + V(x) Ψ(x, t)
Dans le cas ou l'on cherche les états propres Ψj du système (numérotés par l'indice j), la fonction d'onde Ψj(x,t) peut se décomposer en une partie spatiale stationnaire et une partie temporelle oscillante, sous la forme :
(L2) Ψj(x,t) = Ψj(x) T(t)
La relation (L1) devient alors :
(L3) i h' (1/T) dT/dt = -(1/2)(h'2/m) (1/Ψj(x)) (d2Ψj(x)/dx2) + V(x)
Puisque le membre de gauche dépend uniquement de t et celui de droite uniquement de x, ils sont égaux à une constante Ej (l'énergie totale de la particule dans l'état propre Ψj).
Equation spatiale :
En conséquence, la relation (L3) devient :
(S1) -(1/2)(h'2/m) (d2Ψj(x)/dx2) + V(x) Ψj(x) = Ej Ψj(x)
Si le puits de potentiel infini est de largeur L, on a de plus :
(S2) V(x) = 0 pour 0 < x < L et V(x) = ∞ pour x ≤ 0 ou x ≥ L
A l'intérieur du puits, l'équation (S1) devient alors :
(S3) d2Ψj(x)/dx2 + kj2 Ψj(x) = 0
avec : kj = (2 m Ej)1/2 / h'
La solution générale est donc :
(S4) Ψj(x) = A sin(kj x) + B cos(kj x)
où A et B sont des constantes arbitraires.
Pour x = 0, Ψj(x) = 0 d'où B = 0
Pour x = L, Ψj(x) = 0 d'où A sin(kj L) = 0 qui nécessite d'avoir des valeurs discrètes pour kj et Ej telles que :
(S5) kj = j π/L
(S6) Ej = (1/2)(h' kj)2 /m = (1/2)(j π h'/L)2 /m
avec j entier positif non nul (Ψj ne pouvant pas être nulle partout dans le puits).
Finalement, on obtient :
(S7) Ψj(x) = A sin(j π x/L)
Il reste à calculer A en tenant compte de la condition de normalisation de Ψj(x, t) :
(S8) ∫0 à L [|Ψj(x)|2 dx] = 1
Compte-tenu de la relation (S7) et de l'identité trigonométrique : sin2(θ) = (1/2) (1 - cos(2 θ)), on obtient alors :
1 = ∫0 à L [(1/2) A2 (1 - cos(2 j π x/L)) dx] = (1/2) A2 (∫0 à L [dx] - ∫0 à L [cos(2 j π x/L) dx])
La première intégrale vaut [x]0 à L = L
La seconde intégrale vaut (L/(2 j π)) [sin(2 j π x/L)]0 à L = 0
D'où : A = ±(2/L)1/2
On prend par convention la valeur positive de A car une fonction d'onde peut toujours être multipliée par un facteur de phase globale (comme -1 ou même eiθ) sans changer les prédictions physiques.
La relation (S7) devient alors :
(S9) Ψj(x) = (2/L)1/2 sin(j π x/L) avec j entier positif non nul
Equation temporelle :
Compte-tenu de la constante Ej, la relation (L3) devient :
(T1) dT(t)/dt + i Qj T(t) = 0
avec :
(T2) Qj = Ej/h' = (j π/L)2 h'/(2 m)
qui admet comme solution :
(T3) T(t) = Cj e-i Qj t
avec Cj constante complexe arbitraire qui vaut n'importe quel facteur de phase de module 1 (Cj = ei θj avec θj nombre réel) afin de respecter la condition de normalisation de Ψj(x, t) (relation S8).
Pour simplifier les calculs, on prend conventionnellement Cj = 1. Mais ce choix est arbitraire et doit être revu si des interférences ou des superpositions d'états sont étudiées, car les phases relatives entre différents états jouent un rôle crucial dans ces situations.
Fonction d'onde complète :
Compte-tenu des relations (L2)(S9)(T3), la fonction d'onde normalisée complète est donc :
(C1) pour 0 < x < L : Ψj(x,t) = Ψj(x) T(t) = (2/L)1/2 sin(j π x/L) ei θj e-i Qj t avec j entier positif non nul ; sinon : Ψj(x,t) = 0
Pour toute valeur de j, il y a toujours deux noeuds aux extrémités du puits (x = 0 et x = L) et (j - 1) noeuds additionnels à l'intérieur du puits.
L'état fondamental (j = 1) correspond à : Ψ1(x,t) = (2/L)1/2 sin(π x/L) ei θ1 e-i Q1 t avec deux noeuds aux extrémités du puits.
Le premier état excité (j = 2) correspond à : Ψ2(x,t) = (2/L)1/2 sin(2 π x/L) ei θ2 e-i Q2 t avec un noeud additionnel.
etc.
Amplitudes de probabilité :
La densité ρ de probabilité s'écrit alors :
(D1) ρ = |Ψj(x,t)|2 = (2/L) sin2(j π x/L)
A noter que cette densité de probabilité est indépendante du temps, ce qui caractérise un état stationnaire.
Mesures de l'observable :
Compte-tenu de la relation (T2), l'énergie Ej de la particule dans l'état propre Ψj(x) s'écrit :
(O1) Ej = (j π h'/L)2/(2 m) = (j h/L)2/(8 m) avec j entier positif non nul
En conclusion :
- Si la particule est dans un état propre Ψj(x), son énergie mesurée sera toujours Ej.
