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B1. Jeux d'esprit

Voici une introduction aux jeux d'esprit. Cette collection regroupe des jeux de réflexion et d'observation, où l'on exerce seul sa logique, sa mémoire et son sens de l'astuce.

Sommaire :

1. Labyrinthes
2. Loi de Benford
3. Mots croisés
4. Mnémotechnique
5. Palindromes
6. Tours de magie

B1.1. Labyrinthes


Comment sortir à coup sûr d'un labyrinthe ?

1. Introduction
2. Tarry : recherche en profondeur
3. Tarry : cheminement avec vue d'ensemble
4. Tarry : cheminement sans vue d'ensemble
5. Tarry : navette entre deux carrefours du labyrinthe
6. Oystein : recherche par cercles concentriques
7. Distinction entre carrefour et couloir
8. Modélisation d'un labyrinthe et chemin le plus court
9. Sources

B1.1.1. Introduction

Représentez-vous un labyrinthe quelconque, fait de nombreux carrefours et de multiples couloirs reliant ces carrefours. Comment sortir à coup sûr de ce labyrinthe ?
La Figure 1 ci-dessus donne en exemple un labyrinthe simple constitué de 7 carrefours (numérotés de 1 à 7) dont un cul-de-sac (carrefour 3), de 10 couloirs et de 4 boucles minimales ((55), (464), (2452) et (4564)).
La règle la plus simple pour cheminer dans un labyrinthe, dite "règle de la main", consiste à parcourir carrefours et couloirs, en laissant en permanence la même main (droite ou gauche) posée sur la paroi. Cette stratégie permet de ne jamais s'égarer dans le labyrinthe mais n'assure pas d'en trouver la sortie. Soit le voyageur découvre éventuellement une des issues pendant son cheminement, soit il revient automatiquement à son carrefour de départ.
Ainsi, sur l'exemple de la Figure 1, avec la règle de la main droite, un visiteur égaré au carrefour 5 tournera indéfiniment en rond dans la boucle (5245) en s'engageant dans le couloir (52).
La "règle de la main" ne s'applique donc que si le carrefour de départ correspond à l'entrée du labyrinthe, auquel cas le voyageur est assuré de traverser le labyrinthe sans s'égarer en chemin.

Une règle générale existe. Elle permet au voyageur égaré de sortir à coup sûr du labyrinthe quand ce dernier possède une issue (entrée ou sortie) et, dans le cas contraire, de le visiter complètement avant de se retrouver à son carrefour de départ. Deux stratégies de recherche existent :
- Recherche en profondeur, lorsque le voyageur est totalement égaré dans le labyrinthe. Deux règles différentes ont été publiées : règle de Charles-Pierre Trémaux en 1882 [LUC], et règle de Gaston Tarry en 1895 [TAR][TOU][ROS1] qui est plus générale.
- Recherche par cercles concentriques (ou recherche en largeur), lorsque le voyageur sait qu'il n'est pas trop éloigné de l'entrée du labyrinthe (à moins de 3 ou 4 carrefours par exemple). La règle a été publiée par Oystein Ore en 1959 [OYS][WAL].
Ces trois règles (Trémaux, Tarry et Oystein Ore) s'appliquent à tout labyrinthe-plan, c'est-à-dire étalé sur une surface relativement plane, ainsi qu'à tout labyrinthe tridimensionnel pouvant comporter des escaliers et des pièces à étages multiples.

Nous décrivons maintenant la règle de Tarry et celle de Oystein, en les complétant ensuite par certaines propriétés générales aux labyrinthes (Distinction entre carrefour et couloir, et Modélisation d'un labyrinthe et chemin le plus court).

B1.1.2. Tarry : recherche en profondeur

Lorsque le voyageur est totalement égaré dans le labyrinthe, la règle générale du mathématicien français Gaston Tarry est une double règle qui s'énonce comme suit :

B1.1.3. Tarry : cheminement avec vue d'ensemble

Dans le cas ludique où le voyageur a une vue d'ensemble du labyrinthe, le voyageur doit analyser chaque carrefour et ses couloirs attenants comme suit :
A. Juste avant d'entrer dans un carrefour, le voyageur doit marquer le couloir de Première Visite du carrefour (PV) qui est le couloir par lequel le visiteur entre pour la première fois dans le carrefour. Pour cela, il crée une marque PV à l'extrémité droite du couloir d'arrivée.
B. Juste avant de sortir du carrefour, le voyageur doit marquer le couloir de Dernier départ du carrefour (D) qui est le couloir le plus récent par lequel le visiteur sort du carrefour. Pour cela, il crée une marque D à l'entrée droite du couloir de départ.

Voyons ce cheminement sur l'exemple de la Figure 1.
Les carrefours sont repérés par les chiffres 1, 2... 7 où 1 est le carrefour de départ du voyageur égaré et 7 la seule issue du labyrinthe (entrée et sortie). Le parcours d'un couloir est noté par le chiffre du carrefour de début suivi du chiffre du carrefour de fin, par exemple (24).
Au départ, le voyageur se trouve égaré au carrefour 1 et cherche à atteindre la sortie du labyrinthe (carrefour 7).

La Figure 2 ci-dessus montre un cheminement possible accompagné des marques créées à l'extrémité de chaque couloir d'arrivée (PV ou aucune marque) et à l'entrée de chaque couloir de départ (D).
Dans le cas d'un cul-de-sac (carrefour à une seule sortie), les marques PV et D ne sont pas utiles vu que le voyageur ne reviendra jamais à ce carrefour (voir carrefour 3 en Figure 2).
Partons du carrefour (1) et prenons le seul couloir possible (12).
Au carrefour 2, choisissons un des deux couloirs inexplorés, par exemple (24). Au carrefour 4, choisissons par exemple le couloir (45). Au carrefour 5, choisissons par exemple le couloir (52). Jusqu'à maintenant, il a été facile d'appliquer la règle générale car il y avait, à chaque carrefour visité, un couloir inexploré et chaque carrefour était visité pour la première fois.
Au carrefour 2 (déjà visité), nous ne pouvons prendre le couloir (21) qui est le couloir de première visite du carrefour (cf règle n°1), ni le couloir (24) déjà pris dans ce sens (cf règle n°2). La seule option restante est de rebrousser chemin par le couloir (25).
Au carrefour 5 (déjà visité), choisissons par exemple le couloir de droite qui est en fait une boucle (55). Revenu au carrefour 5, choisissons par exemple le couloir (56). Au carrefour 6, choisissons par exemple le couloir (64).
Au carrefour 4 (déjà visité), par application des règles 1 et 2, nous ne pouvons que prendre l'un des deux couloirs inexplorés (43) ou (46), ou rebrousser chemin par l'autre couloir (46).
La première tactique s'appelle "Ariane folle"", la seconde "Ariane sage ou Algorithme de Trémaux". Ces deux tactiques sont équivalentes si l'on cherche à explorer tout le labyrinthe. La tactique "Ariane folle" est par contre préférable si l'on cherche une issue. Choisissons cette tactique et prenons par exemple le couloir (43).
Au carrefour 3 (cul-de-sac), nous devons obligatoirement rebrousser chemin par le couloir (34).
Au carrefour 4 (déjà visité), choisissons par exemple le couloir inexploré (46) puis, arrivé au carrefour 6, le couloir (67) menant à la sortie 7.
Au total, le cheminement entre le départ 1 et la sortie 7 du labyrinthe est donné par la succession des couloirs (12)(24)(45)(52)(25)(55)(56)(64)(43)(34)(46)(67).
Les couloirs de première visite de chaque carrefour y sont indiqués en police grasse.

B1.1.4. Tarry : cheminement sans vue d'ensemble

Dans le cas réel où le voyageur n'a pas de vue d'ensemble du labyrinthe, le voyageur doit s'arrêter à chaque carrefour et en faire le tour complet afin d'analyser tous les couloirs attenants comme suit :
A. Juste avant d'entrer dans un carrefour, le voyageur doit marquer provisoirement le couloir d'arrivée comme couloir supposé de Première Visite du carrefour. Pour cela, il crée une marque P à l'extrémité droite du couloir d'arrivée. Cette marque permet également de faire le tour complet du carrefour en revenant sereinement à la marque P.
   - Si la supposition est vraie (carrefour n'ayant aucune marque PV), le voyageur doit changer la marque P en marque PV afin de pouvoir appliquer la règle n°1 lors d'une prochaine visite du carrefour.
   - Si la supposition est fausse (carrefour ayant déjà une marque PV), le voyageur doit annuler la marque P en la barrant ("P barré") afin de se replacer en conditions initiales lors d'une prochaine visite du carrefour.
B. Juste avant de sortir du carrefour, le voyageur doit marquer deux couloirs de départ particuliers à l'entrée droite de chaque couloir. Il doit d'abord annuler la marque D du dernier couloir exploré en la barrant ("D barré"). Il doit ensuite créer une marque D sur le couloir qu'il va prendre. La marque "D barré" n'est utile que si le voyageur prévoit de faire la navette dans le labyrinthe entre un carrefour d'arrivée et un carrefour de départ. A noter que, bien que barrée, cette marque reste une marque de couloir déjà exploré, donc éligible à la règle n°2.

La Figure 3 ci-dessus montre le même cheminement que celui de la Figure 2, accompagné des marques créées à l'extrémité de chaque couloir d'arrivée (P, puis PV ou P barré) et à l'entrée de chaque couloir de départ (D barré si D existe, puis D).
Dans le cas d'un cul-de-sac (carrefour à une seule sortie), les marques P, PV et D ne sont pas utiles vu que le voyageur ne reviendra jamais à ce carrefour (voir carrefour 3 en Figure 3).

Dans le cas où le voyageur n'a rien pour marquer les parois des couloirs mais où il dispose de petits cailloux (comme le Petit Poucet), alors les marques peuvent être remplacées avantageusement comme suit.
Mais attention à ne pas confondre entrée droite et entrée gauche de chaque couloir lorsqu'on fait le tour du carrefour !

B1.1.5. Tarry : navette entre deux carrefours du labyrinthe

Dans le cas où le voyageur a veillé à ne garder qu'une seule marque D à chaque carrefour (cf point B ci-dessus), il peut alors faire la navette, à tout moment et sans s'égarer, entre deux carrefours du labyrinthe comme suit :
- Retourner vers un carrefour de départ (pour aller chercher par exemple une personne restée là-bas en attente) devient alors possible et facile. Il suffit à chaque carrefour de reprendre à contre-sens le couloir marqué PV à l'entrée gauche du couloir, sans générer de nouvelles marques [PET]. Le chemin de retour depuis un carrefour d'arrivée vers un carrefour de départ quelconque constitue en effet un arbre dont le tronc est ce carrefour de départ et dont les branches sont les couloirs marqués PV (voir Figure 5 ci-dessous).
Démonstration : Tout carrefour visité la première fois l'est par un couloir parcouru depuis un autre carrefour nécessairement visité une première fois. En conséquence, tout carrefour visité la première fois se trouve sur un arbre dont le tronc est le carrefour de départ et dont les branches sont les couloirs de première visite de chaque carrefour.
Cet arbre s'appelle "arbre des couloirs de première visite de chaque carrefour" ou "arbre des carrefours visités la première fois".
- Revenir ensuite au carrefour d'arrivée (pour ramener par exemple la personne avec soi et continuer la recherche ensemble) devient également possible et facile. Il suffit à chaque carrefour de reprendre dans le même sens le couloir marqué D à l'entrée droite du couloir, sans générer de nouvelles marques [PET]. Le chemin de retour depuis un carrefour de départ vers un carrefour d'arrivée quelconque constitue également un arbre dont le tronc est ce carrefour d'arrivée et dont les branches sont les couloirs marqués D (voir Figure 6 ci-dessous).
Démonstration : Tout carrefour visité la dernière fois l'est par un couloir parcouru depuis un autre carrefour nécessairement visité la dernière fois. En conséquence, tout carrefour visité la dernière fois se trouve sur un arbre dont le tronc est le carrefour d'arrivée et dont les branches sont les couloirs de dernier départ de chaque carrefour.
Cet arbre s'appelle "arbre des couloirs de dernier départ de chaque carrefour" ou "arbre des carrefours visités la dernière fois".

B1.1.6. Oystein : recherche par cercles concentriques

Lorsque le voyageur égaré sait qu'il n'est pas trop éloigné de l'entrée du labyrinthe (à moins de 2 ou 3 carrefours par exemple), la règle générale du mathématicien norvégien Oystein Ore permet de rejoindre cette entrée par cercles concentriques depuis le carrefour de départ, sans besoin d'explorer le labyrinthe en profondeur.
La règle générale est alors la suivante [WAL] :

Dans le cas ludique où le voyageur a une vue d'ensemble du labyrinthe, la règle générale s'applique sans difficulté.
La Figure 7 ci-dessous montre un cheminement possible depuis le carrefour de départ du labyrinthe de la Figure 1, accompagné des marques créées sur chaque couloir parcouru (traits ou croix).
La succession des couloirs parcourus est la suivante. Les couloirs condamnés y sont indiqués en police grasse.
- Exploration à distance de 1 carrefour : (12)(21)
- Exploration à distance de 2 carrefours : (12)(24)(42)(25)(52)(21)
- Exploration à distance de 3 carrefours : (12)(24)(45)(54)(46)(64)(46)(64)(43)(34)(42)(25)(55)(56)(65)(52)(21)
- Exploration à distance de 4 carrefours : (12)(25)(52)(24)(46)(67)
La sortie du labyrinthe (correspondant aussi à l'entrée) est trouvée après exploration par cercles concentriques à distance de 4 carrefours.

Dans le cas réel où le voyageur n'a pas de vue d'ensemble du labyrinthe, le voyageur doit s'arrêter à chaque carrefour, en faire le tour complet afin d'analyser tous les couloirs attenants, puis reprendre le couloir de retour en le condamnant éventuellement. Le voyageur peut alors se tromper de couloir lorsqu'un carrefour possède plusieurs sorties marquées d'un seul trait. Par exemple, pour le carrefour 5 à l'étape 3 ci-dessous, au moment de reprendre le couloir de retour (54), le voyageur peut prendre par erreur le couloir (52) parcouru à l'étape 2.
La règle générale doit donc être complétée comme suit :
4 bis - Juste avant d'entrer dans un carrefour par un couloir nouveau (non marqué et non condamné), lors du marquage de l'extrémité du couloir par un simple trait, le voyageur doit y ajouter une marque différente (par exemple la marque P). Cette marque particulière permettra de faire sereinement le tour complet du carrefour et de reprendre le couloir de retour sans erreur.

B1.1.7. Distinction entre carrefour et couloir

Un labyrinthe décrit sous forme de graphe ne présente pas d'ambiguïté entre carrefours et couloirs, un carrefour étant un noeud du graphe et un couloir un arc reliant deux noeuds.
Mais dans la réalité, un carrefour ou un couloir est une aire de navigation pouvant être complexe à analyser au niveau topologique : aire plus ou moins vaste, plus ou moins étroite, avec présence éventuelle de niches, de culs-de-sac peu profonds, de saillies ou d'îlots de petite taille. Dans un carrefour déjà visité, le voyageur peut, par exemple, ne pas retrouver l'emplacement exact d'une sortie ou pire, voir apparaître de nouveaux couloirs au sein du même carrefour. Lors du parcours (en sens inverse) d'un couloir déjà parcouru, le voyageur peut aussi, par exemple, voir apparaître de nouveaux carrefours au sein du même couloir.

Pour éviter toute ambiguïté, il faut définir rigoureusement le vocabulaire comme suit :
- Un Labyrinthe est un ensemble de Carrefours dont les Sorties sont toutes connectées à des Couloirs.
- Un Carrefour est une Aire de navigation comportant 1 Sortie, 3 Sorties, ou plus de 3 Sorties (voir exemple en Figure 8 ci-dessous). Le cas "1 Sortie" correspond à un cul-de-sac, qui est l'extrémité d'un Couloir aveugle (carrefour 3 en Figure 1 ci-dessus), ou à tout carrefour monocouloir pouvant être un carrefour de départ (carrefour 1 en Figure 1) ou une issue du labyrinthe (carrefour 7 en Figure 1).
- Un Couloir relie deux Carrefours par un Tronçon unique ou par une succession de plusieurs Tronçons consécutifs (voir exemple en Figure 8). Un Couloir peut former une boucle lorsqu'il relie deux Sorties du même Carrefour (cas de la Figure 8).
- Un Tronçon est une Aire de navigation comportant exactement 2 Sorties (voir exemple en Figure 8). Un Tronçon est généralement vide (sans îlots) et étroit. Il peut se présenter aussi sous forme réduite en longueur, tel un passage de porte entre deux Carrefours.
- Une Aire de navigation est un espace connexe (d'un seul tenant) le plus grand possible, ayant tous ses points intervisibles ou quasi-intervisibles, et délimité par une ou plusieurs Sorties. L'espace peut comporter des niches, des culs-de-sac peu profonds, des saillies et des îlots de petite taille. La Figure 8 ci-dessous donne un exemple de trois Aires de navigation : 1. un Carrefour (indiqué en police grasse) comprenant cinq Sorties (S1, S2, S3, S4, S5), une niche (N), un cul-de-sac peu profond (C), une saillie (A) et deux îlots de petite taille (I1, I2)) ; 2. un Tronçon vide (S3, S) ; 3. un Tronçon (S, S4) avec îlot de petite taille ; ces deux Tronçons formant un Couloir entre les Sorties S3 et S4 du Carrefour.
- Une Sortie est la limite d'un Carrefour ou d'un Tronçon, au-delà de laquelle le critère d'intervisibilité pour une Aire de navigation n'est plus respecté.

B1.1.8. Modélisation d'un labyrinthe et chemin le plus court

Lorsqu'on a une vue d'ensemble d'un labyrinthe, celui-ci peut se modéliser par une matrice d'incidence (M) dont les lignes et les colonnes sont les numéros de carrefour et dont chaque élément de la matrice indique la nombre de couloirs (0, 1, 2, etc.) reliant un carrefour à un autre [WAL]. La Figure 10 ci-dessus montre un exemple de labyrinthe et sa matrice d'incidence correspondante.
La matrice d'incidence permet également de modéliser un labyrinthe comportant des couloirs à sens unique [WAL] à condition que ces couloirs ne forment pas une boucle reliant deux sorties du même carrefour ou une boucle reliant deux carrefours.

Pour des besoins d'étude, tout labyrinthe peut être simplifié comme suit :
1. Tout cul-de-sac peut être supprimé en considérant qu'il est intégré (en tant que cul-de-sac peu profond) au carrefour y menant.
2. Toute boucle reliant deux sorties du même carrefour peut être supprimée en considérant qu'elle est intégrée (en tant qu'îlot de petite taille) au carrefour.
3. Toute boucle reliant deux carrefours peut être réduite à un seul couloir entre ces carrefours en considérant qu'elle est intégrée (en tant qu'îlot de petite taille) à ce couloir.
4. Tout carrefour dont le nombre de couloirs se réduit à 2 par l'une ou plusieurs des simplifications précédentes peut être supprimé en raccordant directement les deux couloirs.
5. Tout carrefour comportant n couloirs avec n > 3 peut être remplacé par un anneau formé de n carrefours comportant 3 couloirs chacun [STE] à condition d'accepter de violer la règle n°2 dans le carrefour modifié afin de pouvoir parcourir l'anneau entre deux carrefours quelconques (voir Figure 9 ci-dessus).
Si le voyageur sait traverser le labyrinthe modifié, alors il peut aussi trouver un chemin dans le labyrinthe original en rétablissant les carrefours et couloirs originaux.
La Figure 10 montre le labyrinthe équivalent à celui de la Figure 1 en appliquant les simplifications 1 à 4.

La matrice d'incidence d'un labyrinthe permet de trouver le nombre de couloirs du chemin le plus court reliant un carrefour à un autre [WAL].
En multipliant la matrice M par elle-même (voir Figure 10), on obtient une nouvelle matrice (M²) dont les éléments indiquent le nombre de façons différentes d'aller d'un carrefour à un autre par un chemin constitué de 2 couloirs. En répétant n fois l'opération, on obtient une matrice (Mⁿ) dont les éléments indiquent le nombre de façons différentes d'aller d'un carrefour à un autre par un chemin constitué de n couloirs [WAL].
Pour trouver le chemin le plus court reliant un carrefour à un autre, il suffit alors d'élever la matrice M à une puissance telle que l'élément correspondant à la liaison entre ces deux carrefours devienne non nul. La puissance donne alors le nombre de couloirs du chemin le plus court [WAL].
La Figure 10 montre que le chemin le plus court pour aller du carrefour 1 au carrefour 7 est obtenu pour n = 4 avec 2 chemins possibles constitués de n = 4 couloirs.

B1.1.9. Sources relatives au labyrinthe

[LUC] Edouard Lucas, Le jeu des labyrinthes, in Récréations mathématiques, tome I (2ème édition, Paris, 1882), chapitre 3, pp. 41-55.
[OYS] Oystein Ore, An excursion into labyrinths, in The Mathematics Teacher, pp. 367-370, Vol. 52, N°5, May 1959.
[PET] Régis Petit, Labyrinthes et arbres, article de la revue "CANAL.N7", journal de l'association des ingénieurs de l'I.E.T.- E.N.S.E.E.I.H, N°33 de septembre 1994.
[ROS1] Pierre Rosensthiel, Les mots du labyrinthe, Revue CoEvoluion. N°11. Hiver 1983.
[ROS2] Pierre Rosensthiel, Labyrintologie mathématique, in Mathématiques et sciences humaines, tome 33 (1971), p.5-32.
[STE] Ian Stewart, Algorithmes labyrinthiques, article de la revue Pour la science, rubrique Visions mathématiques, N°162 d'avril 1991.
[TAR] Gaston Tarry, Le problème des labyrinthes, Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 14 (1895), p. 187-190.
[TOU] Pierre Tougne, Comment explorer un labyrinthe ?, article de la revue Pour la science, rubrique Jeux mathématiques, N°60 d'octobre 1982, réactualisé dans Pierre Tougne, L'exploration d'un labyrinthe, Dossier Pour la science, Avril/Juin 2008.
[WAL] Jearl Walker, Comment traverser un labyrinthe sans se perdre ni tourner en rond, article de la revue Pour la science, rubrique Expériences d'amateur, février 1987.

