In English Accueil/Contact Billard Bélier SNH Relativité Botanique Musique Ornitho Météo Aide

Site de Régis Petit

Relativité

Image Relativite : Geodesique

Préambule ( Paragraphe Début / Suivant )


Cette page donne les formules fondamentales de la Relativité Restreinte et de la Relativité Générale avec une présentation des outils mathématiques accessible aux non-initiés.
Cette page comporte également un Lexique détaillé des termes utilisés en Relativité.
Notations de cette page :
- Les mots-clés ont leur première lettre indiquée en majuscule et sont définis dans le Lexique.
- Les auteurs cités sont mentionnés entre crochets sous la forme [AUTEUR Titre Page]. Voir Bibliographie.
- Les Notations mathématiques sont conformes, sauf rares exceptions, à celles de Eric Gourgoulhon, Directeur de recherche au CNRS [GOU, Relativité Restreinte][GOU, Relativité Générale].
- Les Conventions de signe sont classiquement celles de Misner, Thorne et Wheeler (MTW), avec un Tenseur métrique de Signature (-, +, +, +), un Tenseur de courbure défini par Rijkl = Γijl,k + ..., et un Tenseur de Ricci défini par Rij = Rkikj

Sommaire de cette page ( Paragraphe Précédent / Suivant )

  1. Qu'est-ce que la Relativité ?
    1. Les trois étapes de la relativité
    2. Relativité du temps
    3. Les "mystères" de l'espace-temps
  2. Relativité Restreinte
    1. Historique
    2. Transformation de Lorentz-Poincaré
    3. Démonstration
  3. Relativité Générale
    1. Historique
    2. L'équation d'Einstein
    3. Résolution de l'équation d'Einstein
    4. Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild
    5. Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
    6. Décalages spectraux
  4. Lexique
  5. Bibliographie

1. Qu'est-ce que la Relativité ? ( Paragraphe Précédent / Suivant )

1.1. Les trois étapes de la relativité ( Sous-paragraphe Début / Suivant )


L'idée de relativité ne date pas d'Einstein mais trouve son origine dans les travaux de Galilée.

On considère deux Observateurs en mouvement relatif dont les référentiels sont en translation rectiligne et à vitesse uniforme l'un par rapport à l'autre. Ces référentiels sont dits inertiels.


Aujourd'hui, il reste un dernier défi à relever : l'unification de la Relativité Générale et de la Théorie quantique afin de rendre cohérent la gravitation à l'échelle macroscopique et la gravitation à l'échelle microscopique faisant intervenir le caractère quantique des particules élémentaires.

1.2. Relativité du temps ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Qu'est-ce que la Relativite ?


"A l'échelle humaine, la vitesse de la lumière est prodigieusement grande (environ 300 000 km/s). Lorsqu'une source lumineuse quelconque nous envoie un signal, la lumière nous apporte une information quasi-instantanée. Nous croyons voir l'espace à un instant donné. Le temps nous semble absolu, séparé de l'espace." [AND Théorie - Partie 1]

Imaginons deux Observateurs O et O', en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, qui veulent régler leurs montres par échange de signaux optiques. Supposons que les deux montres soient synchronisées, par un moyen quelconque, de façon qu'elles indiquent la même heure à un même instant initial. A cet instant, chaque Observateur émet un signal vers l'autre. Quel temps indique alors chaque montre quand chaque Observateur reçoit le signal de l'autre ? Il est évident que ce n'est pas le même temps.
Et Poincaré explique : "La durée de la transmission n'est pas la même dans les deux sens puisque l'Observateur O, par exemple, marche au devant de la propagation optique émanée de O', tandis que l'Observateur O' fuit devant la propagation émanée de O. Les montres marqueront ce qu'on peut appeler le temps local de chaque Observateur, de sorte que l'une d'elles retardera sur l'autre. Peu importe puisque nous avons aucun moyen de nous en apercevoir..." [POI L'Etat, p.311]
Le temps indiqué est le même pour les deux Observateurs uniquement dans le cas d'Observateurs fixes l'un par rapport à l'autre ou dans l'hypothèse de pensée d'une lumière ayant une vitesse infinie.