- Si la particule est dans une superposition d'états propres Ψ(x) = ∑j [cj Ψj(x)], son énergie mesurée sera Ej avec une probabilité |cj|2 où cj est le coefficient de la superposition.
D7.7. Exemple de calcul avec méthode Schrödinger discrétisée :
L'exemple suivant est le même que le précédent en supposant que la fonction d'onde Ψ(x) est discrétisée sur un ensemble de N points {x1, ..., xi, ..., xN} intérieurs à l'intervalle [0, L].
Equation de Schrödinger discrétisée :
Soit j l'indice qui numérote les différents états propres Ψj du système quantique.
Attention à ne pas confondre les indices i et j : l'indice j, bien que limité à N dans cette représentation discrétisée, n'est pas intrinsèquement lié à l'indice i des points de discrétisation spatiale et pourrait, en principe, s'étendre à l'infini dans un système quantique continu. Cette distinction est fondamentale pour éviter toute confusion entre la nature physique des états quantiques (indexés par j) et leur représentation numérique discrète (indexée par i).
Le développement de Taylor à l'ordre 2 de Ψj(xi+1) et de Ψj(xi-1) s'écrit :
Ψj(xi+1) = Ψj(xi) + Δ dΨj(xi)/dx + (1/2) Δ2 d2Ψj(xi)/dx2
Ψj(xi-1) = Ψj(xi) - Δ dΨj(xi)/dx + (1/2) Δ2 d2Ψj(xi)/dx2
où Δ est l'espacement entre les points discrétisés.
En additionnant ces deux relations, on obtient la dérivée seconde d2Ψj(xi)/dx2 sous forme discrétisée comme suit :
d2Ψj(xi)/dx2 = (Ψj(xi+1) - 2 Ψj(xi) + Ψj(xi-1)) / Δ2
Dans le cas de l'exemple, cela donne :
- intervalle Δ = L/(N + 1)
- en limite gauche : Ψj(x0) = Ψj(0) = 0
- en limite droite : Ψj(xN+1) = Ψj(L) = 0
L'équation de Schrödinger (relation S1) sous forme discrétisée devient alors une équation matricielle pour tout état propre Ψj :
f H Ψj = Ej Ψj
avec :
f = facteur multiplicatif = -(h'/Δ)2/(2 m)
Ψj = vecteur colonne de composantes Ψj(xi)
Ej = énergie propre associée à l'état propre Ψj
H = matrice hermitienne =
(-2 1 0 0 ... 0 0 0)
( 1 -2 1 0 ... 0 0 0)
( 0 1 -2 1 ... 0 0 0)
( 0 0 1 -2 ... 0 0 0)
( . . . . . . .)
( 0 0 0 0 ... -2 1 0)
( 0 0 0 0 ... 1 -2 1)
( 0 0 0 0 ... 0 1 -2)
Il reste maintenant à trouver les N valeurs propres λj de la matrice H et les N vecteurs propres Ψj associés. Deux méthodes existent :
Résolution par diagonalisation de H :
Elle consiste à trouver, généralement par des méthodes numériques, deux matrices D et P tel que : H = P D P-1
dans laquelle :
- D est une matrice diagonale qui contient sur sa diagonale les valeurs propres de H
- P est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres associés aux valeurs propres
- P-1 est la matrice inverse de P
- A noter que pour une matrice symétrique réelle comme H, alors P est orthogonale (P-1 = PT).
Résolution par calcul direct :
Le calcul direct des N valeurs propres λj de la matrice H, généralement par des méthodes numériques, consiste à résoudre l'équation caractéristique : det(H - λ I) = 0 où I est la matrice Identité.
Plus rapidement, la matrice H étant tridiagonale symétrique avec a = -2 sur la diagonale principale et b = 1 sur les deux diagonales secondaires, on obtient la solution : λj = a + 2 b cos(j π/(N + 1)). Voir démonstration ci-après.
Les énergies propres Ej sont alors liées aux valeurs propres λj par la relation : Ej = f λj
Ces énergies représentent les résultats possibles d'une mesure de l'énergie du système.
Le calcul direct des N vecteurs propres Ψj consiste ensuite à résoudre le système : (H - λ I) Ψj = 0, par exemple par la méthode de Gauss.
Plus rapidement, la matrice H étant tridiagonale symétrique, les composantes i du jième vecteur propre normalisé est donné par : Ψji = (2/(N + 1))1/2 sin(j i π/(N + 1)). Voir démonstration ci-après.
Ces vecteurs propres décrivent les états propres de la particule, chaque vecteur propre représentant la distribution spatiale de probabilité de la particule pour l'énergie correspondante. Cela signifie que |Ψji|2 = (2/(N + 1)) sin2(j i π/(N + 1)) donne la probabilité de trouver la particule en position xi pour l'état d'énergie Ej.
La condition de normalisation : ∑i |Ψji|2 = 1 pour chaque état propre Ψj se trouve alors automatiquement vérifiée.
Comparaison avec la solution du cas continu :
En remplaçant i par x/Δ = x (N + 1)/L dans l'expression de Ψji, on obtient :
Ψj(x) = (2/(N + 1))1/2 sin(j π x/L)
qui est équivalent à la partie spatiale de Ψj(x,t) dans la relation C1 à un facteur de normalisation près ((2/(N + 1))1/2 au lieu de (2/L)1/2).