B1.2. Loi de Benford

La loi de Benford, ou loi de Newcomb-Benford, ou loi des nombres anormaux, ou loi du premier chiffre significatif, montre que dans la vie de tous les jours, le premier chiffre significatif des nombres n'est pas équiprobable : le chiffre 1 est plus fréquent que le 2, lui-même plus fréquent que le 3, etc.
Cette curiosité est observée dans mains domaines comme les sciences humaines et sociales, les tables de valeurs numériques, la génétique, le BTP, l'économie (taux de change) ou même dans les numéros de rue de son carnet d'adresses [WIK1].
Ouvrez au hasard la page d'un journal, relevez tous les nombres que vous y trouvez. Puis intéressez-vous au premier chiffre significatif de chacun des nombres. C'est le chiffre le plus à gauche, qui n'est pas zéro. Ne tenez compte ni du signe ni de la place de la virgule : par exemple , le premier chiffre significatif des nombres 0,038   3,14159 et -32 est 3.
A votre grande surprise, vous constaterez que le chiffre 1 apparaît pour près d'un tiers des nombres, le chiffre 2 environ une fois sur 6, et que les fréquences d'apparition diminuent jusqu'au chiffre 9 (moins d'une fois sur 20) [ROU].

1. Définition
2. Domaines d'application
3. Explication
4. Cas des chiffres qui suivent le premier
5. Cas de la suite des entiers naturels
6. Cas des suites numériques
7. Sources

   

B1.2.1. Définition :

La loi de Benford donne la valeur théorique (f) de la fréquence d'apparition du premier chiffre significatif (c) d'un résultat de mesure exprimé dans une base (b) donnée [WIK1] : f_c = log_b(1 + 1/c)
On vérifie que la somme des fréquences f_c vaut : ∑_{i = 1, (b-1)} [log_b(1 + 1/i)] = log_b(b) = 1
Dans le système décimal (base b = 10), la loi est donc : f_c = log₁₀(1 + 1/c)
Par exemple, la probabilité benfordienne qu'un nombre en base 10 commence par le chiffre c = 1 est la suivante : f₁ = log₁₀(2) = 30,1 %
Le tableau ci-dessus donne la fréquence f_c en pourcentage pour chaque valeur du premier chiffre c entre 1 et 9.
La loi de Benford reste invariante par changement de base de numération et aussi par multiplication par une constante, notamment lors d'un changement d'unité.

B1.2.2. Domaines d'application :

La loi de Benford s'applique d'autant mieux que la série de nombres est "riche", avec des nombres d'origines variées (cas d'un bon mélange de séries quelconques) et/ou relativement bien étalés sur une plage couvrant plusieurs ordres de grandeur (tailles des villes par exemple) [ROU][DEL2].
Ainsi, les numéros de maison qu'on trouve dans un annuaire d'adresses vérifient assez bien la loi de Benford [DEL1]. Si une rue possède 50 numéros, alors plus d'un cinquième des numéros commencent par un 1 (à cause de 10, 11, 12... 19). Si elle en possède 20 ou 200, plus de la moitié des numéros commencent par un 1. Il est donc normal de trouver en moyenne plus souvent des numéros commençant par un 1 que par 9 (et plus généralement par le chiffre c que par c + 1) [DEL1].

La loi de Benford ne s'applique pas pour divers cas, dont les suivants [WIK1][DEL1] :
- Nombres tirés au hasard (les chiffres c seront alors tous équiprobables).
- Nombres dont le premier chiffre est imposé, par exemple les numéros de téléphone ou d'immatriculation des véhicules.
- Echelle restreinte de valeurs possibles, par exemple la taille des individus en mètres (la quasi-totalité des mesures commençant par le chiffre 1) ou le prix de vente d'un modèle particulier de voiture neuve (le prix variant peu d'un concessionnaire à un autre).

La loi de Benford est principalement utilisée pour détecter les fraudes fiscales, financières, comptables et scientifiques. Le principe est le suivant : s'ils s'étalent régulièrement sur plusieurs ordres de grandeur, les nombres apparaissant dans des comptes ou des statistiques doivent, sauf raisons particulières, vérifier le loi de Benford. Si ce sont des nombres inventés, alors le faussaire a dû vouloir en créer autant qui commencent par 1 que par 2, 3, etc., ce qui contredira la loi de Benford [DEL2].
Dans un document contenant N nombres, si N_c est le nombre de fois où le premier chiffre significatif est c, si f_c est la fréquence d'apparition du chiffre c selon la loi de Benford, alors on définit une statistique de test T comme suit [AMQ][WIK2] :
T = ∑_{c = 1, 9} [ (N_c - N f_c)² / (N f_c) ] = N ∑_{c = 1, 9} [ ((N_c/N) - f_c)² / f_c ]
Pour N grand, la statistique T se comporte alors comme une variable de la loi du X² à v = (9 - 1) degrés de liberté [AMQ].
En comparant T avec le quantile Q d'ordre 95 % de la loi du X² à v = 8 degrés de liberté [WIK2], on peut conclure que la série de nombres est très certainement truquée dans le cas où T > Q

La loi de Benford est aussi utilisée pour détecter l'existence de messages cachés dans des images (stéganographie). Deux méthodes principales existent [ATO] :
La première examine la distribution des premiers chiffres du contenu brut des octets d'une image suspecte.
La seconde examine la distribution des premiers chiffres des coefficients quantifiés de transformée en cosinus discrète (DCT) du codage JPEG.


B1.2.3. Explication :

La loi de Benford reste à ce jour imparfaitement expliquée [DEL1]. La meilleure explication semble être la suivante :
On démontre mathématiquement que la suite des entiers naturels (1, 2, 3... n) vérifie une forme "faible" de la loi de Benford (au sens des moyennes itérées de Cesàro) [DEL1].
C'est pourquoi il semble légitime, lorsque l'ensemble des données est "riche", de trouver statistiquement dans la vie de tous les jours, des séries de nombres dont le premier chiffre significatif n'est pas équiprobable et suit approximativement la loi de Benford.

B1.2.4. Cas des chiffres qui suivent le premier :

1. Cas d'un bloc de chiffres en première position [WIK1] :
La probabilité benfordienne qu'un nombre en base b commence par le bloc de chiffre (cde) est la suivante : f_cde = log_b(1 + 1/cde)
Par exemple, pour le bloc cde = "314" en base 10, on a : f₃₁₄ = log₁₀(1 + 1/314) = 0,138 %
Autre exemple, pour le bloc cde = "10" en base 3 (soit cde = 3 en base 10), on a : f_cde = log₃(1 + 1/3) = 26,2 %
2. Cas d'un chiffre en position k [WIK1] :
La probabilité benfordienne qu'un chiffre (c) soit à une position donnée (k > 1) dans un nombre en base b est la suivante : f_c = ∑_{i = b^k-2, (b^k-1 - 1)} [log_b(1 + 1/(i b + c))]
Par exemple, la probabilité benfordienne en base 10 que le chiffre c = 0 apparaisse en deuxième position (k = 2) est : log₁₀(1 + 1/10) + log₁₀(1 + 1/20) + ... + log₁₀(1 + 1/90) = 12,0 %.
Cette loi se rapproche rapidement d'une loi uniforme avec une valeur de 10 % pour chacun des dix chiffres (voir Tableau ci-dessus).

B1.2.5. Cas de la suite des entiers naturels :

Pour la suite des entiers naturels (1, 2, 3... n), les chiffres c en base b ne sont équirépartis (de fréquence M = 1/(b - 1)) que lorsque n vaut exactement (b - 1), (b² - 1)... (b^p - 1) pour p entier ≥ 1, ce qui n'arrive quasiment jamais [CHA].

Dans le cas contraire, la fréquence f_c(n) du premier chiffre c en base b oscille constamment entre deux valeurs extrêmes M_sup et M_inf prises respectivement en n_sup et n_inf, telles que [WIK1][CHA] :
n_sup = (c + 1) b^{p - 1} - 1
n_inf = c b^p - 1
M_sup = ( (b^p - 1)/(b - 1) ) / n_sup   qui tend vers   M_supapp = b/( (c + 1)(b - 1) )   pour p = +∞.
M_inf = ( (b^p - 1)/(b - 1) ) / n_inf   qui tend vers   M_infapp = 1/( c (b - 1) )   pour p = +∞.
On a la relation :   M_inf ≤ M_infapp ≤ M ≤ M_supapp < M_sup   vu que l'on a toujours :   1 ≤ c ≤ b - 1   et   b > 1

En base 10 et pour p = 1, la valeur du couple (M_sup, M_inf) est :
    (1, 1/9) pour le chiffre 1, obtenue en (n_sup, n_inf) = (1, 9),
    (1/5, 1/49) pour le chiffre 5, obtenue en (n_sup, n_inf) = (5, 49),
    (1/9, 1/89) pour le chiffre 9, obtenue en (n_sup, n_inf) = (9, 89).
En base 10 et pour p = 2, la valeur du couple (M_sup, M_inf) est :
    (11/19, 11/99) pour le chiffre 1, obtenue en (n_sup, n_inf) = (19, 99),
    (11/59, 11/499) pour le chiffre 5, obtenue en (n_sup, n_inf) = (59, 499),
    (11/99, 11/899) pour le chiffre 9, obtenue en (n_sup, n_inf) = (99, 899).
En base 10 et pour p = +∞, la valeur du couple (M_supapp, M_infapp) est :
    (5/9, 1/9) pour le chiffre 1,
    (5/27, 1/45) pour le chiffre 5,
    (1/9, 1/81) pour le chiffre 9.
Pour exemple, le graphe ci-dessus montre la courbe des fréquences du premier chiffre 1 (en rouge) et celle du premier chiffre 9 (en bleu) pour les entiers de 1 à 10 000, en échelle logarithmique [WIK1].

La suite f_c(n) ne converge donc pas et oscille indéfiniment entre deux valeurs extrêmes. Pour adoucir ces oscillations [DEL1], on fait la moyenne s_c(n) = (1/n) ∑_{k = 1, n} [f_c(k)], appelée moyenne de Cesàro. La nouvelle suite s_c(n) ne converge toujours pas mais varie dans un intervalle plus étroit.
En recommençant ce procécé de moyenne (t_c(n) = (1/n) ∑_{k = 1, n} [s_c(k)]), on obtient des suites successives (t_c(n), u_c(n), etc.) qui varient dans des intervalles de plus en plus étroits et B. Flehinger a démontré en 1966 que l'intervalle que l'on obtient en poursuivant ces calculs de moyennes de moyennes s'approche, à l'infini, de la valeur attendue de la loi de Benford, soit log_b(1 + 1/c)
Ainsi, la fréquence des nombres entiers commençant par le chiffre c vérifie une forme "faible" de la loi de Benford (au sens des moyennes itérées de Cesàro), chaque fréquence convergeant vers la valeur log_b(1 + 1/c)
Cette convergence d'une suite au sens de Cesàro permet de faire converger des suites qui étaient divergentes. Exemple connu, la suite "01010101..." converge vers 1/2 au sens de Cesàro.

B1.2.6. Cas des suites numériques :

Certaines suites numériques remarquables satisfont la loi de Benford à l'infini, c'est-à-dire que la proportion des termes de la suite jusqu'à n, dont le premier chiffre est c, tend vers la valeur log₁₀(1 + 1/c) quand n tend vers l'infini.
C'est le cas des suites 2ⁿ, nⁿ et (n !), ainsi que des coefficients du binôme de Newton [DEL1].
Il en est de même pour toute suite rⁿ où r est un réel positif tel que log₁₀(r) ne soit pas un nombre rationnel (c'est-à-dire un rapport de deux entiers) [DEL1].
Il en est également de même pour toute suite définie par une relation de récurrence de type : u(n) = a₁ u(n - 1) + a₂ u(n - 2) + ... + a_p u(n - p), en particulier pour la suite de Fibonacci (définie par : u(0) = u(1) = 1 et u(n) = u(n - 1) + u(n - 2)) [DEL1].

B1.2.7. Sources relatives à la loi de Benford

[AMQ] Association Mathématique du Québec, La loi de Newcomb-Benford ou la loi du premier chiffre significatif.
[ATO] P. Andriotis, T. Tryfonas, G. Oikonomou, T. Spyridopoulos, On Two Different Methods for Steganography Detection in JPEG Images with Benford's Law, NATO Spie conference 2013.
[CHA] Jean-Marie Champeau, Les illusions - La loi de Benford.
[DEL1] Jean-Paul Delahaye, L'étonnante loi de Benford, article de la revue Pour la science, rubrique Logique et calcul, N°351 de janvier 2007.
[DEL2] Jean-Paul Delahaye, Une explication pour la loi de Benford, article de la revue Pour la science, rubrique Logique et calcul, N°489 de juillet 2018.
[ROU] Thierry de la Rue, Gaëlle Chagny, L'incroyable statistique des premiers chiffres, Université de Rouen.
[WIK1] Wikipedia, Loi de Benford.
[WIK2] Wikipedia, Test du X².

B1.3. Mots croisés

Sont recensées ci-dessous les plus grandes grilles de mots croisés conçues sans aucune case noire (grilles "parfaites"), connues en français, anglais, italien, espagnol, latin, serbe, croate, hongrois, hébreu, allemand.
Certaines grilles sont classiques (rectangulaires, ou carrées avec des mots différents en horizontal et en vertical, parfois appelées "grilles asymétriques"), d'autres sont symétriques (carrées avec répétition des mêmes mots en horizontal et en vertical, appelées "carrés magiques de lettres").
Dans les deux cas, les plus "belles" grilles sont celles pour lesquelles tous les mots sont exprimés dans la même langue, à l'exclusion des noms propres, et s'écrivent nativement sans aucun séparateur (blanc, point, trait d'union, apostrophe, etc.). Elles sont indiquées par le label ***

Les records en 2024 pour les plus grandes grilles parfaites sont les suivants :
1. En français :
     * Claude Coutanceau (grille classique 9x9)
     *** Jean-Charles Meyrignac (grille classique 9x8)
     * Michel Laclos (grille symétrique 10x10)
     * Régis Petit (2 grilles symétriques 10x10)
     *** Christophe Lecoutre et Sébastien Tabary (grille symétrique 9x9)
     *** Laurent Bartholdi (2 grilles symétriques 9x9)
     *** Brice Allenbrand (49 grilles symétriques 9x9)
2. En anglais :
     * Jeff Grant (grille symétrique 12x12)
     * Jeff Grant (grille symétrique 11x11)
     * Rex Gooch (2 grilles symétriques 11x11)
     *** Matevz Kovacic (grille symétrique 10x10)
3. En italien :
     *** Auteur non connu (grille symétrique 8x8)
4. En espagnol :
     *** Auteur non connu (grille symétrique 8x8)
5. En latin :
     *** Eric Tentarelli (2 grilles symétriques 11x11)
6. En serbe :
     * Boris Nazanski (grille symétrique 10x10)
     * Zivota Stankovic (grille symétrique 10x10)
7. En croate :
     * Milutin Tepsic (grille symétrique 11x11)
     * Zarka Dokica (grille symétrique 11x11)
8. En hongrois :
     * Auteur non connu (grille classique 9x9)
9. En hébreu :
     * Auteur non connu (grille classique 10x10)
10. En allemand :
     *** Claude (17 grilles symétriques 8x8)
11. En d'autres langues :
D'autres grilles parfaites sont disponibles en d'autres langues (*) mais avec des dimensions modestes (8x8 et inférieur). Voir [CPT Collection].
(*) arabe, arménien, biélorusse, bulgare, chinois, tchèque, danois, néerlandais, allemand, grec, hindi, kazakh, coréen, lituanien, macédonien, persan (farsi), polonais, portugais, roumain, russe, slovène, suédois, turc, ukrainien.

Remerciements : L'Auteur remercie Jean-Charles Meyrignac pour ses conseils et la fourniture d'une partie des sources.
Aidez-nous : Si vous connaissez d'autres grilles de dimensions 8x8 ou supérieur, merci de prendre Contact.

B1.3.1. Grilles en français :

Grilles classiques (1 grille 9x9 et 1 grille 9x8) :

* Figure 1 : grille 9x9 réalisée en 2010 par Claude Coutanceau [DRI][WIK, Mots croisés].
Horizontalement:
  REABRASES : du verbe réabraser (abraser à nouveau)
  ENCRENENT : du verbe encréner (faire des créneaux)
  OCTOCORDE : instrument de musique constitué de 8 cordes à 8 notes conjointes
  CHICORIUM :
         1. Nom latin utilisé dans les textes botaniques et médicaux pour désigner la chicorée.
         2. Erreur d'orthographe en français pour le nom Cichorium, genre botanique relatif aux chicorées. Cette faute se trouve souvent dans les articles culinaires, voire scientifiques.
         3. Nom d'une entreprise basée à Pulborough en Angleterre.
  RAVAUDERA : du verbe ravauder (raccommoder en couture)
  EPARTIRAS : du verbe épartir (épandre)
  RENIERONS : du verbe renier (désavouer)
  ALTERANTE : de l'adjectif altérant (qui altère)
  SASSASSES : du verbe sasser (tamiser)
Verticalement:
  REOCRERAS : du verbe réocrer (ocrer à nouveau)
  ENCHAPELA : du verbe enchapeler (coiffer)
  ACTIVANTS : de l'adjectif activant (qui active)
  BROCARIES :
         1. Ancien écart ou hameau de la commune de Varennes en Dordogne [GOU]
         2. Du verbe catalan brocar (deuxième personne du singulier du conditionnel) signifiant percer
  RECOUTERA : du verbe recoûter (coûter à nouveau)
  ANORDIRAS : du verbe anordir (tourner au nord)
  SERIERONS : du verbe sérier (classer)
  ENDURANTE : de l'adjectif endurant (qui endure)
  STEMASSES : du verbe stemer ou stemmer (faire un stem au ski)

*** Figure 2 : grille 9x8 réalisée en 2004 par Jean-Charles Meyrignac [ECK, A near-perfect French 9-By-8 word rectangle][WIK, Mots croisés].
Horizontalement:
  DECROCHES : de l'adjectif décroché
  ECOEURANT : de l'adjectif écoeurant
  RONFLANTE : de l'adjectif ronflant
  ATTRISTER : du verbe attrister
  PARAPHERA : du verbe parapher
  EMACIERAS : du verbe émacier
  REITERAIS : du verbe réitérer
  ASSENASSE : du verbe asséner
Verticalement:
  DERAPERA : du verbe déraper
  ECOTAMES : du verbe écôter (enlever la côte des feuilles de certains légumes)
  CONTRAIS : du verbe contrer
  REFRACTE : du verbe réfracter
  OULIPIEN : de l'adjectif oulipien (relatif à l'oeuvre littéraire Oulipo)
  CRASHERA : du verbe crasher
  HANTERAS : du verbe hanter
  ENTERAIS : du verbe enter
  STERASSE : du verbe stérer

Grilles symétriques (3 grilles 10x10 et 54 grilles 9x9, affichage partiel) :

* Figure 1 : grille 10x10 publiée en 1977 dans le livre "Jeux de lettres, jeux d'esprit" par Michel Laclos [GRA, Ars-Magna].
  REMEURTRIE : du verbe remeurtrir
  ETABLERENT : du verbe établer (mettre à l'étable)
  MATOU VESTE : phrase : "matou vesté", le second mot signifiant habillé ou investi en vieux français, ou ennivré en dialecte génevois. Exemple de phrase plausible dans un contexte de littérature médiévale : "Voyez ce fier matou vesté de son pelage noble, qui marche avec l'allure digne d'un seigneur".
  EBOULASSES : du verbe ébouler
  ULULASSENT : du verbe ululer
  REVASSANTE : de l'adjectif rêvassant
  TRESSAUTER : du verbe tressauter
  RESSENTIRA : du verbe ressentir
  INTENTERAI : du verbe intenter
  ETESTERAIS : du verbe étester (forme ancienne du verbe étêter)

* Figure 2 : grille 10x10 réalisée en 2025 par Régis Petit.
Cette grille utilise cinq mots tautonymes (composés chacun de deux parties identiques) répétés deux fois.
  OBAMA OBAMA :
         1. phrase : slogan "Obama ! Obama !" souvent scandé par les partisans lors d'événements en lien avec Barack Obama
         2. phrase : titre "Obama Obama" d'un livre néerlandais de Tom-Jan Meeus publié en 2009
         3. phrase : titre "Obama Obama" d'une chanson du groupe Millennium en 2008
         4. phrase : titre "Obama Obama" d'une chanson de Banjo Beats en 2020
         5. phrase : seconde partie du titre de la chanson "Felicidad America (Obama - Obama)" du groupe Boney M., selon deux versions 2009 (anglais et spanglish) adaptées de la version originale 1980 "Felicidad America (Margherita)"
  BISON BISON : phrase : nom scientifique du bison d'Amérique
  ASSIS-ASSIS : nom : terme médical du domaine de l'aide à la mobilité réduite, désignant le transfert sécurisé d'une personne d'un support assis à un autre support assis (comme d'un fauteuil à un lit en position assise), sans passer par la station debout.
  MOITE-MOITE : nom : expression familière signifiant moitié-moitié
  ANSER ANSER : phrase : nom scientifique de l'oie cendrée

* Figure 3 : grille 10x10 réalisée en 2025 par Régis Petit.
Cette grille utilise cinq mots tautonymes répétés deux fois.
  PANGA-PANGA : nom : bois dur d'Afrique
  ARIUS ARIUS : phrase : nom scientifique du mâchoiron fouet, espèce de poisson-chat
  NIAIS ! NIAIS ! ou NIAIS, NIAIS : phrase : répétition apparaissant dans de nombreux textes dramatiques et pièces de foire. Par exemple : "O niais ! niais ! niais !" dans la pièce Othello de Shakespeare (acte V, scène II), traduite par François-Victor Hugo en 1868.
  GUILIGUILI : nom : terme familier désignant l'action de chatouiller
  ASSIS-ASSIS : nom : terme médical du domaine de l'aide à la mobilité réduite, désignant le transfert sécurisé d'une personne d'un support assis à un autre support assis (comme d'un fauteuil à un lit en position assise), sans passer par la station debout.