Cette différence reflète la nature différente de la normalisation portant sur une densité de probabilité dans le cas continu, et sur des probabilités ponctuelles dans le cas discret.
Concernant l'énergie Ej, elle s'écrit : Ej = f λj = f (-2 + 2 cos(j π/(N + 1)))
Quand N est grand, compte-tenu du développement limité du cosinus autour de 0 : cos(α) = 1 - (1/2)α2 + o(α2), l'expression Ej devient : Ej = -f (j π/(N + 1))2
Compte-tenu de Δ = L/(N + 1), on a par ailleurs : f = -(h'/Δ)2/(2 m) = -(h' (N + 1)/L)2/(2 m)
En remplaçant f dans Ej, on trouve alors : Ej = (j π h'/L)2/(2 m) qui est équivalent à l'énergie Ej du cas continu (relation O1).
Ces deux équivalences montrent la cohérence entre les approches continue et discrète pour cet exemple de calcul.
Démonstration de : λj = a + 2 b cos(j π/(N + 1)) :
Pour simplifier la notation, on pose vi = Ψji
L'équation (H - λ I) Ψj = 0 donne la relation (R1) suivante pour chaque composante i telle que 2 ≤ i ≤ N - 1 :
(R1) b vi-1 + a vi + b vi+1 - λ vi = 0
On suppose la solution de la forme vi = sin(i θj) où θj est un paramètre à déterminer.
Compte-tenu de l'identité trigonométrique : sin((i ± 1) θj) = sin(i θj) cos(θj) ± cos(i θj) sin(θj), la relation (R1) se simplifie alors en :
(R2) λ = a + 2 b cos(θj)
Les conditions aux limites : v0 = vN + 1 = 0 donnent ensuite :
v0 = 0 = sin(0 θj), ce qui est satisfait.
vN + 1 = 0 = sin((N + 1) θj), ce qui nécessite :
(R3) θj = j π/(N + 1)
D'où la solution complète : λj = a + 2 b cos(j π/(N + 1))
Démonstration de : Ψji = (2/(N + 1))1/2 sin(j i π/(N + 1))
Soit Cj un facteur de normalisation positif tel que : Ψji = Cj sin(i θj)
La norme du vecteur Ψj doit être égale à 1, ce qui impose :
1 = ∑i Ψji2 = Cj2 ∑i sin2(i θj)
Il reste à calculer : ∑i sin2(i θj)
Compte-tenu de l'identité trigonométrique : sin2(α) = (1/2) (1 - cos(2 α)) et de la formule d'Euler pour l'exponentielle complexe : exp((-1)1/2 α) = cos(α) + (-1)1/2 sin(α), on obtient :
(R4) ∑i sin2(i θj) = (1/2) (N - S)
avec : S = Partie_réelle[∑i exp(2 i θj (-1)1/2)]
La somme des exponentielles forment une série géométrique de raison r = exp(2 θj (-1)1/2) et de premier terme r, ce qui s'écrit :
S = Partie_réelle[r (1 - rN)/(1 - r)]
On a par ailleurs :
r = exp(2 θj (-1)1/2) = exp(2 j π/(N + 1) (-1)1/2)
Supposons que r = 1. Cela impliquerait que son argument est un multiple entier de 2 π c'est-à-dire : 2 j π/(N + 1) = 2 k π avec k entier, soit après simplification : j = k (N + 1) ce qui impossible (vu que 0 < j < N + 1). Le dénominateur (1 - r) n'est donc jamais nul.
On a aussi :
rN = exp(2 θj (-1)1/2)N = exp((-1)1/2 2 j π N/(N + 1)) = exp((-1)1/2 2 j π (1 - 1/(N + 1)) = exp((-1)1/2 2 j π) / exp((-1)1/2 2 j π/(N + 1)) = 1/r
D'où finalement : S = Partie_réelle[-1] = -1
En reportant cette valeur dans la relation (R4), on obtient :
∑i sin2(i θj) = (1/2) (N + 1)
Cj2 = 2/(N + 1)
D'où la forme normalisée du vecteur Ψj :
Ψji = (2/(N + 1))1/2 sin(j i π/(N + 1))
D7.8. Exemple de calcul avec méthode Heisenberg :
L'exemple suivant illustre les calculs quantiques en utilisant l'équation de Heisenberg.
On considère un oscillateur harmonique quantique unidimensionnel de masse m et de fréquence angulaire ω (relative à la raideur du ressort).
L'évolution temporelle d'un observable quelconque a(t) est alors donnée par l'équation de Heisenberg (relation H1) sous la forme :
(H1) dA/dt = (i/h') [H, A] + DA/Dt
avec :
A = opérateur A(t) qui représente l'observable a(t)
X = opérateur position
P = -i h' d/dx = opérateur quantité de mouvement
(H2) H = P2/(2 m) + V(X) = hamiltonien H du système
V(X) = (1/2) m ω2 X2 = potentiel pour un oscillateur quantique harmonique
[H, A] = H A - A H = commutateur entre H et A
DA/Dt = dérivée explicite de l'opérateur A en représentation de Schrödinger
On cherche à calculer les deux opérateurs A(t) = X(t) et A(t) = P(t).