* Figure 4 : grille 9x9 publiée en 1975 dans "Pratique des Mots Croisés" par Roger La Ferté et Jacques Capelovici (Que sais-je ? n° 1624) [CRU].
  TRAMERIEZ : du verbe tramer
  REDEPENDE : du verbe redépendre
  ADONISTES : botanistes spécialistes des plantes cultivées ou exotiques, dans le contexte de la botanique horticole ancienne
  MENASSENT : du verbe mener
  EPISTANTE :
         1. Adjectif verbal féminin pouvant signifier broyante (mais non officiel en français) et formé sur le verbe épister signifiant broyer ou piler (terme de pharmacie) ;
         2. Participe présent (et adjectif verbal) du verbe portugais epistar signifiant broyer ou piler (terme de pharmacie) ;
         3. Nom du tableau "Epistante, 2019" peint par Simone Pelligrini, artiste dont l'atelier est à Bologne en Italie.
  RESSAUTER : du verbe ressauter
  INTENTERA : du verbe intenter
  EDENTERAI : du verbe édenter
  ZESTERAIS : du verbe zester

* Figure 5 : grille 9x9 publiée en 1977 dans le livre de Guy Brouty "Les Mots Croisés, toute une histoire" (Hachette) [CRU]. Voir [CHA].
  BRASSAMES : du verbe brasser
  REMEUVENT : du verbe remouvoir
  AMARRANTE :
         1. Erreur d'orthographe courante pour le nom amarante, plante relative au genre botanique Amaranthus. Cette faute se trouve souvent dans les articles culinaires.
         2. Adjectif verbal féminin pouvant signifier captivante, attachante ou qui amarre (mais non officiel en français) et formé sur le verbe amarrer ;
         3. Personnage "Amarrante" de la série d'albums pour enfants "Les Florafées" créée par H.F. Diané ;
         4. Deux villas de vacances "Borgo Amarrante" et "Molino di Amarrante" situées à Montaione en Toscane (Italie) ;
         5. Participe présent du vieux verbe italien amarrare signifiant amarrer.
  SERPENTER : du verbe serpenter
  SUREXCITA : du verbe surexciter
  AVANCERAS : du verbe avancer
  MENTIRONS : du verbe mentir
  ENTETANTE : de l'adjectif entêtant
  STERASSES : du verbe stérer

*** Figure 6 : grille 9x9 réalisée en 2007 par Christophe Lecoutre et Sébastien Tabary [LGD, Les Carrés symétriques-4].
  SACCAGENT : du verbe saccager
  AEROLOGIE : du nom aérologie
  CRAINDRAS : du verbe craindre
  COITERAIT : du verbe coïter
  ALNELOISE : de l'adjectif alnélois (relatif aux habitants de la commune d'Auneau en Eure-et-Loir)
  GODRONNER : du verbe godronner (border de godrons)
  EGRAINERA : du verbe égrainer
  NIAISERAI : du verbe niaiser
  TESTERAIS : du verbe tester

*** Figure 7 : grille 9x9 réalisée en 1996 par Laurent Bartholdi [WIK, Carré magique][WIK, Mots croisés] et communiquée par Patrick Jenty [LGD, Les Carrés symétriques-4].
  PACTISENT : du verbe pactiser
  ACHEMINER : du verbe acheminer
  CHARMERAI : du verbe charmer
  TERRIGENE : de l'adjectif terrigène (qui provient de l'érosion des terres)
  IMMINENTS : de l'adjectif imminent
  SIEGERAIT : du verbe siéger
  ENRENASSE : du verbe enrêner (mettre les rênes)
  NEANTISER : du verbe néantiser
  TRIESTERS : composés organiques possédant trois fois la fonction ester

*** Figure 8 : grille 9x9 réalisée en 1996 par Laurent Bartholdi [WIK, Carré magique][WIK, Mots croisés] et communiquée par Patrick Jenty [LGD, Les Carrés symétriques-4].
  PRECAIRES : de l'adjectif précaire
  REDONNENT : du verbe redonner
  EDENTASSE : du verbe édenter
  CONCILIER : du verbe concilier
  ANTISIGMA : lettre en forme de sigma renversé
  INALIENES : de l'adjectif inaliéné
  RESIGNONS : du verbe résigner
  ENSEMENCE : du verbe ensemencer
  STERASSES : du verbe stérer

*** Figures 9, 10 et 11 : 6 grilles 9x9 (avec variantes) réalisées en 2007 par Brice Allenbrand [LGD, Les Carrés symétriques-4][ALL].
  Grille CABOSSERA
  Grille CASEMATER : Trois variantes sont possibles en remplaçant Z par E, R ou S dans RESSASSEZ
  Grille CRAMPERAS

*** Figures 12 puis 13 à 24 : 43 grilles 9x9 (avec variantes) réalisées en 2008 par Brice Allenbrand [LGD, Les Carrés symétriques-3][LGD, Les Carrés symétriques-2][LGD, Les Carrés symétriques-1].
  Grille ACCAPARER : Trois variantes sont possibles en remplaçant le R final par E, S ou Z dans RESSASSER
  Grille ARECACEES
  Grille ARRIVERAS
  Grille CHAMBRIER
  Grille CHASSABLE
  Grille CLASSABLE
  Grille CRAVACHEE
  Grille CRETACEES
  Grille EMECHASSE : Cinq variantes sont possibles en remplaçant le premier T par C dans ENTARTANT, et/ou U par D ou T dans ATTENUONS
  Grille EPERVIERE : Cinq variantes sont possibles en remplaçant C par T dans ENCARTONS, ou (C par S dans ENCARTONS, et premier N par S dans PUNEENNES), ou N par I dans ESSARTONS (en ligne horizontale et/ou verticale)
  Grille RAFRECHIS : Deux variantes sont possibles en remplaçant le deuxième T par R ou S dans INTERDITE
  Grille REGLABLES
  Grille RELACHERA : Quinze variantes sont possibles en remplaçant L par M dans RELACHERA (en ligne horizontale et/ou verticale), et/ou troisième S par I dans ASSONASSE (en ligne horizontale et/ou verticale)

B1.3.2. Grilles en anglais :

Grilles symétriques (1 grille 12x12, 3 grilles 11x11 et 164 grilles 10x10, affichage partiel) :

* Figure 1 : grille 12x12 réalisée en 2009 par Jeff Grant.
Cette grille utilise six mots tautonymes répétés deux fois [GRA, Some of my favorite squares].
  ENDING-ENDING : noun : the conclusion of the last part of a movie, play, book, etc.
  NGONGO-NGONGO : proper noun :
         1. Locality, Bengo Province, Angola, 8°1'S, 14°32'E
         2. Stream, Sangha region, Congo, 1°33'N, 15°41'E
  DOOGOO-DOOGOO : noun : variant of dugu-dugu, the sex act, or to have sex, in modern Jamaican English slang.
  INGENS INGENS : phrase : Megascops ingens ingens, subspecies of South American Rufescent Screech-Owl.
  NGONGENGONGE : noun : clipped person in New Zealand Maori.
  GOOSEY-GOOSEY : noun : variant of goosey, a foolish person, a simpleton, for example in the well-known English nursery rhyme "Goosey-Goosey Gander".

* Figure 2 : grille 11x11 réalisée en 1987 par Jeff Grant [GRA, Quasi eleven-squares].
Cette grille contient des noms propres.
  CENTIGRADES : noun : thermometers using the centigrade scale.
  EX-ORGUE RIMU : phrase : a nonce-term describing rimu wood formerly used in an orgue. 'Orgue' is defined as 'any of a number of long, thick timbers, pointed and shod with iron, formerly suspended over, or in the vaulted passage behind, a gateway, to be let down in case of attack; also, these pieces collectively'.
  NOMINATIVES : noun : words in the nominative case, in grammar.
  TRITICALITY : noun : triteness.
  IGNICOLISTS : noun : worshippers of fire.
  GUACONISING : noun : variant form of 'guaconizing', treating with guano.
  RETALIATORY : adj. : tending to, involving, or of the nature of, retaliation.
  ARI LISTENER : phrase : a listening person from the small community of Ari, Indiana. For example, a conversation between a resident of Ari, and one from Fort Wayne (12 miles away) could involve a Fort Wayne speaker and an 'Ari listener'.
  DIVISIONIST : noun : an advocate of the painting method known as divisionism.
  EMETT 'N RESCH : phrase : Emett and Resch are both surnames Iisted in the 1983 Melbourne, Australia, telephone directory. The form 'n is shown in Webster's Third Edition as a shortening of 'and'.
  SUSY'S GYRTHS : phrase : a nonce-term describing the refuges of someone named Susy, back in olden times. 'Susy' is shown in What to Narne the Baby, by Evelyn Wells, as a diminutive of 'Susan'. 'Gyrth' is an obsolete form of 'grith', a refuge or sanctuary.

* Figure 3 : grille 11x11 réalisée en 2004 par Rex Gooch [GOO, The eleven-square - Take one].
Cette grille contient des noms étrangers et des doubles noms associés à des prénoms et noms de famille américains.
  AABD ES SALAM : proper noun : Aabd es Salam, Syria, 36°45'N, 40°17'E
  AARON CORONA : proper noun : Aaron Corona is the U.S. Marine Corps Lance Cpl., a protective security detail team member with 3rd Battalion, 7th Marine Regiment.
  BRENDAN RUDD : proper noun : Brendan Rudd lives in Star, Idaho.
  DON FERREIRA : proper noun : Don Ferreira lives in Brentwood, California, or in Klamath Falls, Oregon.
  ENDEUTESSEN : conjugated verb : from Catalan verb endeutar-se (third person plural of the imperfect subjunctive) meaning to get into debt.
  SCARTAITELE : conjugated verb : from Romanian verb a scartai (second person singular of the imperfect indicative) meaning to creak.
  SONREIREMOS : conjugated verb : from Spanish verb sonreir (first person plural of the futur indicative) meaning to smile.
  ARRESTEREND : conjugated verb : from Deutsch verb arresteren (present participle) meaning to arrest.
  LOUISE MEADE : proper noun : Louise Meade lives in Lebanon, Indiana, or in Xichita, Kansas.
  ANDRE LONDON : proper noun : Andre London lives in Douglasville, Georgia.
  MADANE'S DENS : phrase : Madane's dens is a manufactured phrase. Madane is a locality in Oio region, Guinea-Bissau, 12°11'N, 15°19'W

* Figure 4 : grille 11x11 réalisée en 2005 par Rex Gooch [GOO, The eleven-square - Take two][GRA, Some of my favorite squares].
Cette grille contient des noms étrangers et des doubles noms associés à des prénoms et noms de famille.
  MORRIS MOSES : proper noun : Sir Morris Moses (1762-1830), later called Captain Ximenes. An alternative squares uses Norris-Moses, surname of American representational artist Dorothy NORRIS-MOSES [GRA, Some of my favorite squares].
  ORIENTIRANI : verbal adj. : oriented in Slovenian.
  RIMISURANTI : conjugated verb : from Italian verb rimisurare (present participle) meaning to remeasure.
  REID PAINTER : proper noun : Reid Painter, a pupil recorded on the 5th grade Elementary "A/B" Honor Rolls for October 2003 and January 2004 in North Chatham School, Chatham County, North Carolina.
  INSPIRADORS : noun : inspirators in Catalan.
  STUART MASON : proper noun : Dr Stuart Mason, English endocrinologist (1919-2003). A second alternative squares uses Stuart Mahon (a redident of Dublin, Ireland) and Santo Helier (a Spanish version of the name of the 6th century ascetic hermit (St. Heller), and also the capital of Jersey in the Channel Islands, which is named after him) [GRA, Some of my favorite squares].
  MIRIAM GRECO : proper noun : Miriam Greco and her husband David sold a property at 343 Barclay St, Burlington County, Philadelphia, around January 2004.
  ORANDARILOR : noun : from Romanian noun orandar (genitive or dative plural form) meaning someone who owns an inn.
  SANTOS ELLER : double proper noun : a Brazilian double surname. A Brazilian website devoted to the genealogy of the Eller family records "Maria dos SANTOS ELLER (born 3 June 1932)".
  ENTEROCOELE : noun : the body cavity formed from an outpocketing of the archenteron (a primitive digestive cavity), especially typical of echinoderms and chordates.
  SIERSNORREN : proper noun : a contrived Dutch meaning something like ostentatiously-decorated moustaches, formed by combinig sier (decorative or ornamental) with snorren (moustaches).

*** Figure 5 : grille 10x10 réalisée en 2023 par Matevz Kovacic, Slovénie [KOV][CAM].
Les dix mots sont tous des noms communs uniques.
  SCAPHARCAE : adj. : specific epithet of bacterium name Ornithinibacillus scapharcae
  CERRATEANA : adj. : specific epithet of plant name Pitcairnia cerreteana
  ARGOLETIER : noun : a light mouted soldier ; a mounted bowman
  PROCOLICIN : noun : a propeptide form of colicin
  HALOBORATE : noun : a type of inorganic compound
  ATELOMERES : adj. : specific epithet of moth name Ectropis atelomeres
  RETIREMENT : noun : withdrawal from one's position or occupation or form active working live
  CAICARENSE : adj. : specific epithet of plant name Machaerium caicarense
  ANEITENSIS : adj. : specific epithet of tree fern name Alsophila aneitensis
  EARNESTEST : adj. : superlative form of earnest

* Figure 6 : grille 10x10 réalisée en 2006 par Jeff Grant [GRA, FISCALISED ten-square revisited][GRA, The best ten-squares].
  FISCALISED : verbal adj. : variant of fiscalized
  IMPOLARITY : noun : absence of polarity
  SPALACINES : noun : blind mole-rats of the subfamily Spalacinae
  COLDNOSERS : noun : slang for hunting dogs that follow cold trails
  ALAN BROWNE : proper noun : an American bank consultant (1908-88), in Who's Who in America, 45th Ed., 1988-89.
  LA CORALINA : proper noun : locality located in the town of Candelaria, Artemisa province, Western Cuba, 22°45'N, 82°57'W
  IRISOLONES : noun : colourless estrogenic compounds derived from certain irises
  SINEWINESS : noun : state or quality of being sinewy ; firm strength
  ETERNNESSE : noun : variant of eternness, eternity
  DYSSEASSES : noun : 16th century forms of the noun diseases

* Figure 7 : grille 10x10 réalisée en 1995 par Jeff Grant [GRA, A spooner-assisted ten-square].
  VASSALISED : verbal adj. : subdued, subjugated
  ANTELARITY : noun : a blend of antelation (preference, precedence) and priority attributed to the Reverend William Spooner when mixing up the words of 17th-century Spanish scholar James Mabber : "Alleging the antelarity of time, and priotion of his debt".
  STYRACINES : noun : white crystalline substances obtained from storax and balsam of Peru
  SERENADERS : noun : people who serenade, entertain with music
  ALAN BROWNE : proper noun : an American bank consultant (1908-88), in Who's Who in America, 45th Ed., 1988-89.
  LA CAROLINA : proper noun : town located in the Jaén province, Spain, 38°16'N, 3°37'W
  IRIDOLINES : noun : oily liquid compounds derived from coal-tar
  SINEWINESS : noun : state or quality of being sinewy ; firm strength
  ETERNNESS : noun : variant of eternness, eternity
  DYSSEASSES : noun : 16th century forms of the noun diseases

* Figure 8 : grille 10x10 réalisée en 1998 par Ted Clarke [CLA, A new Wordsworth word square][LAN].
  DISCUSSING : verbal noun : talking
  INCANTATOR : noun : one who uses incantation
  SCARLATINA : noun : scarlet fever
  CARNITINES : noun : enzymes that transport activated long-chain fatty acids across the mitochondrial membrane
  UNLIKENESS : adj. : of little ressemblance
  STATE'S WREN : phrase : little bird on flag of some US states (especially South Carolina)
  SATIN WEAVE : phrase : silk-like cloth.
  ITINERATES : conjugated verb : wanders aimlessly
  NONES EVENT : phrase : plausible festival of the ancient Romans
  GRASS NESTS : phrase : nests made by weaver birds for example

* Figure 9 : grille 10x10 réalisée en 2008 par Martin Laeuter [cf mail du 8 septembre 2024 de Jean-Charles Meyrignac à Régis Petit].
  MADHAB PASA : proper noun : Madhab Pasa, village, babuganj upazila region, Bangladesh, 22°46'N, 90°17'E
  ARAEDAESIL : proper noun : Araedaesil, town, Chungcheongnam-do region, South Korea, 36°49'N, 126°58'E
  DAURAN NALA : proper noun : Dauran Nala, intermittent stream, Balochistan, Pakistan, 30°20'N, 67°23'E
  HERVIDEROS : proper noun : Los Hervideros, tourist site, Lanzarote island, Canary Islands, Spain, 28°57'N, 13°50'O
  ADAILE-KOMA : proper noun : Adaïlé-Koma, mountain, Djibouti, 11°29'N, 42°33'E
  BAND-E SIRAK : proper noun : Band-e Sirak, mountain, Wilayat-e Ghor Province, Afghanistan, 33°27'N, 65°7'E. An alternative square uses Band-e Zirak
  PENE-KIKILI : proper noun : Pene-Kikili, town, Maniema Province, Congo-Kinshasa, 4°36'S, 26°20'E
  ASARO RIVER : proper noun : Asaro River, river, Eastern Highlands Province, Papua New Guinea, 6°22'S, 145°12'E
  SILOMALELA : proper noun : Silomalela, village, Nias island, North Sumatra Province, Indonesia, 1°6'N, 97°39'E
  AL'ASAKIRAH : proper noun :
         1. Al'Asakirah, village, Dhamar Governorate, Yemen, 14°33'N, 44°40'E
         2. Al'Asakirah, village, Dhi Qar region, Irak, 31°0'N, 46°21'E
         3. Al'Asakirah, village, Bani Suwayf region, Egypt, 28°55'N, 30°53'E

* Figure 10 : grille 10x10 réalisée en 1973 par Dmitri Borgmann.
Cette grille utilise cinq mots tautonymes répétés deux fois [BOR, A new 100-letter word square][GRA, Ars-magna].
  RABBI, RABBI : phrase : included in the verse "And greetings in the markets, and to be called of men, Rabbi, Rabbi" in "Gospel According to Saint Matthew", Chapter 23, Verse 7 (cf "The New Testament and the Book of Psalms", King James Version, published by the American Bible Society (New York, 1972)).
  A SAIL ! A SAIL ! : phrase : included in the poetic quotation "I bit my arm, I sucked the blood, And cried, A sail ! a sail !" of Taylor Coleridge in "The Rime of the Ancient Mariner", Part III, Stanza 4 (cf "Familiar Quotations" by John Bartlett, 14th Edition, Revised and Enlarged, published by Little, Brown and Company (Boston and Toronto, 1968)).
  BASSA-BASSA : noun : general confusion, noise, and, in some cases, exchange of blows (cf "Notes for a Glossary of Words and Phrases of Barbadian Dialect" by Frank A. Collymore, published by Advocate Company (Bridgetown, Barbados, 1970)).
  BISON BISON : phrase : Bison bison, scientific (genus + species) name for the bison, a hoofed animal of western North America (cf "The American Heritage Dictionary of the English Language" edited by William Morris, published jointly by American Heritage Publishing Company, Inc., and Houghton Mifflin Company (Boston, New York, Atlanta, Geneva, Illionis, Dallas, Palo Alto, California, 1971)).
  ILANG-ILANG : noun : variant spelling of ylang-ylang, a tree native to the Phillippines, Java and India (cf "The World Book Dictionary" edited by Clarerce L. Barnhart, a Thorndike-Barnhart Dictonary published exclusively for Field Enterprises Educational Corporation (Chicago, London, Rome, Stockholm, Sydney, Toronto, 1968)).