Ce sont deux opérateurs de base qui ne dépendent pas explicitement du temps dans leur définition mathématique, donc : DA/Dt = 0
Calcul de [P, X] :
[P, X] Ψ = P (X Ψ) - X (P Ψ) = -i h' d(x Ψ)/dx - x (-i h' dΨ/dx) = -i h' (Ψ + x dΨ/dx) + i h' x dΨ/dx = -i h' Ψ
donc [P, X] = -i h'
Calcul de [P2, X] :
Compte-tenu de la propriété des commutateurs : [AB, C] = (AB)C - C(AB) = (ABC - ACB) + (ACB - CAB) = A[B, C] + [A, C]B, on peut écrire :
(H3) [P2, X] = P[P, X] + [P, X] P = -2 i h' P
Calcul de [X2, P] :
(H4) [X2, P] = X [X, P] + [X, P] X = 2 i h' X
Calcul de [H, A] pour A = X :
Compte-tenu de la relation (H2), cela s'écrit :
[H, X] = (1/(2 m)) [P2, X] + (1/2) m ω2 [X2, X]
Compte-tenu de la relation (H3) et de la propriété [X2, X] = 0, cela s'écrit finalement :
[H, X] = -i h' P/m
Et la relation (H1) devient alors :
(H5) dX/dt = P/m
Calcul de [H, A] pour A = P :
Compte-tenu de la relation (H2), cela s'écrit :
[H, P] = (1/(2 m)) [P2, P] + (1/2) m ω2 [X2, P]
Compte-tenu de la propriété [P2, P] = 0 et de la relation (H4), cela s'écrit finalement :
[H, P] = i h' m ω2 X
Et la relation (H1) devient alors :
(H6) dP/dt = -m ω2 X
Les relations (H5)(H6) constituent un système d'équations différentielles couplées dont la solution est la suivante :
X(t) = X(0) cos(ω t) + (1 /(m ω)) P(0) sin(ω t)
P(t) = P(0) cos(ω t) - m ω X(0) sin(ω t)
Les opérateurs X et P oscillent donc de manière harmonique à la fréquence ω en fonction des conditions initiales X(0) et P(0).
A noter qu'on retrouve la relation classique P(t) = m dX(t)/dt qui est valide dans le cas de l'exemple et dans certains systèmes simples en représentation de Heisenberg, mais qui n'est pas universelle pour tous les problèmes quantiques. Cette relation est notamment valide pour tout H de la forme : P2/(2 m) + V(X) avec V(X) combinaison de termes polynomiaux (V(X) = a + b X + c X2 + ...), vu que [Xn, X] = 0 pour tout n entier positif ou nul.
D7.9. Exemple de calcul avec méthode Dirac :
L'exemple suivant illustre les calculs quantiques en utilisant l'équation de Dirac.
On considère un fermion de Dirac libre (sans interaction externe), décrit par une fonction d'onde relativiste.
L'évolution temporelle de la fonction d'onde Ψ est alors donnée par l'équation de Dirac (relation D1) sous la forme :
(D1) (i h' γμ dμ - m c I4) Ψ(ct, x) = 0
qui s'explicite comme suit :
(D1*) i h' γ0 dΨ/d(ct) = (-i h' γk dk + m c I4)Ψ(ct, x)
avec :
k = 1, 2, 3 (composantes spatiales)
m = masse de la particule au repos.
I4 = matrice Identité 4x4
γμ = matrices 4x4 spécifiques introduites par Dirac.
x = vecteur spatial 3D = (x1, x2, x3)
dμ = dérivées partielles par rapport aux coordonnées xμ = (ct, x1, x2, x3) dans l'espace-temps de Minkowski.
Dans le cas ou l'on cherche les états propres Ψj du système (numérotés par l'indice j), la fonction d'onde Ψj(ct, x) peut se décomposer en une partie spatiale stationnaire et une partie temporelle oscillante, sous la forme :
(D2) Ψj(ct, x) = Ψj(x) T(ct)
La relation (D1*) devient alors :
(D3) i h' (1/T(ct)) dT(ct)/d(ct) γ0 Ψj(x) = (-i h' γk dk + m c I4) Ψj(x)
En multipliant à gauche les deux membres par la matrice γ0, et compte-tenu de la propriété (γ0)2 = I4, la relation D3 devient :
(D4) i h' (1/T(ct)) dT(ct)/d(ct) I4 Ψj(x) = γ0 (-i h' γk dk + m c I4) Ψj(x)
Pour que cette relation soit vraie quel que soit t et x, il faut nécessairement que les deux membres soient des opérateurs matriciels agissant de manière identique sur Ψj(x), donc proportionnels à la matrice Identité (I4) avec un facteur scalaire commun Ej/c (l'énergie relativiste totale de la particule dans l'état propre Ψj).
Equation spatiale :
En conséquence, la relation (D4) devient :
(DS1) γ0 (-i h' γk dk + m c I4) Ψj(x) = (Ej/c) I4 Ψj(x)
On cherche alors une solution sous la forme d'une onde plane progressive :
(DS2) Ψj(x) = uj(pj) exp(i pj.x/h')
où :
pj = (p1, p2, p3) est le vecteur quantité de mouvement relativiste en référentiel inertiel, exprimée dans l'espace 3D = m γj vj où γj est le facteur de Lorentz (γj = (1 - vj2/c2)-1/2).
uj(pj) est un spineur associé à pj
pj.x est le produit scalaire spatial 3D = pjk xk
Compte-tenu de la dérivée spatiale dkexp(i pj.x/h') = (i pk/h') exp(i pj.x/h'), la relation (DS1) se simplifie comme suit :
(DS3) γ0 (γk pk + m c I4) uj(pj) = (Ej/c) I4 uj(pj)
On décompose ensuite le spineur uj(pj) en deux spineurs de Pauli Φj et Χj tel que :
(DS4) uj(pj) = (Φj, Χj)T
Compte-tenu de l'expression des matrices γ0 et γk, la relation DS3 devient alors un système couplé de deux équations :
(DS5) σk pk Χj = (Ej/c - m c) Φj
σk pk Φj = (Ej/c + m c) Χj
En substituant Χj dans la première équation, et compte-tenu de l'expression des matrices de Pauli σ, on obtient :
(Ej/c - m c)(Ej/c + m c) Φj = (σk pk)2 Φj = pj2 I2 Φj
D'où l'expression de l'observable Ej :
(DS6) Ej = ±(pj2 c2 + m2 c4)1/2
Cette relation dite "de dispersion" correspond aux particules (électrons) pour l'énergie Ej positive et aux anti-particules (positrons) pour l'énergie Ej négative.
Il reste maintenant à exprimer Φj et Χj pour trouver uj(pj)
Pour l'électron (Ej > 0), la seconde équation DS5 donne :
(DS7) Χj = Φj σk pk/(Ej/c + m c)
Si * désigne le conjugué complexe sans transposition et si wj est un spineur de Pauli normalisé arbitraire (tel que (wj*)T.wj = 1), par exemple (1, 0)T pour un spin orienté selon l'axe +z, alors Φj peut être choisi comme suit :
Φj = ((Ej/c + m c)/(2 m c))1/2 wj afin de vérifier la relation de normalisation : (uj*(pj))T γ0 uj(pj) = 2 m c
Pour le positron (Ej < 0), la première équation DS5 donne :
(DS8) Φj = -Χj σk pk/(|Ej|/c + m c)
et Χj peut être choisi comme suit :
Χj = ((|Ej|/c + m c)/(2 m c))1/2 wj
Equation temporelle :
Compte-tenu de la constante (Ej/c) I4, la relation (D4) devient :
(DT0) i h' (1/T(ct)) dT(ct)/d(ct) I4 Ψj(x) = (Ej/c) I4 Ψj(x)
ou encore :
(DT1) dT(ct)/d(ct) + i Qj T(ct) = 0
avec :
(DT2) Qj = Ej/(c h')
qui admet pour solution :
(DT3) T(ct) = Cj exp(-i Qj ct) = Cj exp(-i Ej t/h')
avec Cj constante complexe arbitraire, qui vaut n'importe quel facteur de phase de module 1 (Cj = exp(i θj) avec θj nombre réel) afin de respecter la condition de normalisation de Ψj(ct, x).
Pour simplifier les calculs, on prend conventionnellement Cj = 1. Mais ce choix est arbitraire et doit être revu si des interférences ou des superpositions d'états sont étudiées, car les phases relatives entre différents états jouent un rôle crucial dans ces situations.
Fonction d'onde complète :
Compte-tenu des relations (D2)(DS2)(DS4)(DS7)(DS8)(DT3), la fonction d'onde normalisée complète pour tout état propre j est donc :
(DC1) Ψj(t, x) = (Φj, Χj)T exp(i θj) exp(i pj.x/h') exp(-i Ej t/h')
Cette solution élémentaire Ψj(t, x) décrit un fermion libre de spin 1/2 sous forme d'onde plane relativiste, dont l'énergie et la quantité de mouvement satisfont à la relation Ej2 = pj2 c2 + m2 c4.
Par superposition de ces états propres (paquets d'ondes), elle constitue le fondement de la description quantique relativiste, intégrant la prédiction de l'antimatière via les solutions à énergie négative.
Amplitudes de probabilité :
Compte-tenu de la relation DS2, la densité ρ de probabilité s'écrit alors :
(DD1) ρ = (Ψj*(x))T Ψj(x) = (uj*(pj))T uj(pj)
D7.10. Similitudes entre mécanique quantique et mécanique classique :
La mécanique classique, qui est déterministe et basée sur des trajectoires bien définies, contraste avec la mécanique quantique fondée sur des probabilités, des superpositions d'états et d'autres principe fondamentaux spécifiques à son domaine.
Toutefois, malgré ces différences conceptuelles fondamentales, les deux approches présentent un certain nombre de similitudes :
- Description du système isolé en termes d'objets (exemples : particules, solides) et d'interactions internes ou externes au système (exemples : forces, champs, interactions quantiques)
- Données (ou propriétés) intrinsèques (exemples : masse, dimensions, spin, niveaux d'énergie quantifiés d'un atome)
- Observables (exemples : position, vitesse, énergie, fonction d'onde, valeur propre)
- Conditions initiales (à t = 0) et conditions aux frontières du système (exemple : conditions aux bords pour une corde vibrante)
- Conservation de certaines quantités physiques (exemples : quantité de mouvement, moment cinétique, énergie)
- Constantes physiques universelles (exemples : accélération de la pesanteur (g), vitesse de la lumière (c), constante de Planck (h))
- Cadre de résolution (exemples : lois de la dynamique, équation de Schrödinger)
- Certains formalisme mathématiques (exemples : calcul différentiel et intégral, algèbre linéaire, équations différentielles)
- Calcul des observables (avec résultats déterministes ou probabilistes)
- Evolution du système dans le temps (exemples : trajectoires, fonction d'onde)
- Analyse et interprétation des résultats par comparaison entre prédictions théoriques et observations expérimentales, permettant de valider ou d'ajuster les modèles.