* Figure 11 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GOO, An A to Z of ten-squares][GOO, My first ten-square].
  ABAPTISTUM : noun : abaptiston (cone-shaped trephine)
  BAHRAMTAPA : proper noun : in Azerbaijan, 39°44'N, 47°57'E
  AHLERBRUCH : proper noun : in Germany, 52°12'N, 8°29'E
  PREPARATOR : noun : a person who prepares
  TARADANOVA : proper noun : in Russia, 54°45'N, 86°41'E. An alternative square uses Tarakanova, 55°21'N, 38°57'E, also in Russia.
  IMBRANGLES : conjugated verb : old form of embrangles
  STRANGFORD : proper noun : Strangford :
         1. Village, Herefordshire, England, 51°57'N, 2°37'W
         2. Farmstead, New Zealand, 43°16'S, 172°06'E
  TAUTOLOGIA : noun : Late Latin (or Greek), whence tautology
  UPCOVERING : verbal noun : old form of up covering
  MAHRAS DAGI : proper noun : Mahras Dagi in Turkey, 36°43'N, 33°17'E

* Figure 12 : grille 10x10 réalisée en 2003 par Rex Gooch [GOO, Ten-squares with place names].
  BACKSBACKA : proper noun : Backsbacka, Finland, 63°27'N, 23°07'E
  ANHUMINAS : proper noun : Ribeirao Anhuminhas, Brazil, 22°53'S, 50°50'W
  CHAHARGAL'A : proper noun : Chahargal'a-i-Wazirabad, Afghanistan, 34°33'N, 69°09'E
  KUH-E SHAHIN : proper noun : Kuh-e Shahin, Iran, 35°24'N, 46°32'E
  SMASVALENE : proper noun : Smasvalene, Norway, 60°58'N, 4°38'E
  BI'R HASANAH : proper noun : Bi'r Hasanah, Finland, 30°27'N, 33°46'E
  ANGALACANE : proper noun : Angalacane, Mozambique, 22°28'S, 31°31'E
  CHAH-E NASIR : proper noun : Chah-e Nasir, Iran, 27°43'N, 58°01'E
  KALINANINA : proper noun : Kalinanina, Zambia, 14°23'S, 24°44'E
  ASANE HERAD : proper noun : Asane Herad, Norway, 60°28'N, 5°25'E

* Figure 13 : grille 10x10 réalisée en 2003 par Rex Gooch [GOO, Ten-squares with place names].
  BAGANBATAK : proper noun : Baganbatak, Columbia, 3°12'N, 99°40'E
  'ARAB AR RAML : proper noun : 'Arab ar Raml, Egypt, 30°31'N, 31°12'E
  GARANYEMBE : proper noun : Garanyembe, Zambia, 14°25'S, 26°56'E
  ABAG KANALI : proper noun : Abag Kanali, Azerbaijan, 39°11'N,48°36'E
  NANKUNSHAN : proper noun : Nankunshan, China, 23°38'N, 113°53'E. An alternative square uses Nankan Shan, Taiwan, 25°04'N, 121°18'E
  BRYANT BANK : proper noun : Bryant Bank, an undersea feature, 28°01'N, 92°28'W
  ARENSBURGA : proper noun : Arensburga, Estonia, 58°14'N, 22°30'E
  TAMA HARBOR : proper noun : Tama Harbor, Japan, 34°28'N, 133°56'E
  AMBLANGODA : proper noun : Amblangoda, Sri Lanka, 7°00'N, 81°11'E
  KLEIN-KARAS : proper noun : Klein-Karas, Namibia, railroad siding, 27°34'S, 18°06'E

* Figure 14 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GRA, The best ten-squares][GOO, Some superior ten-squares][CAM].
  DESCENDANT : noun : one descended from an ancestor ; issue, offspring
  ECHENEIDAE : noun : the remora family of fishes
  SHORTCOATS : noun : people wearing short coats
  CERBERULUS : adj. : specific epithet of ant name Camponotus cerberulus
  ENTEROMERE : noun : any segment of the embryonic alimentary tract
  NECROLATER : noun : someone who worships the dead or dead bodies
  DIOUMABANA : proper noun : a populated place in eastern Guinea, West Africa, 11°16'N, 9°08'W
  ADALETABAT : proper noun : a populated place in the Mus province, eastern Turkey, 38°58'N, 42°42'W
  NATURE-NAME : noun : a toponym (place name) embodying an allusion to a natural occurrence or geographical feature
  TESSERATED : verbal adj. : rare variant of tessellated, composed of small blocks of variously coloured material arranged to form a pattern

* Figure 15 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GOO, Some superior ten-squares].
  DESSEMBLED : verbal adj. : come from the old French verb dissembler meaning to dissemble
  EL-TAMARANI : proper noun : Wadi el-Tamarani, Egypt, 29°52'N, 34°32'E
  STITCHINGS : verbal noun : activities of sewing individual threads in something
  SATIRETTES : noun : small satires
  EMCRISTENE : noun : old form of fellow Christian. An alternative square uses emcrystene
  MAHESWARDI : proper noun : Nagar Maheswardi, Bangladesh, 24°04'N, 90°42'E,
  BRITTAINES : noun : old form of Britons
  LANTERNARO : noun : lantern maker or seller (of Italian origin)
  ENGENDERER : noun : producer, causer or bringer
  DISSEISORS : noun : persons who wrongfully dispossess

* Figure 16 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GOO, Some superior ten-squares].
Les dix mots sont tous sans séparateur (blanc, point, trait d'union ou apostrophe).
  DISSAVAGED : verbal adj. : civilized
  IKHATARENE : proper noun : Ikhatarene, Morocco, 33°17'N, 4°44'W
  SHORTLINGS : noun : short or small persons
  SARARESTII : proper noun : Sararestii, Romania, 44°56'N, 24°52'E
  ATTRISTING : verbal noun : saddening
  VALESTOLEN : proper noun : Valestolen, Norway, 60°49'N, 5°32'E
  ARISTOTILL : proper noun : medieval form of Aristotle
  GENTILITEE : noun : medieval form of gentility
  ENGINELESS : adj. : without an engine
  DESIGNLESS : adj. : being without a design

* Figure 17 : grille 10x10 réalisée en 1990 par G.H. Ropes [ROP, Further struggles with a ten-square].
  JAS J. ASCHER : proper noun : name of James J. Ascher found in a Kansas City telephone directory
  AQUAMARINE : noun : transparent blue-green gemstone
  SUFFISANTS : noun : citation-word plural for the obsolete adjective suffisant meaning sufficient
  JAFFA'S FORT : phrase : old military structure located in Jaffa, Palestine
  AMIATA TIER : phrase : Amiata is a mountain in the Apennine range in central Italy, part of a long chain which could plausibly be named the Amiata Tier
  SASSANIDAE : proper noun : members of the native dynasty that built and ruled an empire in Persia from 224 to 636
  CRAFTINESS : noun : cunning
  HINOIDEOUS : adj. : with veins proceeding from the midrib parallel and unbranched (venation of the leaves)
  ENTREASURE : verb : to lay up in or as in a treasury
  RESTRESSED : adj. : stressed again

* 5 autres grilles 10x10 réalisées en 1990 et 2002 par Jeff Grant.
Ces grilles incluent des noms étrangers ou des doubles noms associés à des prénoms et noms de famille américains. Voir [GRA, A modified ten-square][GRA, In search of the ten-square].
  1 grille ASTRALISED
  1 grille DISTALISED
  1 grille DORAASCHER
  1 grille INCAPABLER
  1 grille MISSATICAL

* 35 autres grilles 10x10 (avec variantes) réalisées en 2003 par Rex Gooch.
Ces grilles commencent par chaque lettre de l'alphabet en incluant des séparateurs (blanc, point, trait d'union ou apostrophe). Voir [GOO, An A to Z of ten-squares].
  1 grille BANPAKKHEN
  1 grille CILASTATIN
  2 grilles EPICOPARI
  1 grille FABODTRASK
  1 grille GATSCHAPAR
  2 grilles HARADSMALA
  1 grille IMPRESSUS
  1 grille JASTREBACA
  1 grille KACHIKAMAR
  1 grille LATCHESNES
  1 grille MACABABALO
  1 grille MAIDENPAPS
  1 grille MALENESSES
  1 grille NISISASPRO
  1 grille OCHIRIKROM
  1 grille OMIMICREEK
  1 grille PARADISIAL
  2 grilles PASSAGE-BED
  1 grille QALA'-I-NAMAK
  1 grille RESISTLESS
  2 grilles SPASMODISM
  1 grille TANAMALALA
  1 grille UNTUNNELED
  1 grille VALEAHOGEA
  1 grille WADIEL'EISH
  1 grille WADIGHABAT
  1 grille WALSHOUTEM
  1 grille XOMBANTANG
  2 grilles YATTAWATTE
  1 grille ZUSAMMFALL

* 108 autres grilles 10x10 (avec variantes) réalisées en 2003 par Rex Gooch.
Ces grilles utilisent cinq mots tautonymes ou quasi-tautonymes, répétés deux fois. Voir [GOO, Quarter ten-squares].
  10 grilles ABANGABANG
  12 grilles ALANGALANG
  18 grilles ANTINANTIN
  5 grilles CLANGCLANG
  1 grille HANGIHANGI
  1 grille ILANGILANG
  27 grilles INGITINGIT
  1 grille MANGIMANGI
  2 grilles ORANGOTANG
  1 grille ORANGUTANG
  1 grille RENGARENGA
  1 grille SANGASANGA
  1 grille SANGISANGI
  1 grille TANGITANGI
  21 grilles UNGASUNGAS
  1 grille URANGUTANG
  1 grille WALLAWALLA
  1 grille WANGIWANGI
  1 grille WHANGWHANG
  1 grille YLANGYLANG

* 3 autres grilles 10x10 (avec variantes) réalisées en 2004 par Rex Gooch.
Ces grilles incluent des séparateurs (blanc, point, trait d'union ou apostrophe). Voir [GOO, Hunting the ten-square].
  2 grilles NOSTOCACEA
  1 grille UORESPECHE

B1.3.3. Grilles en italien :

Grilles symétriques (1 grille 8x8) :

*** 1 grille 8x8 publiée en 1965 par Dmitri Borgmann [BOR, Language on Vacation, p.198].
  STACCATA : verbal adj. : detached
  TOREADOR : noun : bullfighter ; the more usual Italian word, however, is "toreadore".
  ARISTONE : noun : kind of hand organ
  CESSERAN : conjugated verb : poetic form of cesseranno meaning (they will) cease, which can be found in opera librettos
  CATENATA : verbal adj. : chained
  ADORATOR : noun : adorer
  TONATORI : noun : thunderers
  ARENARIO : adj. : sandy

B1.3.4. Grilles en espagnol :

Grilles symétriques (1 grille 8x8) :

*** 1 grille 8x8 publiée en 1965 par Dmitri Borgmann [BOR, Language on Vacation, p.198].
  PASAJERA : noun : female traveler
  ABATANAR : from the verb abatanar (infinitive form) meaning full cloth
  SATIRAZA : noun : fat, witty woman
  ATINARON : from the verb atinar (third person plural simple past form) meaning hit the mark : (they) hit the mark
  JARAMENA : feminine adj. : related to Jarama River in Spain. Example of use : "La ganaderia jarameña de toros"
  ENARENAR : from the verb enarenar (infinitive form) meaning cover with sand
  RAZONABA : from the verb razonar (third person singular imperfect form) meaning reason : (he) was reasoning
  ARANARAS : from the verb arañar (second person singular imperfect subjunctive form) meaning scratch : (that you) would scratch, or (if you) scratched, or (if you) were to scratch

B1.3.5. Grilles en latin :

Grilles symétriques (2 grilles 11x11) :

*** Figure 1 : grille 11x11 publiée en 2020 par Eric Tentarelli [TEN].
Attention : cette grille comporte une coquille à l'affichage : le second R du mot horizontal STERILITARI doit être changé en T [RPR].
  RESCISSEMUR : from the verb rescisso (first person plural future passive form) meaning discover (something unexpected)
  EXTENTERARE : from the verb extentero (infinitive form) meaning disembowel
  STENDERESIS : from the verb stendo (second person singular imperfect passive subjunctive form) defined as an apheretic form of extendo, a versatile verb whose primary meaning is extend or stretch out.
  CENSEREMINI : from the noun censeo (second person plural imperfect passive subjunctive form) meaning value, esteem
  INDEFINITAM : from the adjective indefinitus (feminine accusative singular form) meaning indefinite
  STERILITATI : from the noun sterilitas (dative singular form) meaning sterility
  SERENITATIS : from the noun serenitas (genitive singular form) meaning serenity. This particular inflected form may be familiar because Mare Serenitatis is one of the most visible features on the Moon.
  EREMITARIOS : from the adjective eremitarius (masculine accusative plural form) meaning living a hermit's life
  MARITATIONI : from the noun maritatio (dative singular form) meaning wedding or marriage
  URINATIONEM : from the noun urinatio (accusative singular form) meaning urination
  RESIMISSIMI : from the adjective resimus (masculine genitive singular of the superlative form) meaning turned up or bent back, which typically describes noses.
An alternative square is to change EXTENTERARE to EXTENTERATE (second person plural present imperative form of the same verb) and URINATIONEM to UTINATIONEM (accusative singular form of the noun utinatio meaning wish or expression of a wish).

*** Figure 2 : grille 11x11 publiée en 2020 par Eric Tentarelli [TEN].
  SCISSURAMUR : from the verb scissuro (first person plural present passive form) meaning cut (cloth, as to make garments)
  CONTENERARE : from the verb contenero (infinitive form) meaning make tender
  INFAMATORIS : from the noun infamator (genitive singular form) meaning slanderer
  STAMINAMINI : from the verb stamino (second person plural present passive form) meaning spin (thread) or support (a vine) with stakes
  SEMILIMATAM : from the adjective semilimatus (feminine accusative singular form) meaning half-polished
  UNANIMITATI : from the noun unanimitas (dative singular form) meaning unanimity
  RETAMINATIS : from the verb retamino (second person plural present form) meaning befoul, particularly with excrement
  AROMATARIOS : from the noun aromatarius (accusative plural form) meaning dealer in spices or apothecary
  MARITATIONI : from the noun maritatio (dative singular form) meaning wedding or marriage
  URINATIONEM : from the noun urinatio (accusative singular form) meaning urination
  RESIMISSIMI : from the adjective resimus (masculine genitive singular of the superlative form) meaning turned up or bent back, which typically describes noses.

B1.3.6. Grilles en serbe :

Grilles symétriques (2 grilles 10x10) :

Ces grilles, ainsi que les grilles croates de Anton Ferderber et Boris Babic, ont été publiées en 1999 par Miroslav Lazarevic [NAZ][ECK, The polyglot ten-square].

* 1 grille 10x10 publiée en 1987 par Boris Nazanski [NAZ][ECK, The polyglot ten-square][TWO]. Traduction par [PER].
  SAMONAMENA : noun :
         1. sole purpose
         2. unique destination
         3. exclusive intent
  ANIMALIZAM : noun : animalism
  MILADINOVO : proper noun :
         1. Miladinovo Brdo, hill, 44°04'N, 21°28'E, located near the village of Balajnac, Despotovac Municipality, Pomoravlje district, Serbia.
         2. Miladinovo, village, Kardzhali Municipality, Kardzhali Province, Bulgaria, 41°42'N, 25°36'E
  OMANJI SITAR : phrase : little sitar
  NADIZATELJI : noun : those who surprise from above ?
  ALISA MARICH : proper noun : Serbian chess player and Minister of Youth and Sports in the Serbia Government in 2012
  MINI TALJIVA : phrase : miniature dissolving object ?
  EZOTERICHAN : adj. : esoteric
  NAVALJIVATI : verb : to push, to insist
  AMORICHANIN : noun : devotee of Cupid ?

* 1 grille 10x10 publiée en 1996 par Zivota Stankovic [NAZ][ECK, The polyglot ten-square][TWO]. Traduction par [PER].
  KAMATARINA : adj. : usurer's
  ABUSALATIN : noun : another name for the plant Ricinus communis. This term comes from the Arabic "habb" (grains) and "sultan" (sultan) which refers to the "grains of the sultans" (see https://jezikoslovac.com/ ).
  MUNARANINI : noun : little minaret ?
  A SALAMINI J : phrase : and the salamis for me ?
  TARASIJEVA : adj. : Tarasije's (Tarasije = Serbian form of the Greek first name Tarasios of Constantinople)
  ALAMINARIN : adj. : without laminarin (laminarin = polysaccharide of brown algae)
  RANI JANJANI : phrase :
         1. ancient Janjani (Janjani = locality, Srebrenik Municipality, Republika Srpska, Bosnia and Herzegovina, 42°13'N, 17°28'E)
         2. early Janja inhabitants (Janja = locality, Bijeljina Municipality, Republika Srpska, Bosnia and Herzegovina, 44°40'N, 19°15'E)
         3. early Janja supporters (Janja = Janja Bec Neumann, Serbian sociologist and genocide researcher, Nobel Peace Prize winner in 2005)
  ITINERARIJ : noun : itinerary
  NI NI VINICA : phrase : not even a small wine ?
  ANIJANIJAC : noun : little spell ? (anijanij = a spell in Marshall islands language)

B1.3.7. Grilles en croate :

Grilles symétriques (2 grilles 11x11 et 6 grilles 10x10, affichage partiel) :

* 1 grille 11x11 réalisée en 2015 par Milutin Tepsic [SRP]. Traduction conforme aux définitions de cette grille [SRP].
  KAPETANIJAC : noun : the man who lives in the captaincy
  ANATOMIKOVI : noun : those who belong to an academician (= anatomist's group ?)
  PAZI NA SHANAC : phrase : the soldier, a guard in the trench (ditch) (= watch the trench ?)
  ETIKETARINA : noun : the fee that is paid for affixing labels
  TONEVERIZAM : noun : Verism heavy as thunder
  AMATERIJALI : adj. : immaterials
  NISHARINARAC : noun : the toll collector of the Nichava bridge
  IKARIJASHITI : verb : to fly too close to the sun
  JONIZARIZAM : noun : doctrine advocating widespread ionization
  AVANALATARI : noun : mortar tool manufacturers
  CICA MICI MISH : phrase : the modern form of the saying "Render unto Cesar what is Cesar's, to God what is God's - literally, "to the cat what it likes most to hunt" (= to the kitty its mouse ?)

* 1 grille 11x11 réalisée en 2015 par Zarca Dokica [CVE]. Traduction conforme aux définitions de cette grille [CVE].
  ARI PALEVSKI : proper noun : collaborator on the film "Virginity" (2014) directed by Saeed Khoze.
  ROSANA GITAN : proper noun : compound female name, the namesake of the Swedish actresses Munter and Goding.
  ISPREBASATI : verb : to break out
  PARAMOLORAC : noun : resident of Paramo Lora region, Cantabria Province, Spain.
  ANEMARI KIRI : proper noun : Austrian humanitarian and author of the book "My Unusual Journeys - Steps of Hope" about her experiences in the 1991-1995 war.
  LABORATORIJ : noun : laboratory
  EGALITIRANA : verbal adj. : equalized
  VISOKORODAC : noun : vegetable plants with tall trees or stems, for example corn.
  STARI RADARI: phrase : obsolete radio-locators
  KATARINA ROJ : proper noun : a young member of the women's hockey club "Boston Samrocks"
  INICIJACIJA : noun : customs and rites (almost among all primitive peoples) by which a boy is declared a boy, and a girl a girl.

* 1 grille 10x10 NASTRANOST réalisée en 1941 par Anton Ferderber [DNE][NAZ].
* 1 grille 10x10 NADPRILIKA réalisée en 1984 par Boris Babic [BLO][NAZ].
* 1 grille 10x10 PERIPATUSI réalisée en 1987 par Boris Babic [ENI][NAZ].
* 1 grille 10x10 TIPSKAZENA réalisée en 2010 par Antun Cvitkovic [DNE][DNE2][NAZ].
* 1 grille 10x10 OSTANIDOMA réalisée en 2020 par Boris Babic, Resad Besnicanin, Zarko Dokic, Antun Juric, Nedjeljko Nedic, Ilija Ozdanovac et Georgi Zeravica [DOM].
* Autres grilles 10x10 dont celle de Zarca Dokica [CVE].

B1.3.8. Grilles en hongrois :

Grilles classiques (1 grille 9x9) :

* 1 grille 9x9 publiée par CPT [CPT]. Traduction par [PER].
Horizontalement:
  KI SZELNEK : phrase : "who are cutting ?"
  RAZAROEBA : ?
  IZEGOKNEK : adj. : to those who fidget
  SAROSIIDE : adj. : Saros's (Saros = former department of Hungary, 49°00'N, 21°14'E)
  ZSEREITEK : adj. : Zsére's (Zsére = another name for Zirany, Nitra region, Slovakia, 48°23'N, 18°10'E)
  TINIITEKE : phrase : to your teenagers
  ABANDOKEN : ?
  BANKEKERA : phrase : towards the bank group ?
  ANKETENEK : phrase : for his/her survey
Verticalement:
  KRISZTABA : phrase : into Kriszta (Kriszta = diminutive of Krisztina)
  IAZASIBAN : phrase : in the Iaz region
  SZERENANK : ?
  ZAGORINKE : proper noun : Zagorin's ?
  EROSEIDET : phrase : your strong ones ?
  LOKI I TOKE : phrase ? : the Loki bow and its arrow rest
  NENITEKEN : phrase : on your aunt
  EBEDEKERE : phrase : towards your lunches ?
  KAKEKENAK : ?