D7.11. Sources relatives à la physique quantique :
[ASP] Alain Aspect, Si Einstein avait su, Odile Jacob, 2025.
[BOU] Alain Bouquet, Noyaux et particules.
[COH] Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique, Tome I, CNRS Editions
[CHA] ChatGPT, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par OpenAI.
[PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
Voir détail.
E4.1. Introduction :
La génétique est la science qui étudie l'organisation, le fonctionnement, la régulation et la modification des gènes, tant dans leur transmission d'une génération à l'autre que dans leur expression au sein d'un même individu.
Elle comprend six grands domaines scientifiques [PER][CHA] :
1. Organisation de la cellule et du génome
L'organisation de la cellule et du génome décrit la structure de la cellule et son matériel génétique (gènes, chromosomes, etc.).
2. Régulation génétique
La régulation génétique est le contrôle de l'expression des gènes sans modification de la séquence d'ADN. Les acteurs principaux sont les suivants :
- Les séquences d'ADN non codantes (non traduites en protéines) qui sont les plates-formes d'ancrage aux protéines régulatrices, assurant un contrôle spatial et temporel de l'expression des gènes.
- Les protéines régulatrices qui sont de deux types principaux : les histones assurant le compactage de l'ADN autour d'elles, et les facteurs de transcription venant se fixer sur les séquences non codantes pour activer ou réprimer l'expression des gènes.
- Les modifications épigénétiques qui sont des ajouts réversibles de groupes chimiques sur les molécules d'ADN et sur les histones, modifiant l'accessibilité de l'ADN et donc la réponse de l'organisme aux stimuli internes et externes.
- Les ARN longs non codants qui agissent comme régulateurs indirects, par exemple comme guides des protéines vers des régions spécifiques de l'ADN.
3. Variation génétique
La variation génétique est la production des différences génétiques. Les mécanismes principaux sont les suivants :
- Mutation : modification durable de la séquence d'ADN au niveau du gène, du chromosome ou du génome entier.
- Recombinaison (crossing-over) : échange de segment d'ADN entre chromosomes homologues lors de la méiose, créant de nouvelles combinaisons génétiques.
- Polymorphisme : coexistence de plusieurs formes génétiques normales dans une population, comme le montre le système des groupes sanguins ABO chez l'humain qui produit une diversité de groupes (A, B, AB, O, etc.).
- Transposition : changement de position d'un segment d'ADN dans le génome.
- Dérive génétique : changement aléatoire des fréquences des différentes formes d'un gène dans une petite population, souvent dû à des événements fortuits (catastrophes, isolement) qui réduisent le nombre d'individus.
- Migration (ou flux génétique) : déplacement d'individus d'une population vers une autre, entraînant l'arrivée ou le départ de certaines formes de gènes dans la population d'accueil.
- Accouplement aléatoire : reproduction oû les partenaires sont choisis au hasard, favorisant le brassage génétique dans la population.
4. Réparation génétique
La réparation génétique est la correction des erreurs ou des dommages dans l'ADN. Les mécanismes principaux, classés par gravité croissante des lésions, sont les suivants :
- Réparation directe (Direct repair) : pour une base peu endommagée
- Réparation par excision de base (BER) : pour une base absente ou fortement endommagée
- Réparation des erreurs de copie (MMR) : pour une séquence erronée suite à la réplication de l'ADN
- Réparation par excision de nucléotides (NER) : pour une séquence endommagée
- Réparation de cassures simple brin (SSB repair) : pour un brin cassé, avec le second brin intact servant de modèle
- Réparation de cassures double brin (DSB repair) : pour un double brin cassé
5. Transmission génétique
La transmission génétique est la transmission de l'information héréditaire au niveau individuel (entre cellules d'un même organisme) ou transgénérationnel (d'une génération à l'autre). Les mécanismes principaux sont les suivants :
- Réplication : copie fidèle de l'ADN avant chaque division cellulaire.
- Mitose : division cellulaire de cellules somatiques (corporelles) produisant deux cellules filles identiques avec le même nombre de chromosomes que celui de la cellule mère.
- Méiose : division cellulaire de cellules germinales (reproductrices) produisant deux gamètes (ovule et spermatozoïde) contenant chacun la moitié du nombre de chromosomes. Cette division ne fragmente pas l'information génétique mais la redistribue intelligemment entre les gamètes grâce à des mécanismes de brassage et de contrôle, permettant à la fécondation de reconstituter un patrimoine génétique complet et unique.
- Fécondation : fusion de deux gamètes pour former une cellule-oeuf (zygote) à nombre complet de chromosomes.
- Transmission Mendélienne : transmission de caractères héréditaires via des gènes situés sur les chromosomes nucléaires (donc hérités des deux parents), selon les lois de Mendel.
- Transmission non Mendélienne : transmission de caractères héréditaires ne suivant pas les lois de Mendel, soit en raison de la localisation des gènes situés en dehors des chromosomes nucléaires (comme l'ADN mitochondrial hérité uniquement de la mère, ou l'ADN chloroplastique), soit en raison de mécanismes particuliers affectant les gènes nucléaires (comme l'empreinte parentale, la dominance incomplète, la mutation dynamique, la liaison au sexe).
- Transmission épigénétique : transmission, au niveau individuel ou transgénérationnel, des marques de régulation de l'expression des gènes, sans modification de la séquence d'ADN.