B1.3.9. Grilles en hébreu :

Grilles classiques (1 grille 10x10) :

* 1 grille 10x10 publiée par CPT [CPT]. Liste partielle des mots traduits par [PER] :
Horizontalement:
  1- she shoshbinotayikh : phrase : "who are her bridesmaids ?"
  12- keshelkhem yirkhtu : phrase : when it belongs to you, they buy it
  19- ve se ototeihem : phrase : and that theirs signs
Verticalement:
  1- shel keshe shukhlelu : phrase : of when they were perfected
  10- ha havayati'im : phrase : the experiential aspects

B1.3.10. Grilles en allemand :

Grilles symétriques (17 grilles 8x8 et 4 grilles 7x7) :

*** 2 grilles 8x8 (avec variante) réalisées par Claude en 2026 [CLAU].
  BLANKSTE : declined adj. : shiniest, barest
  LINEATUR : noun : ruling (a pattern of lines)
  ANRUDERN : verb : to approach by rowing
  NEUWERTE : noun : replacement values
  KADENZEN : noun : cadences
  STERZELN : verb : to raise the abdomen (of bees)
  TURTELTE : conjugated verb : billed and cooed (figuratively, flirted)
  ERNENNEN : verb : to appoint or name. An alternative square uses ERNENNET meaning : (that) you appoint or name.

*** 8 grilles 8x8 (avec variantes) réalisées par Claude en 2026 [CLAU].
  FLUGWEGE : noun : flight paths
  LINEARER : declined adj. : linear
  UNDANKES : declined noun : of ingratitude
  GEANKERT : conjugated verb : anchored. An alternative square uses GEACKERT meaning : worked hard, slogged.
  WANKENDE : conjugated verb : wavering, tottering
  ERKENNER : agent noun : one who perceives, understands
  GEERDETE : declined adj. : grounded, earthed
  ERSTERER : declined adj. : the former. Three alternative squares use ERSTEREM, ERSTEREN, ERSTERES in other declined versions.

*** 2 grilles 8x8 (avec variante) réalisées par Claude en 2026 [CLAU].
  ATEMWEGE : noun : airways, respiratory tract
  TARIEREN : verb : to tare (balance a scale)
  ERHELLST : conjugated verb : (you) illuminate, clarify
  MIETKAUF : noun : rent-to-own (purchase)
  WELKENDE : declinated adj. : wilting
  ERLANGET : conjugated verb : (that) you attain, obtain
  GESUDELT : conjugated verb : scribbled, smeared messily. An alternative square uses GESUDERT (regional, rare) meaning : worked hard, slogged.
  ENTFETTE : conjugated verb : degreases

*** 2 grilles 8x8 (avec variante) réalisées par Claude en 2026 [CLAU].
  HERZASSE : noun : ace of hearts
  EREILTER : declined adj. : overtaken, caught up with (by fate)
  RENNBAHN : noun : racetrack
  ZINNERNE : declined adj. : made of tin, pewter
  ALBERTEN : conjugated verb : (they/we) fooled around
  STARTERN : declined noun : to the starters
  SEHNERVS : declined noun : of the optic nerve. An alternative square uses SEHNERVE in other declined version.
  ERNENNST : conjugated verb : (you) appoint, name. The same alternative square uses ERNENNET meaning : (that) you appoint or name.

*** 1 grille 8x8 réalisée par Claude en 2026 [CLAU].
  LEIHAMTS : declined noun : of the pawnshop, loan office
  ERNEUERE : conjugated verb : (I) renew
  INZESTEN : declined noun : to incest cases
  HEERBANN : historical noun : feudal call to arms
  AUSBILDE : conjugated verb : (I) train
  METALLER : noun (colloquial) : metalworker
  TRENDELE : conjugated verb (regional) : (I) dawdle
  SENNEREI : noun : Alpine dairy farm

*** 2 grilles 8x8 (avec variante) réalisées par Claude en 2026 [CLAU].
  WEGWARFT : conjugated verb : (you) threw away
  EGRENIER : conjugated verb : gin (cotton) ! (separate fibers from seeds)
  GRÖLENDE : declined adj. : bawling, singing loudly
  WELLIGEN : declined adj. : wavy
  ANEIFERN : regional verb : to spur on, encourage
  RINGELTE : conjugated verb : curled, colled
  FEDERTEN : conjugated verb : (they) were springy, bounced
  TRENNEND : conjugated verb : separating. An alternative square uses TRENNENS meaning : of separating (declined noun).

*** 1 grille 7x7 publiée en 2022 par le magazine Süddeutsche Zeitung [SUD].
  SAMSARA : noun : samsara
  ANAEROB : adj. : anaerobic
  MAPPEUR : noun : mapper
  SEPTOLE : noun : septuplet (musical technical term)
  AEROPAG : noun : Areopagus (supreme court in ancient Athens)
  ROULADE : noun : roulade
  ABREGEN : verb : to cool down

*** 2 grilles 7x7 (avec variante) réalisées par Tim en 2022 [GIB].
  FIEBERT : conjugated verb : (he) has a fever. An alternative square uses SIEBERT meaning (regional technical term) : (he) filters.
  INNERER : declined adj. : inner
  ENDLOSE : declined adj. : endless
  BELEBEN : verb : to revive
  EROBERN : verb : to conquer
  RESERVE : noun : reserve
  TRENNEN : verb : to separate

* 1 grille 7x7 réalisée par Tim en 2022 [GIB].
  BEATLES : proper noun : Beatles
  EINHEIT : noun : unit
  ANREISE : noun : journey
  THEATER : noun : theater
  LEITERN : noun : ladders
  EISERNE : adj. : iron
  STERNEN : declined noun : stars

Sources relatives aux mots croisés :

• [ALL] Brice Allenbrand : page principale, 2002
• [BLO] Blogspot, 2023
• [BOR] Dmitri A. Borgmann, A new 100-letter word square, 1973
• [BOR] Dmitri A. Borgmann, Language on Vacation, Charles Scribner's Sons, 1965
• [CAM] T. Campbell, The Holy Grail of Logology, 2024
• [CHA] C. Chaplot, La théorie et la pratique des jeux d'esprit, 1895-1905
• [CLA] Ted Clarke, A new Wordsworth word square, 1998
• [CLAU] Claude, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Anthropic.
  
• [CPT] Crossword Power Tools - CPT Collection, 10 Aug 2017
• [CRU] cruci.com, Le lexique des mots croisés
• [CVE] Magcni kvadrat 11x11 Zarka Dokica
• [DNE] blog dnevnik, 2018
• [DNE2] blog dnevnik - definitions, 2018
• [DRI] Jacques Drillon, Les mots croisés ont 100 ans : les cases du siècle, Le Nouvel Obs, 2013
• [ECK] A. Ross Eckler, A near-perfect French 9-By-8 word rectangle, 2007
• [ECK] A. Ross Eckler, The polyglot ten-square, 2004
• [ENI] Enigmaticatio, 2020
• [DOM] Dominikanac, 2020
• [GIB] Plattform : "German Language Stack Exchange", Seitentitel : "Gibt es ein deutsches magisches Quadrat?", autor : Tim, 2022
• [GIB] DWDS, siebern, verb.
• [GOO] Rex Gooch, My first ten-square, 2002
• [GOO] Rex Gooch, Some superior ten-squares, 2002
• [GOO] Rex Gooch, Ten-squares with place names, 2003
• [GOO] Rex Gooch, An A to Z of ten-squares, 2003
• [GOO] Rex Gooch, Quarter ten-squares, 2003
• [GOO] Rex Gooch, Hunting the ten-square, 2004
• [GOO] Rex Gooch, The eleven-square - Take one, 2004
• [GOO] Rex Gooch, The eleven-square - Take two, 2005
• [GOU] Vicomte de Gourgues, Dictionnaire Topographique du département de la Dordogne, 1873
• [GRA] Jeff Grant, Ars-magna : the ten-square, 1985
• [GRA] Jeff Grant, Quasi eleven-squares, 1987
• [GRA] Jeff Grant, In search of the ten-square, 1990
• [GRA] Jeff Grant, A spooner-assisted ten-square, 1995
• [GRA] Jeff Grant, A modified ten-square, 2002
• [GRA] Jeff Grant, A further modified ten-square, 2004
• [GRA] Jeff Grant, The best ten-squares, 2006
• [GRA] Jeff Grant, Some of my favorite squares, 2009
• [GRA] Jeff Grant, FISCALISED ten-square revisited, 2019
• [KOV] Matevz Kovacic, Word square
• [LAN] Langage Log, 2005
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Accueil, 2011-2023
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Accueil idem
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Historique
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-4 (6 grilles Lecoutre, Jenty et Allenbrand)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-3 (Grilles Allenbrand n°10 à 24)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-2 (Grilles Allenbrand n°25 à 39)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-1 (Grilles Allenbrand n°40 à 54)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-1 idem (Grilles Allenbrand n°40 à 54)
• [NAZ] Boris Nazanski, Magicni kvadrat 10x10, 2010
• [PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
• [ROP] G.H. Ropes, Further struggles with a ten-square, 1990
• [RPR] r/programming
• [SRP] Srpska Enigmatika
• [SUD] Süddeutsche Zeitung, Des Osterrätsels Lösung, 29. April 2022
• [TEN] Eric Tentarelli - Large Word Squares in Latin, 2020
• [TWO] Two word squares in Serbian
• [WIK] Wikipedia - Mots croisés
• [WIK] Wikipedia, Carré magique (lettres)
• [WOR] Word ways, Butler University

B1.4. Mnémotechnique

1. Introduction
2. Tables de rappel des chiffres de 0 à 9
3. Tables de rappel des nombres de 00 à 99
4. Sources

B1.4.1. Introduction :

La mnémotechnique regroupe l'ensemble des techniques destinées à faciliter la mémorisation et le rappel d'informations grâce à des associations mentales.
Parmi ces procédés, la méthode des articulations chiffrées [WIK] se distingue par son efficacité pour retenir des nombres. Ce système repose sur une correspondance fixe entre les chiffres de 0 à 9 et des sons de type consonne. Par exemple, 3 correspond au son "m". En ajoutant librement des voyelles, on transforme les suites de chiffres en mots concrets, plus faciles à mémoriser. Par exemple, le nombre 42 peut devenir le mot mouton (m = 3, t = 1).
La table de rappel des chiffres (de 0 à 9) fut mise au point au 19e siècle par Aimé Paris [PAR, p.28], puis reprise à l'identique par l'abbé François-Napoléon-Marie Moigno [WIK]. Une version différente et plus simple fut ensuite proposée par Joe Bertin [BER] en 2018, reprise quasiment à l'identique par Régis Petit en 2025.
La table de rappel des nombres de 00 à 99 attribue, quant à elle, un mot concret à chacun de ces nombres.

Les étapes de la méthode des articulations chiffrées sont les suivantes :
1. Associer chaque chiffre de 0 à 9 à un son de type consonne, selon un code à retenir par coeur (voir Table de rappel des chiffres).
2. Convertir la suite de chiffres à retenir en une suite de sons, conformément à ce code.
3. Former une suite de mots à partir de ces sons en ajoutant des voyelles, de manière à créer phonétiquement une phrase, ou mentalement une histoire imagée et marquante.
4. Pour restituer les chiffres, procéder à l'inverse : histoire, mots, sons, chiffres.

Exemple d'histoire en français que l'on peut construire soi-même pour retenir les premières décimales du nombre Pi = 3, 14 15 92 65 35 89 79 32 38... :
- Selon table de rappel des chiffres de Aimé Paris : "assis par TeRre sur une modeste ToiLe, je suis en PaNne et GèLe. Au loin, près d'une MeuLe de foin, se trouve une VamP portant une CaPe de MoiNe et des MouFles."
- Selon table de rappel des chiffres de Régis Petit : "sur mon TanK, à côté d'une TaSse, d'une PoiRe et d'une GouSse d'ail, j'écoute la MeSse, quand surgit un BiP sonore. J'éclaire avec ma LamPe et vois une MaRe avec un MeuBle en plein milieu."

Applications :
Parmi les applications où la méthode des articulations chiffrées apporte un réel bénéfice, on peut citer :
- les numéros de téléphone codés en 5 mots concrets de deux chiffres chacun (exemple : 06 12 34 56 78)
- les dates anniversaire codées en 4 mots concrets (exemple : 24 02 1958)
- les codes d'accès (code PIN, code de porte d'immeuble, de coffre-fort, d'alarme, etc.) codés en 2 ou 3 mots concrets selon leur longueur
- les numéros de sécurité sociale codés en un chiffre initial (genre : 1 homme, 2 femme) suivi de 7 mots concrets (exemple : 1 58 02 XX XX XX XX XX)

B1.4.2. Tables de rappel des chiffres de 0 à 9 :

La table de rappel des chiffres de 0 à 9 n'est pas unique et dépend de son auteur :
- Celle de Aimé Paris a le mérite de codifier tous les sons courants de type consonne. L'association entre chiffre et son(s) doit être mémorisée par coeur.
- Celle de Joe Bertin associe une lettre de type consonne à chaque chiffre, ce qui fournit un support visuel facilitant grandement la mémorisation des sons.
- Celle de Régis Petit reprend la table de Joe Bertin en y modifiant les lettres associées aux chiffres 2 et 4, ce qui améliore le support visuel (voir Figure ci-dessus).
Les différentes tables sont les suivantes :
Légende du tableau : (*) selon l'écriture orthographique des phonèmes.

B1.4.3. Tables de rappel des nombres de 00 à 99 :

Chacun peut construire librement sa table de rappel des nombres de 00 à 99, conformément à une table de rappel des chiffres donnée.
Les tables de rappel des nombres de 00 à 99 proposées ci-dessous ont été créées par Régis Petit. La première est conforme au codage des chiffres par Aimé Paris, la seconde au codage des chiffres par Régis Petit.
Ces deux tables sont conçues selon les règles suivantes, permettant une mémorisation facile des mots concrets :
    Mot concret = nom commun ou propre, à une seule syllabe de type CVC ou CSVC, tel que :
    C = consonne associée au chiffre dans la table de rappel des chiffres.
    V = voyelle pouvant être (*) : "é" "è" "eu" "in" "a" "an" "ou" "o" "on" "i" "u"
    S = semi-consonne en attaque d'une voyelle V, pouvant être (*) : "w" "y" "u+"
    le noyau V ou SV de la syllabe étant choisi prioritairement parmi les sons (*) : "é" "è", "eu", "in" ; "a", "an" ; "ou", "w" V ; "o", "on" ; "i", "y" V ; "u", "u+" V
(*) selon l'écriture orthographique des phonèmes.
Les exceptions à ces règles sont mises en italique dans ces tables.

B1.4.4. Sources relatives à la Mnémotechnique :

[APP] Apprendre5minutes, Comment mémoriser facilement les chiffres ou les nombres
[BER] Joe Bertin, Astuce de mémorisation : la table de rappel
[LIV1] French Handwriting Schoolbook, écriture ronde française
[LIV2] pilllpat (agence eureka), album Alphabete
[PAR] Aimé Paris, Exposition et pratique des procédés mnémotechniques à l'usage des personnes qui veulent étudier la mnémotechnie en général comme un moyen d'abréger l'étude de toutes les connaissances humaines, Paris, 1825
[WIK] Wikipedia, Code chiffres-sons

B1.5. Palindromes

1. Introduction
2. Phrases palindromes attribuées
3. Phrases palindromes anonymes
4. Villes palindromes
5. Prénoms palindromes
6. Palindromes de mots
7. Palindromes numériques
8. Palindromes rotationnels
9. Palindromes miroirs
10. Palindromes musicaux
11. Sources

B1.5.1. Introduction :

Un palindrome est une forme de symétrie linguistique où une phrase (pouvant se limiter à un seul mot) se lit ou s'entend de la même manière dans les deux sens.
Les palindromes orthographiques reposent sur l'ordre des lettres dans l'écriture, comme dans C'est sec. Voir Phrases palindromes attribuées, Phrases palindromes anonymes, Villes palindromes et Prénoms palindromes.
De même pour les palindromes de mots qui reposent sur l'ordre des mots dans l'écriture, comme dans "Un pour tous, tous pour un".
De même pour les palindromes syllabique au niveau de la prononciation par syllabes, comme dans "Laconique Nicolas" correspondant à la suite syllabique "la" "ko" "ni" "ke" "ni" "ko" "la".
De même pour les palindromes phonétiques au niveau de la prononciation par phonèmes, comme dans "Il aima Amélie" correspondant à la suite phonétique "i" "l" "é" "m" "a" "a" "m" "é" "l" "i".
De même pour les palindromes numériques au niveau de l'écriture, comme dans la date "02/02/2020".
De même pour les palindromes rotationnels qui se lisent de manière identique après pivotement de l'ensemble d'un demi-tour, comme dans le mot "inoui".
De même pour les palindromes miroirs qui se lisent de manière identique après réflexion dans un miroir.
De même pour les palindromes musicaux au niveau des notes de la phrase musicale.

Les palindromes listés ci-dessous sont exclusivement des palindromes orthographiques de langue française, où l'on ne tient pas compte de la casse (majuscules/minuscules), des signes diacritiques (accent, tréma, cédille, tilde, etc.), des espaces et des signes de ponctuation (point, virgule, tiret, parenthèse, etc.).

B1.5.2. Phrases palindromes attribuées :

Les plus belles phrases palindromes de langue française, attribuées à un auteur, sont les suivantes :

A Cuba, Anna a bu ça (Gérard Durand).
A Laval, elle l'avala (Michel Laclos).
A l'étape, épate-la ! (Louise de Vilmorin).
A révéler mon nom, mon nom relèvera (Edmond Rostand, dans Cyrano de Bergerac).
Ce satrape repart à sec (Pierre Bailly).
C'est sec (Roger Cornaille).
Eh ! ça va la vache ? (Louise de Vilmorin).
Elisa, là, à l'asile (Lennig Gullon).
Elu par cette crapule (Charles Cros).
Emile-Eric, notre valet, alla te laver ton ciré élimé (Georges Perec).
Engage le jeu que je le gagne (Alain Damasio).
En nos repères, n'insère personne (Dominic Bergeron).
En route je tourne (Roger Cornaille).
Eric, notre valet, alla te laver ton ciré (Jacques Capelovici).
Esope reste ici et se repose (Jacques Capelovici).
Etel, un port trop nu, l'été (Claude Gaignière).
Et la Marine va venir à Malte (attribué à Victor Hugo).
Et Luc colporte trop l'occulte (Michel Laclos).
Et Tesio, né borné et naïf, emporte une vedette devenue trop méfiante en robe noisette (Francis Pacherie).
Karine égarée rage en Irak (Gérard Durand).
Karine libre à Erbil en Irak (Christophe L.)
La Marine en ira mal (attribué à Victor Hugo).
La mariée ira mal (Louise de Vilmorin).
L'âme des uns n'use de mal (Etienne Pasquier).
L'amer vin enivre mal (Jean T.).
La mère Gide digère mal (Louis Scutenaire).
L'âme sûre ruse mal (Louise de Vilmorin).
L'ami naturel ? Le rut animal ! (Louise de Vilmorin).
Lune de ma dame d'été, été de ma dame de nul (Louise de Vilmorin).
Nier est effet serein (Stéphane Susana).
Noël a trop par rapport à Léon (Sylvain Viart).
Oh ! cet écho (André Tomkins).
Par-delà le drap (Patrick Hospital).
Rions noir (Jacques Bens).
Rue Verlaine gela le génial rêveur (Jacques Perry-Salkow).
Ta bête te bat (Louise de Vilmorin).
Un art luxueux ultra nu ! (Matthieu Godbout).
Un émir fada, venu du Nevada, frime nu (Gérard Durand).

B1.5.3. Phrases palindromes anonymes :

Les plus belles phrases palindromes de langue française, sans auteur connu, sont les suivantes :

A l'autel elle alla, elle le tua là.
Bon sport, trop snob.
Car, tel Ali, il a le trac.
Ce mec.
essayasse.
Etna : lave dévalante.
Etre là, alerte.
Et se resservir, ivresse reste.
Ici.
Il a pâli.
Il a sali.
Karine alla en Irak.
L'âge légal.
La malade pédala mal.
L'âme d'Eve rêve de mal.
La mère puce récupère mal.
L'âne vénal.
malayalam (langue parlée en Inde).
mon nom.
Nie, reste net, serein.
Ni lac, ni patelin, ni le tapin câlin.
Oh ! Cela te perd, répéta l'écho.
ressasser.
Réussir à Paris : suer.
rotavator.
S'engager à revers : rêver à regagnes !
Sexe vêtu, tu te vexes ?
Ta belle porte s'use trop, elle bat.
Trace là mon nom à l'écart.
Un drôle de lord nu.
Un ému a son os au menu.
Un enfer bref. Né nu.
Un été nu.
Un rêve de ver nu.
Un roc lamina l'animal cornu.
Un roc si biscornu.
Zeus a été à Suez.

B1.5.4. Villes palindromes :

Les principales villes palindromes du monde sont les suivantes :

Allemagne : Burggrub (Bavière), Hammah (Basse-Saxe), Mussum (Rhénanie-du-Nord-Westphalie), Woddow (Brandenburg), Zeez (Mecklenburg-Vorpommern)
Angola : Seles (Cuanza Sul)
Arabie Séoudite : Al'Ula (Madinah)
Argentine : Neuquén (Patagonie)
Australie : Aramara (Queensland), Arrawarra (Nouvelle-Galles-du-Sud), Civic (Territoire de la Capitale Australienne), Glenelg (Adélaïde, Australie-Méridionale), Hattah (Victoria), Lal Lal (Victoria), Parap (Territoire du Nord), Paraparap (Victoria), Tumut (Nouvelle-Galles-du-Sud)
Belgique : Eke, Ellemelle (Province de Liège), Ere
Brésil : Aba (Bahia), Acaiaca (Minas Gerais), Aia (Ceara), Mutum (Minas Gerais)
Burkina Faso : Bob (Région du Centre-Ouest)
Canada : Elôle (Québec), Kinikinik (Alberta), Laval (Québec), Navan (Ontario), Salas (Nouvelle-Ecosse), Wakaw (Saskatchewan)
Chili : Lolol (O'Higgins)
Chine : Nan'an (Fujian)
Danemark : Dragsgard, Vellev
Egypte : Aga (gouvernement de Daqahliyya)
Espagne : Aba (Pays basque), Aja, Aya, Oco, Ollo (Navarre), Oro, Oso (Catalogne), Salas (Asturie), Saras, Senés (Andalousie), Sotos
Etats-Unis : Ada (Oklahoma, Oho, Minnesota), Ala (Alabama), Anna (Ohio, Texas, Illinois), Ava (Missouri, Illinois, New York), Capac (Michigan), Civic (Canberra), Eleele (Hawaï), Hannah (Michigan, Dakota du Sud, Caroline du Nord), Harrak (Oklahoma, Washington), Ixixi (Alaska), Kanakanak (Alaska), Kinikinik (Colorado), Level (Ohio, Maryland), Noxon (Montana), Otto (plusieurs Etats), Oto (Iowa), Remer (Minnesota), Renner (Texas), Wassamassaw (nom d'une région de Caroline du Sud)
Ethiopie : Asasa, Asosa
Finlande : Asa (Laponie), Esse, Ii (Ostrobotnie), Orö
France : Afa, Callac, Esse, Eve, Eze, Laval, Noron, Noyon, Oô, Sajas, Sanas, Saras, Savas, Sées, Selles, Senones, Serres, Sos, Sus
Grèce : Sedes, Serres
Groenland : Qaanaaq (Région Qaasuitsup)
Hongrie : Tat, Tét, Pap, Ziliz
Inde : Ara (Bihar), Aramara, Atta (Uttar Pradesh), Aya (Maharashtra), Gadag (Karnataka), Idappadi (Tamil Nadu), Itamati (Odisha), Rapar (Gujarat), Nawagawan
Iran : Barab, Basab, Kahak, Karak, Kuruk, Naran, Qoroq, Sarras, Selles, Sis, Sus, Tabbat
Irlande : Navan (Comté de Meath)
Israël : Akka, Na'an
Italie : Ala (Trentin-Haut-Adige), Ateleta (Abruzzo), Erre (Podesteria, ancien nom), Onano (Latium), Onno (Lombardie), Sennes (Tyrol du Sud), Siris (Calabre)
Japon : Aka (Fukuoka), Akasaka (Tokyo, Okayama), Ama (Shimane), Awa (Tokushima), Ono (Préfecture de Hyogo)
Mali : Tamahamat, Tassassat
Maroc : Akka, Assa
Mauritanie : Tétêt (Région de l'Adrar)
Niger : Tabadabat, Tassessat
Nigeria : Aba (Etat d'Abia), Abiriba, Apapa, Elele (Rivers), Irri, Ososo, Oyo (Etat d'Oyo)
Nouvelle-Zélande : Aka Aka (Auckland)
Pays-Bas : Ede (Province de Gueldre), Ee (Province de Groningue), Epe (Province de Gueldre)
Pologne : Wolow (Basse-Silésie)
République tchèque : Vokov
Roumanie : Anina (Judet de Caras-Severin)
Royaume-Uni : Anna (Suffolk), Eve (Ecosse), Eye (Cambridgeshire, Suffolk), Glenelg (Ecosse), Notton (West Yorkshire, Angleterre)
Russie : Aga (République de Sakha) Tommot (Iakoutie), Ulu (Iakoutie), Yessey (Krasnoïarsk)
Sénégal : Matam (Région de Matam)
Suède : Abba (Province de Dalécarlie), Dörröd, Kivik, Murum
Suisse : Planalp (Obwald)
Thaïlande : Nan (Province de Nan)

B1.5.5. Prénoms palindromes :

Les principaux prénoms palindromes sont les suivants :
Légende : (*) indique les prénoms palindromes les plus courants en France (nées en France ou recensées dans la base "Prénoms" de l'Insee depuis 1900).

Prénoms féminins :
Ada (*), Adda
Aa
Anevena
Anina
Anona
Arezera
Afifa
Aviva
Aia, Aya
Arora
Atta
Ece
Elle (*)
Eve (*)
Hawah, Hawwah
Immi
Ireri
Ivi
Izzi
Layal
Lenel
Malayalam
Maram
Okko
Viv

Prénoms masculins :
Aba, Abba
Alla
Aoloa
Bob (*)
Did
Efe
Lehel
Nan
Natan (*), Nattan
Nayan
Neven
Odo
Oto, Otto (*)
Reber
Reinier
Sabas
Savas
Talat, Tanat

Prénoms mixtes :
Aja (*)
Ama (*), Amma
Ana (*), Anna (*), Anena, Hannah (*)
Ara
Asa
Ava (*), Awa
Axa
Aza, Azza, Aziza
Civic
Ebbe
Ede
Eme, Emme (*)
Görög
Kajak, Kayak
Lil (*), Lyl
Noon
Nosson
Ono
Siris
Uru
Yay
Zaz

B1.5.6. Palindromes de mots :

Les palindromes de mots sont des phrases qui se lisent à l'identique de droite à gauche et de gauche à droite au niveau des mots, indépendamment de la casse (majuscules/minuscules) et des signes de ponctuation (point, virgule, tiret, parenthèse, etc.), comme dans les exemples suivants :
Un pour tous, tous pour un
Papa aime maman, maman aime papa
Nous avions les avions, nous !
Pierre baise à Baise-Pierre

Certains palindromes de mots, moins stricts, acceptent l'omission des signes diacritiques (accent, tréma, cédille, tilde, etc.), comme dans les exemples suivants :
La juste est juste là
La foule, foule-là !
Saint-Pierre a marié Marie à Pierre Saint

B1.5.7. Palindromes numériques :

Les plus beaux palindromes numériques sont les suivants [PAL][VIL] :

02-02-2020
21-12-2112
121 = 38 + 83 = 121
12 345 678 987 654 321 qui est le carré du nombre palindromique 111 111 111
982 623 644 294 744 275 088 611 239 676 071 787 170 676 932 116 880 572 447 492 446 326 289 qui est le carré du nombre non palindromique 31 346 828 297 209 660 045 268 842 120 992 233 (5 juillet 2024 - Patrick De Geest)
1 030 607 060 301 qui est le cube du nombre palindromique 10 101
1 331 000 039 930 000 399 300 001 331 qui est le cube du nombre palindromique 1 100 000 011
10 662 526 601 qui est le cube du nombre non palindromique 2 201

B1.5.8. Palindromes rotationnels :

Les palindromes rotationnels (appelés aussi "ambigrammes rotationnels") sont des mots ou des phrases qui se lisent de manière identique après pivotement de l'ensemble d'un demi-tour.
Cette propriété concerne exclusivement les caractères suivants [AMB][DEL] :
Chiffres : 0, 1, 8 qui restent invariants par rotation, et 6/9 qui est une paire de rotation l'un de l'autre.
Signes de ponctuation : - : () [] {} qui restent invariants par rotation.
Symboles : + - / x = ≠ ∞ \ ∫ ⊗ # $ % | θ ι ο χ qui restent invariants par rotation.
Lettres majuscules : H, I, N, O, S, X, Z qui restent invariantes par rotation, et M/W qui est une paire de rotation l'une de l'autre.
Lettres minuscules : i, l, o, s, x, z qui restent invariantes par rotation, et a/e, b/q, d/p, h/y, m/w, n/u qui sont des paires de rotation l'une de l'autre.

Les plus beaux palindromes rotationnels sont les suivants :
NON
SOS
SONOS
NOW NO SWIMS ON MON (qui signifie "Maintenant plus de piscine le lundi")
NeW MaN
aie
axe
aune
yeah
apode
inoui
sales
saxes
suons
nounou
salles
saisies
saillies
elle alla
andin basnoda a une épouse qui pue (Georges Perec).

A noter que certains mots peuvent donner un autre mot par rotation d'un demi-tour. Exemples :
91 = 90 + 01 / 10 + 06 = 19
NOM/WON
NOS/SON
las/sel
epis/sida
eues/sana
iles/sali
oued/pano
sans/sues
ailes/salie
aillé/allié
esses/sassa
assassins/suissesse
le pou / nodal

A noter également que certains mots peuvent donner le même mot ou un autre mot par rotation d'un quart de tour. Exemples :
Sens anti-horaire (où les majuscules C E H I M N O X Z deviennent respectivement U W I H E Z O X N) :
OHIO/OHIO
MON/ZOE
ZOE/WON
con/cou
Sens horaire (où les majuscules E H I N O U W X Z deviennent respectivement M I H Z O C E X N) :
OIE/OHM
ZOE/NOM

B1.5.9. Palindromes miroirs :

Les palindromes miroirs sont des mots ou des phrases qui présentent une symétrie axiale, horizontale ou verticale, et se lisent de manière identique après réflexion dans un miroir tenu horizontalement ou verticalement.
La symétrie horizontale inverse le haut et le bas, tout en conservant la gauche et la droite ainsi que l'ordre des lettres. BEC dans un miroir horizontal reste BEC
La symétrie verticale inverse la gauche et la droite ainsi que l'ordre des lettres au sein du mot, tout en conservant le haut et le bas. TOUT dans un miroir vertical devient TUOT
Ces propriétés de symétrie concernent exclusivement les caractères suivants [AMB][DEL] :

Symétrie horizontale :
Chiffres : 0, 1, 3, 8
Signes de ponctuation : . - : () [] {}
Symboles : + - x = > < ∑ ∞ ∫ ⊗ | € ε θ ι κ ο χ
Lettres majuscules : B, C, D, E, H, I, K, O, X
Lettres minuscules : c, i, k, l, o, x

Symétrie verticale :
Chiffres : 0, 1, 8
Signes de ponctuation : . - : " '
Symboles : + - ± x = * ∏ ∞ ⊗ _ | γ θ ι ν ο π τ υ χ ψ ω
Lettres majuscules : A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y
Lettres minuscules : i, l, m, o, u, v, w, x

Exemples de palindromes miroirs à symétrie horizontale :
BEC
BICHE
DIODE
EXCEDEE
kilo

Exemples de palindromes miroirs à symétrie verticale :
TOT
AVIVA (3ème personne du singulier du passé simple du subjonctif du verbe aviver MAOAM (marque de bonbons pâte à mâcher d'origine allemande)
MATAM (ville du Sénégal)
TAMAT (3ème personne du singulier de l'imparfait du subjonctif du verbe tamer)
TATAT (3ème personne du singulier de l'imparfait du subjonctif du verbe tâter)
TAXAT (3ème personne du singulier de l'imparfait du subjonctif du verbe taxer)
HAITI, AH !
MOT A TOM
wow (interjection d'origine anglaise exprimant la surprise ou l'émerveillement)

B1.5.10. Palindromes musicaux :

Les palindromes musicaux sont des séquences sonores construites de manière à rester identique lorsqu'elles sont lues dans un sens ou dans l'autre, selon deux types possibles de symétrie :
- La rétrogradation (B), qui consiste à rejouer la succession des notes (A) en ordre inverse dans le temps. Exemple (voir Figure ci-dessus) : la séquence originale Do Ré Mi Fa Sol La Si La Sol Fa engendre la séquence inverse Fa Sol La Si La Sol Fa Mi Ré Do.
- Le renversement (C), qui consiste à rejouer la succession des notes en inversant la direction des intervalles entre ces notes autour d'un axe horizontal imaginaire. Exemple (voir Figure ci-dessus avec Do choisi comme point de référence de l'axe horizontal) : la séquence Do Ré Mi Fa Sol La Si La Sol Fa engendre la séquence inverse Do Sib Lab Sol Fa Mib Réb Mib Fa Sol.
- La rétrograde du renversement (D), qui consiste à combiner ces deux procédés. Exemple (voir Figure ci-dessus) : la combinaison des deux exemples précédents engendre la séquence Sol Fa Mib Réb Mib Fa Sol Lab Sib Do.

Attention : le renversement palindromique (C) est différent du renversement d'un intervalle ou d'un accord en musique.

Selon les compositeurs, les morceaux A, B, C et D peuvent êtres mixés en séquence ou en superposition. Par exemple :
Chez Guillaume de Michaut ("Ma fin est mon commencement") : superposition A + B, où la voix du Ténor fait partie intégrante de A.
Chez J.S. Bach (Offrande musicale, canon cancrizans ou canon per motum contrarium) : superposition A + B ou parfois superposition A + D
Chez Haydn (symphonie n 47, menuet du Palindrome) : séquence A puis B puis C puis superposition A + D

B1.5.11. Sources relatives aux Palindromes :

[AMB] Wikipedia - Ambigramme
[DEL] Jean-Paul Delahaye, Ambigrammes, revue Pour la Science, N 323, Septembre 2004
[DUR] Gérard Durand, Palindromes en folie
[PAL] The Palindrome, Palindrome ?
[QUI] Quillbot, Palindromes
[RED] reddit, Quelle est la plus grande ville du monde qui porte un nom palindromique ?
[STA] StarinuX, Liste de palindromes
[VIL] Gérard Villemain, Langue - Palindromes - Villes
[VIL] Gérard Villemain, Formes- Palindromes - Introduction
[VIL] Gérard Villemain, Formes - Palindromes - Dates
[VIL] Gérard Villemain, Formes- Palindromes - Carrés
[VIL] Gérard Villemain, Formes- Palindromes - Cubes
[WIK] Wikipedia, Palindrome
[WIK] Wikipedia, Liste des palindromes en français
[WIK] Wikipedia, Palindrome (multilangues)

B1.6. Tours de magie

Voici une collection de tours de magie spectaculaires.

Sommaire :

1. Tours de magie avec cordes ou élastiques
2. Tours de magie avec cartes à jouer
3. Tours de magie avec des nombres
4. Sources

B1.6.1. Tours de magie avec cordes ou élastiques :

Voici quelques tours spectaculaires utilisant des cordes, des élastiques ou rien que les mains.

1. Mains retournées
2. Echange de piles entre deux mains
3. La bague voyageuse
4. Elastique sauteur entre doigts
5. Elastique sauteur entre mains
6. Elastiques entremêlés
7. Les lacets fous
8. Evasion avec mains liées

B1.6.1.1. Mains retournées :

Ce tour est une expérience de psychologie cognitive populaire.
On demande à un spectateur de croiser les bras, de joindre les deux mains, paume contre paume, en entrelaçant les doigts, puis de retourner l'ensemble en le remontant par l'intérieur.
Cette position un peu inconfortable expose alors les deux rangées de doigts vers le haut (voir Figure ci-dessus).
On désigne alors un doigt spécifique sans le toucher, et on demande au spectateur de le lever vite et sans réfléchir.
Le spectateur lève alors fréquemment le doigt symétrique opposé.
Cette erreur vient d'un conflit entre une représentation interne des doigts, perturbée par la posture inhabituelle, et les commandes motrices automatiques, prévues pour des mains en position normale. La vision pourrait corriger, mais pas assez vite lorsqu'on demande une réponse immédiate.

B1.6.1.2. Echange de piles entre deux mains :

Ce tour de dextérité consiste à échanger deux piles rondes AA d'une main à l'autre, sans lâcher les piles ni utiliser de trucage.
La manipulation est simple et rapide, mais difficile à reproduire par le spectateur.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [PRA][ASH]) :
1. Tenir dans chaque main une pile ronde AA au creux du pouce et de l'index, la pile étant pincée en son milieu, un peu inclinée vers le poignet et cul (pole négatif) vers la paume.
2. Mettre les mains face au spectateur, paumes cachées, en position tête-bêche, doigts à l'horizontale et dans un plan vertical.
3. Tourner la main droite d'un quart de tour dans le sens anti-horaire.
4. Rapprocher les deux mains l'une de l'autre, en gardant les doigts parallèles, le pouce droit venant glisser sous le pouce gauche.
5. Poser chaque pouce sur le cul de chaque pile et boucler avec chaque majeur venant se poser sur l'autre extrémité des piles (pole positif).
6. Pincer chaque pile entre pouce et majeur, puis écarter doucement chaque main.
7. Tourner légèrement les deux mains sur elles-mêmes afin de présenter au spectateur les deux piles en position verticale.
8. Ramener les piles en position initiale (étape 1) en inversant les étapes.

A noter : Au lieu de pincer les piles entre pouce et majeur, on peut aussi le faire entre pouce et index (comme montré sur la Figure ci-dessus), mais cette position de doigts lors du bouclage croisé (étape 5) est plus forcée et moins confortable.

B1.6.1.3. La bague voyageuse :

1. Ce tour spectaculaire nécessite une bague (ou un anneau) et un élastique coupé, de longueur 10 cm environ et de couleur pas trop voyante (voir Figure ci-dessus, cf. [MIR]).
2. Enrouler l'élastique dans votre main gauche en laissant dépasser de 1 cm environ l'extrémité, la pincer fermement entre pouce et index, puis passer l'élastique dans la bague.
3. Saisir l'élastique entre pouce et index de la main droite, le tendre au maximum et en l'inclinant légèrement vers le haut. La bague vient buter naturellement contre la main gauche.
4. Sans bouger aucune main, la bague se met alors à monter doucement le long de l'élastique.
Solution : après tension de l'élastique, le laisser filer doucement entre pouce et index de la main gauche, ce qui fait monter la bague.

B1.6.1.4. Elastique sauteur entre doigts :

Ce tour de magie nécessite un petit élastique de couleur voyante.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [CAR2]) :
1. Face au spectateur, présenter l'élastique au-dessus d'une main verticale.
2. Passer l'élastique autour de l'index et du majeur de cette main.
3. Coller doigts et pouce contre l'élastique et fermer le poing en le disant.
4. Souffler sur les doigts et réouvrir le poing. L'élastique saute soudainement et vient entourer les deux autres doigts.
Explications : juste avant la fermeture du poing, saisir l'élastique entre le pouce et l'index de l'autre main (5a), le-tirer rapidement vers le bas jusqu'en bas de paume (5b), fermer le poing (5c), déposer l'élastique à la base des quatre ongles des doigts, en allant de l'auriculaire à l'index (5d). Puis ouvrir le poing (5e).
Amélioration : pour mieux cacher cette manipulation secrète, avant la fermeture du poing, saisir l'élastique, le tirer en arrière avec l'index en plaquant la paume sur le poignet, pouce et autres doigts face au spectateur, fermer le poing, baisser les bras sous la table, déposer l'élastique sur les doigts, reformer le placage au poignet, remontrer l'ensemble inchangé au spectateur. Puis ouvrir le poing.

B1.6.1.5. Elastique sauteur entre mains :

Ce tour de magie nécessite deux élastiques de même couleur et assez longs.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [MAGE]) :
1. Présenter votre paume ouverte au spectateur, avec un élastique entourant le haut du pouce et la base des quatre autres doigts.
2. Avec l'index de l'autre main, décoller l'élastique tout autour de la main pour bien montrer que l'élastique est normal.
3. Présenter l'autre main en position tête-bêche, et tapoter doigts contre doigts.
4. Lever le pouce. L'élastique saute soudainement sur les quatre doigts de l'autre main.
Solution : préparer l'élastique comme suit :
5a. Passer l'élastique autour du poignet, côté paume de la main, puis au creux entre pouce et index.
5b. Serrer fortement le pouce contre l'index pour coincer l'élastique, puis retourner la main, paume vers le haut.
5c. Faire passer l'élastique entre haut du pouce et index en maintenant la pression.
5d. Retourner la main, paume vers le bas, puis passer la boucle de l'élastique autour des quatre doigts.
5e. Retourner à nouveau la main, paume vers le haut, l'élastique se trouvant à la base des quatre doigts.
5f. Tirer un peu l'élastique pour le faire passer au-dessus du haut du pouce.
5g. Porter un second élastique autour du poignet pour camoufler la préparation secrète.
La préparation est maintenant achevée et le tour peut commencer devant un spectateur.

B1.6.1.6. Elastiques entremêlés :

Ce tour de magie nécessite deux petits élastiques identiques et de même couleur.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [JER]) :
1. Tenir un élastique verticalement entre le pouce et l'index de la main gauche, et un autre entre pouce et majeur de la main droite, les deux élastiques étant entremêlés.
2. Manoeuvrer les deux mains en les rapprochant/éloignant et aussi en les faisant pivoter en sens inverse, pour montrer au spectateur que le système est bloqué.
3. Ecarter les mains soudainement. Les deux élastiques se trouvent libérés.
Solution :
4a. Au moment du pivotement des mains, passer l'index droit, qui est libre, dans la boucle du pouce droit.
4b. Enfoncer l'index droit et le passer derrière l'élastique de gauche.
4c. Retirer le majeur droit de l'élastique de droite.
4d. L'élastique passe automatiquement sur l'index droit.
4e. Recoller immédiatement l'élastique contre l'autre, afin de simuler le blocage.
4f. Ecarter les mains soudainement.
Solution améliorée (cf. [PAU][VAL]) :
A l'étape 1, tenir l'élastique horizontalement (et non verticalement), ce qui évite le passage derrière l'élastique de gauche à l'étape 4b.