6. Sélection naturelle
La sélection naturelle est un mécanisme d'évolution qui trie les individus selon leur aptitude à survivre et à se reproduire.
Compte-tenu des variations héréditaires entre individus, la sélection naturelle favorise certains traits parmi cette diversité : les individus porteurs de caractères génétiques avantageux pour leur survie et leur reproduction, dans un environnement donné, produisent davantage de descendants.
Ce concept de sélection naturelle a évolué historiquement selon quatre temps :
- Lamarck (1809) :
La girafe allonge son cou pour atteindre les feuilles en hauteur et transmet ce caractère acquis à ses descendants.
- Darwin (1859) :
Chez les girafes, celles qui naissent avec un cou plus long par variations individuelles fortuites survivent mieux et se reproduisent davantage, produisant ainsi plus de descendants.
- Néo-darwinisme (1930-1940) :
Chez les girafes, celles qui naissent avec un cou plus long en raison de mutations génétiques aléatoires (non dirigées par l'environnement) survivent mieux et se reproduisent davantage, produisant ainsi plus de descendants.
- Epigénétique (1942) : Chez les girafes, en plus des mutations génétiques aléatoires, la difficulté à atteindre les feuilles en hauteur pourrait modifier l'expression des gènes impliqués dans la croissance du cou, sans changer la séquence de l'ADN. Ces modifications épigénétiques pourraient être temporairement transmises à leurs descendants.
E4.2. Organisation de la cellule et du génome :
Une description hiérarchique de la cellule eucaryote (avec noyau) est donnée comme suit [PER][CHA] :
Nota : Le nombre indiqué est relatif à l'être humain adulte.
Cellule eucaryote = Membrane plasmique + Cytoplasme + Noyau. Nombre = 37 000 milliards
|
| Membrane plasmique = enveloppe séparant l'intérieur et l'extérieur de la cellule.
|
| Cytoplasme = Cytosol + Organites
| | Cytosol = milieu aqueux contenant ions, nutriments et enzymes.
| | Organites = Ribosomes libres + Réticulum endoplasmique + Mitochondries + Appareil de Golgi + Lysosomes + Cytosquelette
| | | Ribosomes libres = synthétisent les protéines à partir de l'ARN messager. Nombre = 10 millions
| | | Réticulum endoplasmique (RE) = synthétise les lipides (RE lisse) et d'autres protéines (RE rugueux, pourvu de Ribosomes fixés).
| | | Mitochondries = produisent l'énergie cellulaire (ATP) par respiration cellulaire. Contiennent leur propre ADN (génome mitochondrial). Nombre = 100 à 10 000 (selon type de cellule).
| | | Appareil de Golgi = trie, emballe et transporte les molécules (protéines et lipides principalement) vers leur destination finale (en interne ou externe à la cellule).
| | | Lysosomes = digèrent les déchets cellulaires. Nombre = 300 à 500
| | | Cytosquelette = maintient la forme celulaire et participe aux mouvements cellulaires.
|
| Noyau = Membrane nucléaire + Nucléoplame + Chromatine + Nucléoles
| |
| | Membrane nucléaire = enveloppe double séparant l'intérieur et l'extérieur du Noyau.
| |
| | Nucléoplame = milieu gélatineux contenant enzymes et ions.
| |
| | Chromatine = Génome nucléaire + Protéines régulatrices + ARN associés + Modifications épigénétiques
| | |
| | | Génome nucléaire = ensemble de Chromosomes. Nombre = 23 paires de chromosomes.
| | | | Chromosome = Molécule d'ADN compactée (double hélice constituée de deux brins antiparallèles de Nucléotides) = Gènes + Séquences non codantes
| | | | | Gène = séquence d'ADN contenant l'information nécessaire à la synthèse soit d'une protéine (gène codant), soit d'un ARN fonctionnel (gène non codant). Nombre = 20 000 gènes codants par génome nucléaire.
| | | | | Séquences non codantes = séquences d'ADN non traduites en protéines et qui sont les plates-formes d'ancrage pour les Protéines régulatrices, assurant un contrôle spatial et temporel de l'expression des gènes. Proportion = 98 % du génome nucléaire.
| | | | | Nucléotide = Groupement phosphate + Sucre désoxyribose + Base azotée. Nombre = plusieurs millions par Chromosome
| | | | | | Base azotée = Adénine (A), Thymine (T), Cytosine(C) ou Guanine(G). Nombre = 3 milliards de paires de bases azotées par génome nucléaire.
| | |
| | | Protéines régulatrices = deux types principaux : les histones assurant le compactage de l'ADN autour d'elles, et les facteurs de transcription venant se fixer sur les Séquences non codantes pour activer ou réprimer l'expression des gènes.
| | |
| | | ARN associés = principaux médiateurs de l'expression des gènes.
| | | | ARN messager (ARNm) = copie un Gène codant (le plan de fabrication des protéines) et le transporte jusqu'aux Ribosomes.
| | | | ARN de transfert (ARNt) = transporte les acides aminés vers les Ribosomes et les positionne selon le plan fourni.
| | | | ARN ribosomal (ARNr) = constitue l'ossature des Ribosomes et assemble les acides aminés en chaînes protéiques selon le plan fourni.
| | | | microARN = bloque des ARN messager spécifiques, empêchant leur traduction et réduisant ainsi la production de protéines cibles.