B1.6.1.7. Les lacets fous :

Ce tour spectaculaire est le suivant :
1. Deux personnes sont debout face à face (voir Figure ci-dessus, cf. [EIT]).
Chacune a les poignets reliés par une corde d'environ 1 mètre, formant une boucle peu serrée autour de chaque poignet et fermée par un noeud supposé indémontable.
Les deux cordes sont entrelacées, ce qui relie les deux personnes.
Comment peuvent-elles se séparer sans couper la corde, sans défaire les noeuds et sans faire glisser la corde le long des mains ?
Solution :
2. Faire une Ganse (boucle ouverte en forme de U allongé) avec sa propre corde derrière la corde du partenaire.
3. Passer la Ganse à travers la boucle entourant le poignet du partenaire, en allant du bras vers les doigts.
4. Passer la Ganse par-dessus la main du partenaire.
5. Tirer sur la corde : celle-ci se dégage miraculeusement et les deux personnes se trouvent alors complètement séparées.

B1.6.1.8. Evasion avec mains liées :

Ce tour de magie nécessite seulement une corde de 70 cm de long environ.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [CAR1]) :
1. Placer une table entre vous et le spectateur, et montrer une "corde bien solide" tendue entre vos deux mains.
2. Poser la corde sur la table, parallèle au spectateur.
3. Poser votre main gauche au milieu de la corde, paume vers le haut.
4. Faire passer le brin droit de la corde, à gauche par-dessus le poignet, et devant le brin gauche.
5. Faire passer le brin gauche de la corde à droite par-dessus le poignet, sans croiser l'autre brin.
6. Poser la main droite sur la main gauche, paume vers le dessous.
7. Demander au spectateur de prendre les deux brins libres et de les nouer au dessus des mains par trois noeuds successifs bien serrés.
8. Lever vos bras en montrant vos deux mains bien attachées.
9. Descendre vos mains derrière la table puis aussitôt... ressortir votre main droite libre.
10. Redescendre la main libre derrière la table puis aussitôt... ressortir à nouveau les deux mains attachées.
11. Recommencer une nouvelle fois la séquence 9 à 10.
12. Descendre vos mains derrière la table puis aussitôt... ressortir les deux mains libérées.
Explications : derrière la table, faire un quart de tour en sens inverse à chaque poignet (13a, 13b, 13c, 13d) et retirer la main droite de la boucle (13e). Inverser la manoeuvre pour réattacher les deux mains ensemble.

A noter : une version plus sophistiquée de ce tour existe (voir [HAF]).

B1.6.2. Tours de magie avec cartes à jouer :

Voici quelques tours spectaculaires utilisant des cartes à jouer et réalisables par des enfants.

1. Les valets voleurs
2. Les quatre rois
3. Les quatre as
4. La carte retrouvée
5. Mémorisation magique
6. Le tour des 27 cartes
7. Le bonneteau

B1.6.2.1. Les valets voleurs :

Ce tour nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Sortir trois valets d'un jeu de cartes et laisser le paquet retourné sur la table (faces cachées).
2. Raconter l'histoire : "Trois voleurs veulent s'introduire dans une maison...
3. Le premier trouve un soupirail et passe par la cave (mettre un valet sous le paquet).
4. Le second monte sur le toit et passe par le grenier (mettre un valet sur le paquet).
5. Le troisième trouve une fenêtre ouverte et passe au rez-de-chaussée (insérer un valet dans le paquet)".
6. Demander au spectateur de "couper" le paquet.
7. Annoncer que les trois valets vont se retrouver ensemble et étaler le jeu en éventail pour le vérifier.
Solution : Préparer le paquet en mettant un valet (le quatrième) sur le dessus. Les trois valets réunis à la fin du tour ne sont pas les mêmes mais cela échappe souvent au spectateur.

B1.6.2.2. Les quatre rois :

Ce tour est une variante du tour "Les trois voleurs". Il nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Présenter les quatre rois en éventail devant le spectateur.
2. Les empiler sur le dessus du paquet restant.
3. Reprendre une à une les quatre cartes du dessus et les insérer dans le paquet.
4. Demander au spectateur de "couper" le paquet en deux parties approximativement égales.
5. Annoncer que les quatre rois vont se retrouver ensemble et étaler le jeu en éventail pour le vérifier.
Solution : avant de commencer le tour, rajouter discrètement une pile de quatre cartes quelconques sous l'éventail des quatre rois, bien cachée par le premier roi (voir Figure ci-dessus).

B1.6.2.3. Les quatre as :

Ce tour nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Donner au spectateur un jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu et présenter-le verticalement, face au spectateur.
2. Demander-lui de prendre un des as et de le mettre contre sa poitrine, face bien cachée.
3. Passer le jeu derrière votre dos, puis remontrer le jeu au spectateur en lui demandant de replacer son as dans le jeu.
4. Redonner au spectateur le jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu et sortir l'as choisi.
Solution :
- Préparer le jeu de cartes en mettant la "pointe" de chaque as situé au centre de la carte selon la même orientation (pique, coeur, trèfle), l'as de carreau étant symétrique (voir Figure ci-dessus).
- Derrière votre dos, tourner le jeu de cartes d'un demi-tour (haut/bas inversés).
- L'as choisi est l'as de carreau si aucune "pointe" n'est inversée, et l'as à "pointe" inversée dans le cas contraire.
- Attention : sortir du paquet l'as choisi, pouce dirigé vers soi, puis présenter la carte au spectateur, pouce dirigé vers lui (ce qui inverse le sens de la carte afin de pouvoir refaire le tour). Remettre ensuite la carte dans le paquet, pouce dirigé vers le spectateur

A noter : au niveau des figures (valet, dame, roi et joker), des cartes numériques (de l'as au dix) et des éventuels index disposés en coins opposés, les jeux de 54 cartes français standards post-19e siècle présentent généralement des cartes symétriques par rotation d'un demi-tour. Il existe 18 exceptions : les deux Joker (rouge et noir), les quatre "sept" (un par couleur) et quatre triplets de cartes (pique, coeur, trèfle) correspondant aux as, trois, cinq et neuf.

B1.6.2.4. La carte retrouvée :

Ce tour est une généralisation spectaculaire et peu connue du tour "Les quatre as". Il nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Donner au spectateur un jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu et présenter-le verticalement, face au spectateur.
2. Demander-lui de prendre une carte quelconque et de la mettre contre sa poitrine, face bien cachée.
3. Passer le jeu derrière votre dos, puis remontrer le jeu au spectateur en lui demandant de replacer sa carte dans le jeu.
4. Redonner au spectateur le jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu, présenter-le en éventail, faire défiler les cartes une par une rapidement et sortir la carte choisie.
Solution :
- Tout jeu de carte n'est pas parfaitement imprimé au milieu de chaque carte. Le bandeau blanc séparant le bord supérieur de la carte et le haut de sa partie imprimée (petit côté du rectangle entourant chaque figure, ou tête de chaque nombre) n'est pas identique entre le haut et le bas de la carte. Sauf exception, chaque carte possède donc un petit bandeau et un grand bandeau.
- Préparer le jeu de cartes en mettant le petit bandeau partout du même côté. Si le bandeau est quasi-identique entre haut et bas de carte, éliminer la carte du paquet.
- Derrière votre dos, tourner le jeu de cartes d'un demi-tour (haut/bas inversés).
- Lors du défilement des cartes, viser le bandeau du haut. La carte choisie est celle dont le bandeau change subitement de taille (petit/grand) par effet stroboscopique.
- Attention : sortir du paquet la carte choisie, pouce dirigé vers soi, puis présenter la carte au spectateur, pouce dirigé vers lui (ce qui inverse le sens de la carte afin de pouvoir refaire le tour). Remettre ensuite la carte dans le paquet, pouce dirigé vers le spectateur.

B1.6.2.5. Mémorisation magique :

Ce tour spectaculaire nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Battre le jeu de cartes.
2. Passer le jeu derrière votre dos, faire passer la carte du dessous sur le dessus du jeu et présenter verticalement le jeu au spectateur, du côté de cette carte.
3. Annoncer la carte et recommencer à l'étape 2.
4. Continuer ainsi avec toutes les cartes du paquet.
Solution :
- A la fin du battage des cartes, mémoriser discrètement la dernière carte sur le dessous du paquet.
- Pendant la présentation du jeu au spectateur, mémoriser la carte du dessous qui vous fait face.

B1.6.2.6. Le tour des 27 cartes :

Ce tour purement mathématique nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Faire un paquet de 27 cartes exactement.
2. Présenter au spectateur le paquet en éventail. Demander-lui de retenir mentalement une carte C, puis de donner un nombre N de 1 à 27. Calculer secrètement le nombre R = N - multiples de 9, en ajustant R entre 1 et 9 (exemples : si N = 18, alors R = 9 ; si N = 22, alors R = 4).
3. Retourner le paquet, faces cachées, et former trois colonnes de neuf cartes chacune, en retournant les cartes sur la table, faces visibles, par rangées horizontales de trois cartes, de gauche à droite, et de haut en bas (voir Figure ci-dessus).
4. Demander au spectateur de désigner la colonne dans laquelle se trouve sa carte, puis empiler les cartes, faces visibles et colonne par colonne, en ramassant la colonne désignée en position p = R - multiples de 3, en ajustant p entre 1 et 3 (exemple : si R = 4, alors p = 1). Plus simplement, la colonne p se "voit" immédiatement sans aucun calcul en répartissant R dans un carré 3x3, par rangées horizontales de 3, de gauche à droite, et de haut en bas (voir Figure ci-dessus).
5. Retourner le paquet et former à nouveau trois colonnes de neuf cartes chacune, comme précédemment, et redemander la colonne. Empiler les cartes, faces visibles et colonne par colonne, en ramassant la colonne désignée en position q = 1 + Ent[(R - 1)/3] (exemple : si R = 4, alors q = 2). Plus simplement, la colonne q se "voit" immédiatement sans aucun calcul en répartissant R dans un carré 3x3, par colonnes verticales de 3, de haut en bas, et de gauche à droite (voir Figure ci-dessus).
6. Retourner le paquet et former à nouveau trois colonnes de neuf cartes chacune, comme précédemment, et redemander la colonne. Repérer la carte C située dans cette colonne en position R. Empiler les cartes, faces visibles et colonne par colonne, en ramassant la colonne désignée en position r = 1 + Ent[(N - 1)/9] (exemple : si N = 22, alors r = 3). Plus simplement, la colonne r se "voit" immédiatement sans aucun calcul en répartissant N dans un rectangle 9x3, par colonnes verticales de 9, de haut en bas, et de gauche à droite (voir Figure ci-dessus).
7. Retourner le paquet et poser les cartes une à une sur la table, faces cachées, en comptant à partir de 1. A la Nème carte, annoncer la carte C et la retourner.

Démonstration :

Soit p, q et r les numéros d'ordre (entre 1 et 3) de ramassage de la colonne désignée, à chaque étalage des cartes en trois colonnes.
Soit N_p, N_q et N_r la position dans le paquet (entre 1 et 27) de la première carte du bloc contenant la carte C, après avoir ramassé la colonne désignée p, q ou r, et reformé le paquet.
A chaque étalage, on ne détermine pas la position exacte de la carte C dans le paquet, mais la position de la première carte du bloc qui la contient. La taille de ce bloc est divisée par 3 à chaque étape.

Au premier étalage, le paquet de 27 cartes est divisé en 3. Après avoir ramassé la colonne p et reformé le paquet, la carte C se trouve mécaniquement dans un bloc continu de 9 cartes, dont la position de la première carte vaut :
N_p = 1 + 9(p - 1), correspondant à l'intervalle I_p = [N_p, N_p + 8].
Exemples :
si p = 1, I_p = [1, 9].
Si p = 2, I_p = [10, 18].
Si p = 3, I_p = [19, 27].

Au second étalage, ce bloc de 9 cartes est divisé en 3. Après avoir ramassé la colonne q et reformé le paquet, la carte C se trouve mécaniquement dans un bloc continu de 3 cartes, dont la position de la première carte vaut :
N_q = 9(q - 1) + 1 + (N_p - 1)/3 = 1 + 9(q - 1) + 3(p - 1), correspondant à l'intervalle I_q = [N_q, N_q + 2].
Exemples :
si p = 1 et q = 1, I_q = [1, 3].
Si p = 1 et q = 2, I_q = [10, 12].
Si p = 2 et q = 1, I_q = [4, 6].
Si p = 2 et q = 2, I_q = [13, 15]
Si p = 3 et q = 1, I_q = [7, 9]

Au troisième étalage, ce bloc de 3 cartes est divisé en 3. Après avoir ramassé la colonne r et reformé le paquet, la carte C se trouve mécaniquement dans un bloc de 1 seule carte, dont la position vaut :
N_r = 9(r - 1) + 1 + (N_q - 1)/3 = 1 + 9(r - 1) + 3(q - 1) + (p - 1), correspondant à l'intervalle I_r = [N_r, N_r].
Exemples :
si p = 1, q = 1 et r = 1, I_r = [1, 1].
Si p = 1, q = 1 et r = 2, I_r = [10, 10].
Si p = 1, q = 2 et r = 1, I_r = [4, 4].
Si p = 1, q = 2 et r = 2, I_r = [13, 13].
Si p = 2, q = 1 et r = 1, I_r = [2, 2].
Si p = 2, q = 1 et r = 2, I_r = [11, 11].
Si p = 2, q = 2 et r = 1, I_r = [5, 5].
Si p = 2, q = 2 et r = 2, I_r = [14, 14].
Si p = 3, q = 1 et r = 1, I_r = [3, 3].

Compte tenu de l'expression de N_r, le nombre N en fin de tour vérifie donc la formule : N - 1 = 9(r - 1) + 3(q - 1) + (p - 1)
Ce tour n'est donc qu'un décodage du nombre (N - 1) en base 3, colonne par colonne, où chaque choix de colonne fournit un des trois chiffres ternaires.

Compte tenu de cette formule, les expressions simplifiées de p, q et r sont alors les suivantes :
On pose R = (N - 1) mod 9 + 1 = N - multiples de 9, en ajustant R entre 1 et 9
p = (N - 1) mod 3 + 1 = (R - 1) mod 3 + 1 = R - multiples de 3, en ajustant p entre 1 et 3 = colonne du carré p(R) en Figure ci-dessus.
q = Ent[(N - 1)/3] mod 3 + 1 = Ent[(R - 1)/3] + 1 = colonne du carré q(R) en Figure ci-dessus.
r = Ent[(N - 1)/9] + 1 = colonne du rectangle r(N) en Figure ci-dessus.

B1.6.2.7. Le bonneteau :

  

Le bonneteau est un jeu de cartes pratiqué dans la rue, où un joueur doit retrouver la carte rouge parmi trois cartes après un mélange rapide.
Le matériel requis est le suivant :
- une tablette rigide ou un carton épais servant de table.
- trois cartes : deux noires (par exemple : le roi de pique et le roi de trèfle) et une rouge (la dame de coeur).
- de l'argent liquide pour les mises du joueur.
Le bonneteur est un manipulateur professionnel. Il présente le jeu, mélange les cartes et dirige la partie.
Le joueur mise une somme d'argent et désigne la carte qu'il pense être la rouge.
Les barons sont les complices du bonneteur. Ils font semblant de jouer et de gagner pour inspirer confiance, attirent les passants, surveillent la police et apaisent les perdants.
En France, le bonneteau est interdit, car il s'inscrit dans un jeu de hasard réalisé sur la voie publique avec mise d'argent (article L. 324-1 du Code de la sécurité intérieure).

Règles du jeu :
1. Le bonneteur montre les trois cartes, faces visibles, et place la rouge entre les deux noires. Les cartes sont légèrement pliées dans le sens de la longueur pour mieux les saisir par les bords courts quand elles sont faces cachées (voir Figure 1 ci-dessus [TUT]).
2. Il retourne les cartes, faces cachées, et les mélange rapidement sur la table par des mouvements linéaires.
3. Le bonneteur retourne la carte du milieu qui n'a pas changé (rouge). Il la retourne à nouveau et fais un second mélange apparemment identique au premier.
4. Le joueur mise alors une somme d'argent et désigne la carte (gauche, centre, droite) qu'il pense être la rouge.
5. Le bonneteur retourne la carte désignée. Si c'est la rouge, le joueur reçoit le double de sa mise. Sinon, la mise est perdue.
Mais en pratique, le jeu est truqué :
1. Le bonneteur commence souvent par quelques manches honnêtes et lentes, où les barons gagnent facilement pour mettre le public en confiance.
2. Dès qu'un vrai joueur participe, le bonneteur modifie ses manipulations :
- Lancer par rotation d'index : prise spécifique à deux cartes pour permettre un lancer indépendant de la carte supérieure ou inférieure. Cette technique "double pince" est idéale pour les mélanges prolongés.
- Filage : glisse discrète d'une carte sous une autre.
- Echange rapide : permutation dissimulée de deux cartes au moment de la pose.
3. Résultat : Le bonneteur garde à tout moment le contrôle de la position réelle de la rouge.

Technique de lancer par rotation d'index [TUT] :
La technique de lancer par rotation d'index consiste à relâcher discrètement la carte supérieure (noire) tout en retenant la carte inférieure (rouge).
- Position initiale : La carte supérieure (noire) est tenue entre pouce et index au niveau des deux coins. La carte inférieure (rouge) est tenue de façon identique mais entre pouce et majeur. Les deux cartes partagent un point d'appui commun au niveau du pouce, tandis qu'un petit espace en forme de coin existe entre leurs bords opposés (voir Figure 2 ci-dessus [TUT]).
- Exécution : On retourne le poignet pour montrer clairement la rouge au joueur et on se replace paume tournée vers la table. Ensuite, pendant le mouvement linéaire au-dessus de la table, l'index effectue une rotation nette mais discrète, libérant la pression exercée sur la carte supérieure (noire). Celle-ci glisse alors passivement vers l'avant, tandis que le pouce/majeur maintiennent fermement la carte inférieure (rouge).
- Fin du mouvement : La carte lancée semble suivre le continuïté du mélange et être toujours la carte inférieure.
- Double lancer à une main [TUT, 04:20] :
   - La disposition initiale des cartes sur la table, vue du joueur, est N1 R N2 (avec N = noire et R = rouge).
   - Deux cartes sont prises en double pince, d'abord N1 en carte supérieure, puis R en carte inférieure. On retourne le poignet pour montrer clairement R au joueur.
   - On effectue un premier lancer de la carte (N1) en la posant au milieu puis la carte restante (R) à gauche, ce qui transforme secrètement la disposition en R N1 N2.
   - Deux autres cartes sont prises ensuite en double pince, d'abord R en carte supérieure, puis N2 en carte inférieure. On retourne le poignet pour montrer clairement N2 au joueur.
   - On effectue un second lancer de la carte (R) en la posant à droite puis la carte restante (N2) à gauche, ce qui transforme secrètement la disposition en N2 N1 R.
   - Le joueur est doublement piégé, en pensant que R se trouve soit au milieu, soit à gauche.

Technique de mélange :
La technique standard de mélange s'exécute sur trois temps rythmés (voir Figure 3 ci-dessus et [TUT, 03:58]) :
- Temps 1 : Pose centrale. Poser au milieu l'une des deux cartes tenues en double pince en utilisant la technique de lancer par rotation d'index.
- Temps 2 : Cinq séquences successives Croiser-Ecarter :
   - Le Croiser consiste à faire passer une carte par-dessus celle située immédiatement à sa gauche (resp. à sa droite).
   - L'Ecarter consiste à déplacer une carte extérieure vers la droite (resp. vers la gauche) en créant une place vide temporaire destinée à recevoir une autre carte.
   - Les cinq séquences alternent systématiquement de côté (Gauche et Droite) selon le schéma binaire : Croiser G - Ecarter D | Croiser D - Ecarter G | Croiser G - Ecarter D | Croiser D - Ecarter G | Croiser G - Ecarter D
- Temps 3 : Croiser final. Croiser une dernière fois à Droite.
Lorsque le mélange est exécuté sans tricherie, avec lancer de la carte inférieure (rouge), la disposition initiale N1 R N2 des trois cartes reste inchangée en final, ce qui renforce l'illusion de neutralité du procédé.

B1.6.3. Tours de magie avec nombres :

Voici quelques tours spectaculaires utilisant des nombres.

1. Lecture de pensée
2. L'âge des enfants
3. Le tour de Maurice Dagbert

B1.6.3.1. Lecture de pensée :

[raconté par Clément Brizzard]

Ce tour spectaculaire est une expérience magique de lecture de pensée.
Le magicien demande à une personne de l'auditoire de penser à un nombre entier entre 1 et 100,
puis de le multiplier par 9, puis de retrancher 5, puis de faire la somme des chiffres du nombre obtenu,
puis de recommencer cette dernière opération si le résultat est supérieur à 9,
puis de convertir le résultat obtenu en une lettre de l'alphabet : A pour 1, B pour 2, C pour 3, etc.,
puis de penser (en français) à un pays d'Europe commençant par cette lettre,
puis de penser (en français) à un fruit commençant par la dernière lettre du pays d'Europe.
Le magicien annonce alors que le fruit pensé est un "kiwi". Si la personne dit que cela est faux, alors le magicien annonce que le fruit est un "kaki".
A aucun moment, la personne n'a parlé.

Explication :
Tout nombre entier N à n chiffres est de la forme c_n...c₂c₁ et peut s'écrire :
N = 10^{n - 1} c_n + ... + 100 c₃ + 10 c₂ + c₁ = (10^{n - 1} - 1) c_n + ... + 99 c₃ + 9 c₂ + (c_n + ... + c₃ + c₂ + c₁)
Donc N est de le forme : N = 9 K + somme S des chiffres de N
Si S est supérieur à 9, alors on a de même : S = 9 K' + somme S' des chiffres de S
En final, tout nombre N est donc toujours la somme d'un multiple de 9 et d'un reste compris entre 1 et 9 correspondant à la somme simple ou répétée des chiffres du nombre N.
Exemple 1 : 8 = 9 x 0 + 8, 8 étant le chiffre même du nombre 8.
Exemple 2 : 34 = 9 x 3 + 7, 7 étant la somme 3 + 4 des chiffres du nombre 34.
Exemple 3 : 38 = 9 x 4 + 2, 2 étant la somme 3 + 8 = 11 des chiffres de 38, puis la somme 1 + 1 des chiffres de 11
Si N est déjà un multiple de 9 (comme demandé par le magicien), alors ce reste vaut nécessairement 9.
Si on retranche 5 de ce N multiple de 9, alors ce reste vaut 4.
Le seul pays d'Europe commençant par la lettre D (correspondant à 4 dans l'alphabet) est le "Danemark" (en français).
Les seuls fruits courants commençant par un K (correspondant à la dernière lettre du mot "Danemark") sont le "kiwi" et le "kaki" (en français).
D'où la réponse du magicien, sans aucune lecture de pensée.

Améliorations du tour :
- Proposer de choisir N entre 1 et 10 plutôt qu'entre 1 et 100.
- Multiplier N par 10 puis retrancher N, plutôt que multiplier N par 9.
- On peut refaire le tour une seconde fois, mais avec une autre personne, et avec la modification suivante : ne pas demander un pays d'Europe mais directement un fruit commençant par la lettre de l'alphabet (ce qui donne la "Datte" correspondant au résultat 4 = D).
- On peut refaire le tour une troisième fois avec une personne quelconque, en demandant de retrancher 7 et non 5. Ensuite, ne pas demander un pays d'Europe mais directement un fruit commençant par la lettre de l'alphabet (ce qui donne la "Banane" correspondant au résultat 2 = B).

B1.6.3.2. L'âge des enfants :

Un père de famille parle au facteur : "J'ai trois enfants. Le produit de leur âge est égal à 36. La somme de leur âge est égal au numéro de la maison en face."
Le facteur regarde ce numéro et demande : "Il me manque une donnée pour résoudre le problème."
Le père répond : "En effet. Mon aîné est blond."
Le facteur donne alors la solution. Comment a-t-il fait ?

Solution de cette énigme :
On peut obtenir 36 de 8 manières différentes :
1 x 1 x 36 dont la somme est 38
1 x 2 x 18 dont la somme est 21
1 x 3 x 12 dont la somme est 16
1 x 4 x 9 dont la somme est 14
1 x 6 x 6 dont la somme est 13
2 x 2 x 9 dont la somme est 13
2 x 3 x 6 dont la somme est 11
3 x 3 x 4 dont la somme est 10
Le facteur ne pouvant pas conclure en voyant le numéro de la maison en face, cela indique que la somme donne plusieurs possibilités et non une seule.
Il n'y a que 13 qui est ambigue et vu qu'il n'y a qu'un seul ainé, les enfants ont donc 2, 2 et 9 ans.

B1.6.3.3. Le tour de Maurice Dagbert :

[entendu à la radio dans les années 1980]

Un célèbre calculateur prodige français, Maurice Dagbert, a présenté ce problème apparemment impossible :
"Choisissez un nombre entier entre 1000 et 3000 [2139 fut donné]. Je vais calculer maintenant deux listes de 17 nombres entiers chacune, telles que :
- Les sommes des nombres sont égales à 2139,
- Les sommes des carrés des nombres sont égales,
- Les sommes des cubes des nombres sont égales,
et ainsi de suite jusque la puissance sixième des nombres.
De plus, tous les nombres seront différents entre eux, que ce soit dans une liste ou entre listes."
Pour le nombre N = 2139 choisi, il énonça alors, au bout de quelques minutes seulement, les deux listes suivantes :
    Première liste (La) = [ 59, 63, 68, 82, 86, 100, 105, 109,    139, 143, 148, 156, 162, 173, 175, 185, 186 ]
    Seconde liste (Lb) = [ 60, 61, 70, 79, 89, 98, 107, 108,    140, 141, 151, 153, 164, 170, 178, 183, 187 ]
Un ordinateur confirma les calculs.
L'explication est la suivante :

1. Modélisation mathématique :
Le problème s'écrit sous forme du système d'équations S suivant, avec k = 6, n = 17 et Somme = N.
(1) Système S :
    ∑_ia_i = ∑_ib_i = Somme
    ∑_ia_i² = ∑_ib_i²
    ∑_ia_i³ = ∑_ib_i³
    ...
    ∑_ia_i^k = ∑_ib_i^k
avec :
    i = indice allant de 1 à n
    n = taille de chaque liste
    k = puissance des termes de la dernière équation
    Somme = somme des termes de la première équation
    a_i et b_i = nombres entiers positifs et tous distincts

2. Première astuce :
Chaque liste de 17 nombres est en fait une concaténation de deux sous-listes de 8 et 9 nombres chacune, vérifiant les sous-systèmes (S1) et (S2) suivants :
(21) Sous-système S1 = Système S pour k = 6, n = 8 et Somme = N1, correspondant aux listes partielles suivantes :
    L1a = [ 59, 63, 68, 82, 86, 100, 105, 109 ]
    L1b = [ 60, 61, 70, 79, 89, 98, 107, 108 ]
(22) Sous-système S2 = Système S pour k = 6, n = 9 et Somme = N2, correspondant aux listes partielles suivantes :
    L2a = [ 139, 143, 148, 156, 162, 173, 175, 185, 186 ]
    L2b = [ 140, 141, 151, 153, 164, 170, 178, 183, 187 ]
(23) Condition supplémentaire : N1 + N2 = N

3. Seconde astuce :
Chacun de ces sous-systèmes est connu en mathématique comme "Problème PTE (ou de Prouhet-Tarry-Escott)" [WIK1].
Ce problème a pour propriété remarquable d'être invariant par translation des variables [WIK1]. Si on remplace les variables a_i et b_i respectivement par (a*_i = α a_i - β) et (b*_i = α b_i - β), α et β étant deux constantes quelconques, alors les nouvelles variables sont solutions du même problème en modifiant seulement Somme par Somme* = (α Somme - n β)
Cette translation permet de normaliser les solutions, en imposant par exemple qu'elles soient positives et que le zéro y figure.

Pour S1, si on choisit α1 = 1 et β1 = 84, on obtient alors le sous-système translaté S1* comme suit :
(31) Sous-système S1* = sous-système S1 de somme N1* = N1 - 8 β1, correspondant aux listes translatées suivantes :
    L1a* = [ -25, -21, -16, -2, 2, 16, 21, 25 ]
    L1b* = [ -24, -23, -14, -5, 5, 14, 23, 24 ]
Cette solution, dite de taille paire et symétrique [WIK1], est de la forme [ -c₄, -c₃, -c₂, -c₁,    c₁, c₂, c₃, c₄ ] pour la première liste et [ -d₄, -d₃, -d₂, -d₁,    d₁, d₂, d₃, d₄ ] pour la seconde.
Cette symétrie rend automatiquement valides les équations en puissances impaires dans le sous-système S1*, ce qui se simplifie en :
Sous-système S1* :
    n = 4
    ∑_ic_i² = ∑_id_i²
    ∑_ic_i⁴ = ∑_id_i⁴
    ∑_ic_i⁶ = ∑_id_i⁶
correspondant aux listes élémentaires suivantes :
    C1 = [ c_i ] = [ 2, 16, 21, 25 ]
    D1 = [ d_i ] = [ 5, 14, 23, 24 ]

Pour S2, si on choisit α2 = 1 et β2 = 163, on obtient alors le sous-système translaté S2* comme suit :
(32) Sous-système S2* = sous-système S2 de somme N2* = N2 - 9 β2, correspondant aux listes translatées suivantes :
    L2a* = [ -24, -20, -15, -7, -1, 10, 12, 22, 23 ]
    L2b* = [ -23, -22, -12, -10, 1, 7, 15, 20, 24 ]
Cette solution, dite de taille impaire et symétrique [WIK1], est de la forme [ -c₅, -c₄, -c₃, -c₂, -c₁,    d₂, d₃, d₄, d₅ ] pour la première liste et [ -d₅, -d₄, -d₃, -d₂,    c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ ] pour la seconde.
Cette symétrie rend automatiquement valides les équations en puissances paires dans le sous-système S2*, ce qui s'écrit :
Sous-système S2* :
    n = 5
    ∑_ic_i = ∑_id_i
    ∑_ic_i³ = ∑_id_i³
    ∑_ic_i⁵ = ∑_id_i⁵
    avec d₁ fictif = 0
correspondant aux listes élémentaires suivantes :
    C2 = [ c_i ] = [ 1, 7, 15, 20, 24 ]
    D2 = [ d_i ] = [ 0, 10, 12, 22, 23 ]

Par ailleurs, la symétrie des solutions, pour chaque sous-système S1* et S2*, rend nulles les sommes N1* et N2*, ce qui se simplifie en :
(33) N1 = 8 β1 et N2 = 9 β2
Compte tenu de la relation (23), cela donne la condition nécessaire suivante :
(34) N = 8 β1 + 9 β2
A noter que cette condition est toujours possible à obtenir, vu que 8 et 9 sont premiers entre eux.

4. Choix d'une solution pour le sous-système S1* :
Le sous-système S1* (cf relations (31)) est celui du problème PTE de taille n = 4 et de puissances spécifiques k = 2, 4 et 6.
Plusieurs solutions sont connues depuis 1913, dont les suivantes [SHU1] :
    [ 2, 16, 21, 25 ] = [ 5, 14, 23, 24 ]
    [ 7, 24, 25, 34 ] = [ 14, 15, 31, 32 ]
    [ 7, 31, 36, 50 ] = [ 18, 20, 41, 49 ]
    [ 9, 47, 49, 67 ] = [ 23, 31, 61, 63 ]
La première solution est la plus petite solution en entiers non négatifs pour ces trois puissances [SHU2].
Il est fort probable que Maurice Dagbert connaissait ces solutions et a utilisé la première.

5. Choix d'une solution pour le sous-système S2* :
Le sous-système S2* (cf relations (32)) correspond au problème PTE de taille n = 5 et de puissances spécifiques k = 1, 3 et 5.
Les solutions publiées étant rares, elles peuvent cependant être trouvées analytiquement. La démarche consiste à apparier deux à deux les éléments des deux listes élémentaires, puis à résoudre le système quadratique obtenu par une méthode appropriée, comme celle par élimination des variables.
Ces deux approches reposent sur la résolution analytique d'un système quadratique sous-déterminé de rang 2 à 5 variables, produisant une famille de solutions réelles, complétée par une courte phase d'essais successifs ciblés visant à atteindre des valeurs entières vérifiant exactement les équations.
Les étapes sont les suivantes :
1. On fixe arbitrairement 5 valeurs δ_i entières petites (par exemple entre -3 et 3) telles que ∑_i[δ_i] = 0 avec δ_i = c_i - d_i
2. On pose x_i = m_i² avec m_i = (c_i + d_i)/2 correspondant au centre local des variables c_i et d_i, ce qui induit : x_i # c_i² # d_i² # c_i d_i
où le symbole "#" signifie "très peu différent".
3. Compte tenu des identités : (c³ - d³) = (c - d)(c² + c d + d²) et (c⁵ - d⁵) = (c - d)(c⁴ + c³ d + c² d² + c d³ + d⁴), les équations 2b deviennent :
    ∑_ic_i - ∑_id_i = ∑_i[δ_i] = 0
    (∑_ic_i³ - ∑_id_i³ # 3 ∑_i[δ_i x_i]) = 0
    (∑_ic_i⁵ - ∑_id_i⁵ # 5 ∑_i[δ_i x_i²]) = 0
4. Par l'une des méthodes évoquées ci-avant, on résout le système quadratique suivant :
(50)     (∑_i[δ_i x_i] = 0) et (∑_i[δ_i x_i²] = 0)
ce qui donne une famille de solutions réelles pour x_i.
Résolution par élimination des variables :
On fixe 3 variables libres, par exemple x₁, x₂ et x₃
On élimine ensuite x₄ entre les deux équations, ce qui donne une équation de la forme : A x₅² + B x₅ + C = 0, où A, B et C sont des polynômes quadratiques explicites en x₁, x₂ et x₃, comme suit :
    A = δ₅ (δ₄ + δ₅)
    B = 2 δ₅ P
    C = P² + δ₄ Q
avec P = ∑_i=1,3[δ_i x_i] et Q = ∑_i=1,3[δ_i x_i²]
On trouve les solutions réelles x₅ = [-B ± √(B² - 4 A C)]/(2 A) et x₄ obtenu à partir de l'équation (∑_i[δ_i x_i] = 0).
5. On cherche des x_i proches du carré d'un entier ou d'un demi-entier, ce qui donne c_i = √x_i + δ_i/2 et d_i = √x_i - δ_i/2
6. On injecte les solutions entières c_i et d_i dans les équations exactes (32) pour vérification.
7. En cas de non-vérification, on fait d'autres essais en modifiant le paramétrage à deux niveaux possibles :
- Exploration des 3 paramètres libres x_i.
- Choix du vecteur des écarts δ_i.
Il est fort probable que Maurice Dagbert a obtenu lui-même les listes élémentaires (32) par cette méthode simple.

Exemple de calcul complet avec méthode d'élimination des variables :
On fixe par exemple les trois premiers nombres c_i à 1, 7 et 15, et leurs correspondants d_i à 0, 10 et 12.
Cela revient à fixer les trois premières valeurs de δ_i et de x_i.
On se fixe également (premier essai) les valeurs de δ₄ = -2 et δ₅ = 1.
On cherche alors à calculer les deux derniers nombres c₄ et c₅, et leurs correspondants d₄ et d₅
Les calculs donnent : P = 330.25, Q = 83985.06, A = -1, B = 2 P, C = P² - 2 Q, (B² - 4 A C) = 447.93²
D'où :
x₅ = 10.31² ou 23.54²
On retient x₅ = 23.54², proche du carré d'un demi-entier (vu que δ₅/2 = 1/2).
c₅ = √x₅ + δ₅/2 = 24.04
d₅ = √x₅ - δ₅/2 = 23.04
x₄ = -(δ₅ x₅ + P)/δ₄ = 21.03²
On retient x₄ = 21.03², proche du carré d'un entier (vu que δ₄/2 = -1).
c₄ = √x₄ + δ₄/2 = 20.03
d₄ = √x₄ - δ₄/2 = 22.03
On injecte les solutions entières c₅ = 24, d₅ = 23, c₄ = 20, d₄ = 22, dans les équations exactes (32), qui se trouvent vérifiées dès ce premier essai.

6. Calcul de β1 et β2 à partir de N donné :
La relation (34) est une équation diophantienne pouvant s'écrire plus simplement :
(60)     β1 = 9 u - N et β2 = N - 8 u, avec u quelconque

Mais il faut en plus assurer trois contraintes :
1. Les listes partielles de S1 et S2 doivent se raccorder afin de donner l'illusion de deux listes uniques et croissantes de 17 nombres chacune.
2. Ces listes partielles ne doivent pas avoir de doublons entre elles.
Compte tenu des listes translatées (31)(32), ces deux contraintes s'écrivent :
    (β2 + Min[L2a*, L2b*]) supérieur et proche de (β1 + Max[L1a*, L1b*])
avec Min[L2a*, L2b*] = -24 et Max[L1a*, L1b*] = 25
Compte tenu des relations (60), cela s'écrit :
(61)     u inférieur et proche de u max
avec u max = (2 N - (Max[L1a*, L1b*] - Min[L2a*, L2b*]))/17 = (2 N - 49)/17
Pour N = 2139, u max = 248.8
3. Tous les nombres des listes (La) et (Lb) doivent être supérieur à zéro.
Compte tenu des listes translatées (31)(32), cela s'écrit :
    β1 + Min[L2a*, L2b*] > 0
Compte tenu des relations (60), cela s'écrit :
(62)     u > u min
avec u min = (N - Min[L2a*, L2b*])/9 = (N + 24)/9
Pour N = 2139, u min = 240.3
Compte tenu des conditions (61)(62), Maurice Dagbert a choisi 247 pour valeur de u, induisant les valeurs 84 et 163 pour β1 et β2.

Il reste à s'assurer que u min < u max pour toute valeur de N.
Compte tenu des conditions (61)(62), cela introduit une nouvelle contrainte :
(63)     N > (9 Max[L1a*, L1b*] - 26 Min[L2a*, L2b*] = 849)
Maurice Dagbert a imposé 1000 pour valeur minimale de N afin de satisfaire cette contrainte, qui dispense alors de calculer u min.

7. Absence de doublon dans une liste ou entre listes de 17 nombres :
Cette propriété remarquable résulte de trois constats :
- Par construction, les listes élémentaires C1 et D1 (cf relations (31)) n'ont aucun doublon, ni interne ni entre elles. Il en va donc de même pour les listes translatées L1a* et L1b*, compte tenu de leurs symétries, ainsi que des listes partielles L1a et L1b.
- Par construction également, les listes élémentaires C2 et D2 (cf relations (32)) ont cette même propriété. Il en va donc de même pour les listes translatées L2a* et L2b*, compte tenu de leurs symétries, ainsi que des listes partielles L2a et L2b.
- Par choix précédent (cf relation (61)), les listes partielles L1a et L1b sont disjointes des listes partielles L2a et L2b.
En conséquence, les deux listes de 17 nombres ne peuvent avoir de doublon, en interne ou entre elles, vu qu'elles résultent de la simple concaténation de L1a et L2a pour la première et de L1b et L2b pour la seconde.

8. Construction des listes de 17 nombres :
Les deux listes de 17 nombres fournies par Maurice Dagbert se construisent alors en quatre étapes :
1. Calcul de u selon les relations (61)(62).
2. Calcul de β1 et β2 selon les relations (60).
3. Mémorisation de trois listes d'écarts basées sur les écarts entre nombres consécutifs de chaque liste translatée L1a*, L1b*, L2a*, L2b* (cf relations (31)(32)) :
Liste d'écarts E1 = [ 4, 5, 14, 4, 14, 5, 4]
Liste d'écarts E2 = [ 4, 5, 8, 6, 11, 2, 10, 1 ]
Liste d'écarts E3 = [ 1, 9, 9, 10, 9, 9, 1 ]
4. Construction de deux listes (La) et (Lb) de 17 nombres en fonction de ces listes d'écarts et des translations β1 et β2, selon la répartition suivante :
La = [ L1a, L2a ]
Lb = [ L1b, L2b ]
avec :
L1a = [ (β1 - 25), +E1 ] composé de 8 termes
L2a = [ (β2 - 24), +E2 ] composé de 9 termes
L1b = [ (β1 - 24), +E3 ] composé de 8 termes
L2b = [ (β2 - 23), +E2! ] composé de 9 termes
Le symbole "!" signifie que la liste doit être lue à l'envers.

Nota : Il existe un autre moyen (plus compliqué) pour construire les deux listes de 17 nombres, basé sur la mémorisation des listes élémentaires C1, D1, C2, D2 (cf relations (31)(32)) :
L1a = [ (β1 - C1!)₄, (β1 + C1)₄ ]
L2a = [ (β2 - C2!)₅, (β2 + D2 )₄ ]
L1b = [ (β1 - D1!)₄, (β1 + D1)₄ ]
L2b = [ (β2 - D2 !)₄, (β2 + C2)₅ ]
Le symbole "!" signifie que la liste doit être lue à l'envers.
Le symbole " " signifie que le terme fictif 0 de la liste doit être ignoré.
L'indice en partie basse indique, pour rappel, le nombre de termes de la quantité entre parenthèses.

B1.6.4. Sources relatives au Tours de magie :

[ASH] ashmarlow52, Learn This Viral Battery Trick (Youtube, 01:07).
[CAR1] Carrefour francophone, Cours de Magie avec Magislain - Tour 4 : Evasion (Youtube, 03:16).
[CAR2] Carrefour francophone, Cours de magie avec Magislain - Tour 2 : L'élastique à travers les doigts (Youtube, 03:21).
[EIT] Joseph Eitel, The Handcuff Escape Puzzle.
[GAR] Nasr Garouachi, Cordes - Playlist.
[HAF] Nadjib Haffaf, Echapper à la corde facile - DIDACTICIEL (Youtube, 02:45).
[JER] Jérémie-L'école de la magie, 3 TOURS DE MAGIE AVEC 1 ELASTIQUE (Youtube, 08:20).
[MAGE] MagieExpliquée, Apprenez la Téléportation avec un simple Elastique - Secret Révélé (Youtube, 06:43).
[MIR] Minute Facile, Régis le magicien vous explique son incroyable tour de magie avec une corde (Youtube, 03:50).
[PAU] Paulo magie, apprenez un tour impressionnant avec 2 élastiques (Youtube, 05:26).
[PRA] pratiqueTV, Tour de passe passe avec des piles (Youtube, 01:50).
[SHU1] Chen Shuwen, Non-negative Integer Solutions of a1^k + a2^k + a3^k+ a4^k = b1^k + b2^k + b3^k + b4^k ( k = 2, 4, 6 ).
[SHU2] Chen Shuwen, On the Generalization of the Prouhet-Tarry-Escott Problem.
[TUT] TUTO MAGIE, ARNAQUE OU MAGIE ? COMMENT GAGNER DE L'ARGENT AVEC 3 CARTES EXPLICATION (Youtube, 06:24).
[VAL] TUTUR VAL, 5 TOURS DE MAGIE AVEC DES ELASTIQUES (Youtube, 07:49).
[WIK1] Problème de Prouhet-Tarry-Escott.

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