| | | | ARN long non codant (IncARN) = agit comme régulateur indirect, par exemple comme guide des protéines vers des régions spécifiques de l'ADN.
| | |
| | | Modifications épigénétiques = ajouts réversibles de groupes chimiques sur les molécules d'ADN et sur les histones, modifiant ainsi l'accessibilité de l'ADN.
| |
| | Nucléoles = synthétisent les ARN ribosomaux. Nombre = 1 à 5
E4.3. Epigénétique :
L'épigénétique constitue une sous-couche biologique commune à tous les apprentissages basés sur l'acquisition (stabilisation de la mémoire, plasticité cérébrale, adaptations métaboliques). Elle permet aux cellules de coder l'expérience vécue par des modifications de l'expression des gènes sans altérer la séquence d'ADN, contrairement aux mutations génétiques.
Ce mécanisme fondamental régule dynamiquement l'expression des gènes en fonction du contexte physiologique ou environnemental, permettant ainsi à l'organisme de s'adapter efficacement aux stimuli internes et externes, tels que :
- variations climatiques (température, humidité)
- changements alimentaires (carence, excès, qualité nutritionnelle)
- modifications d'habitat (urbanisation, pollution, migration)
- stress physiologique (maladie, exercice intense)
- stress traumatique (choc émotionnel, violence)
Cette régulation s'effectue par des modifications chimiques réversibles, telles que :
- la méthylation de l'ADN, par ajout de groupes méthyle sur l'ADN.
- la modification de protéines régulatrices (histones) autour desquelles l'ADN s'enroule.
Ces modifications contrôlent dynamiquement l'accès aux gènes et leur niveau d'expression, permettant leur activation ou leur répression, sans altérer le contenu génétique sous-jacent.
Deux niveaux de plasticité sont distingués :
1. Plasticité individuelle : lorsque les stimuli sont modérés ou transitoires, les modifications restent confinées aux cellules somatiques (corporelles) et ne sont pas transmises aux générations suivantes.
Par exemple :
- Le renard arctique change de pelage (blanc en hiver et brun en été). Les renardeaux naissent avec un pelage adapté à leur saison de naissance, mais leur capacité à changer de couleur dépend ensuite des stimuli environnementaux (étude de Zimova M., Mills L.S., Nowak J.J., 2016).
- Chez l'humain, le bronzage de la peau en réponse au soleil est une adaptation temporaire propre à chaque individu (étude de Slominski A., 2004).
2. Plasticité transgénérationnelle : lorsque les stimuli sont intenses ou prolongés, les modifications affectent également les cellules germinales (spermatozoïdes et ovocytes). Ces marques sont alors transmises aux descendants et influencent leurs phénotypes (traits comportementaux, physiologiques et morphologiques) sur une à trois générations avant de s'estomper.
Par exemple :
- Chez la puce d'eau (daphnie), l'exposition des parents à des signaux de prédateurs induit chez la descendance le développement de défenses morphologiques (casques ou pointes), même si les jeunes n'ont jamais rencontré de prédateur eux-mêmes (étude de Tollrian R., 1995).
- Des souris mâles exposées durablement au froid donnent naissance à des descendants mieux adaptés aux basses températures (étude de Chan J.C., 2020).
- Des souris mâles conditionnées à craindre une odeur transmettent à leur descendance une hypersensibilité spécifique à cette odeur (étude de Dias B.G., Ressler K.J., 2014).
- Chez l'humain, la malnutrition avant la grossesse chez la mère ou chez le père peut affecter durablement la santé de l'enfant, même si ce dernier grandit ensuite dans un environnement alimentaire normal (étude de Gete DG., Waller M., Mishra GD., 2020).
A l'inverse, des activités cognitives ou musicales intensives ne présentent à ce jour aucun impact héréditaire démontré, qu'il soit génétique ou épigénétique.
E4.4. ARN :
L'ARN (acide ribonucléique) est une molécule essentielle à l'organisation et à la régulation génétique.
Il copie l'information génétique de l'ADN (présent dans le noyau cellulaire) et la transmet aux ribosomes (dans le cytoplasme cellulaire). Ces derniers "lisent" alors cet ARN messager comme un plan d'instructions pour produire des protéines (ARN codant).
Une fois fabriquées, les protéines sont acheminées à leurs lieux d'action (cellules, organes, tissus). Certaines, comme les hormones, voyagent dans le sang pour atteindre des organes éloignés.
Ces protéines ont un double rôle dans l'organisme. Elles sont des architectes structurels assurant le maintien et la réparation des tissus. Elles agissent aussi comme régulateurs des fonctions vitales en participant notamment à la régulation génétique (histones et facteurs de transcription), hormonale (hormones), digestive (enzymes), au transport de l'oxygène dans le sang (hémoglobine) et à la défense immunitaire (anticorps).
D'autres types d'ARN (non codants) ne contribue pas à la fabrication des protéines. Ils sont fonctionnels et régulent l'expression des gènes :
- en bloquant des ARN messager spécifiques pour empêcher leur traduction (par exemple, les microARN), réduisant la production de protéines cibles.
- en contrôlant l'accès à l'ADN via des modifications chimiques sans altérer sa séquence (par exemple, les ARN longs non codants).
E4.5. Sources relatives à la génétique :
[CHA] ChatGPT, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par OpenAI.
[PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
Voir détail.
Dernière mise à jour de la page : 26 avril 2025