On peut donc conclure que : "l'univers instantané n'est pas observable. Il apparaît comme un Espace-temps où chaque objet observé est vu en un point de l'espace et en un point du temps qui n'est pas le même pour tous les points de l'espace." [AND Théorie - Partie 1]

1.3. Les "mystères" de l'espace-temps ( Sous-paragraphe Précédent / Début )


Bien des "mystères" de l'Espace-temps ne sont pas fondés et résultent de maladresses qui ne facilitent pas la lecture et la compréhension de la Relativité. On peut citer :

Avant de lire un ouvrage sur la Relativité, il est donc prudent de vérifier a minima :

    - La présence ou non d'un index des notations utilisées, qui facilite grandement la lecture de l'ouvrage.
    - La notation vectorielle utilisée, permettant de distinguer sans ambiguïté entre grandeurs scalaires, vectorielles et tensorielles.
    - Les éventuelles simplifications d'écriture, notamment la mise arbitraire à 1 de la vitesse de la lumière (c), de la constante de gravitation universelle (G) et/ou de la permittivité diélectrique dans le vide (ε0).
    - Les conventions de signe utilisées, notamment si elles sont identiques ou non aux Conventions de signe classiques (MTW), à savoir : un Tenseur métrique de Signature (-, +, +, +), un Tenseur de courbure défini par : Rijkl = Γijl,k + ..., et un Tenseur de Ricci défini par : Rij = Rkikj. Pour ces trois conventions classiques, l'Equation d'Einstein doit être strictement la suivante : Rab - (1/2) gab R + Λ gab = K Tab
    - La métrique utilisée, notamment celle de Minkowski (Relativité Restreinte), celle de Schwarzschild (astronomie de la Relativité Générale) ou celle de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (cosmologie de la Relativité Générale).

2. Relativité Restreinte ( Paragraphe Précédent / Suivant )

2.1. Historique ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

Image Relativite : GalileoImage Relativite : NewtImage Relativite : Maxwell
Image Relativite : Michelson et MorleyImage Relativite : PoincareImage Relativite : Einstein

Jusqu'à la fin du 19e siècle, la mécanique classique, fondée par Galilée et Newton, constituait une base incontestée de la physique.
En 1887, un physicien américain, Albert Michelson, et son collègue Edward Morley, montrèrent que la vitesse de la lumière ne vérifiait pas la loi galiléenne d'addition des vitesses. La vitesse de la lumière dans le vide était au contraire indépendante du mouvement de la source émettrice.
A la fin du 19e siècle, une seconde énigme vient perturber les certitudes des savants. Les fameuses Equations du britannique James Clerk Maxwell, qui décrivent la totalité des phénomèmes de l'électromagnétisme, n'ont plus la même forme lorsqu'on les transpose d'un système de référence dans un autre par translation rectiligne uniforme.
Le principe galiléen ne devrait-il pas être, sinon abandonné, tout au moins réadapté ?
En 1905, Jules Henri Poincaré pose les bases fondamentales de la Relativité Restreinte qui efface d'un seul coup toutes les angoisses des physiciens concernant ces deux énigmes [POI L'Etat].
En 1905 également, Albert Einstein publie sa théorie de la Relativité Restreinte [EIN Zur_Elektrodynamik].

A noter quelques conclusions surprenantes parmi d'autres :
- Si deux particules lumineuses s'éloignent l'une de l'autre, leur vitesse relative est encore égale à c et non pas 2c (loi de composition des vitesses. Voir ci-dessous).
- La vitesse de la lumière étant ralentie dans des milieux divers selon leur indice n de réfraction, il est possible d'accélérer des particules qui vont plus vite que la lumière dans ce même milieu.

2.2. Transformation de Lorentz-Poincaré ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Referentiels


Hendrik Antoon Lorentz a donné une version imparfaite de cette transformation en 1899 puis 1904. Jules Henri Poincaré a publié les équations correctes en 1905, en les baptisant du nom de Lorentz.


On considère deux référentiels R et R' en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse v parallèle aux axes x et x' (voir Figure ci-dessus).
Les deux référentiels ont leur origine O et O' qui coincident au temps t = 0.
Soit un point ou événement quelconque M de coordonnées spatio-temporelles (x, y, z, t) dans R et (x', y' = y, z' = z, t') dans R'.

La transformation de Galilée faisant passer de R à R' s'écrit classiquement :

(G1) x' = x - v t
(G2) t' = t

La transformation spéciale de Lorentz-Poincaré introduit une nouvelle entité pour décrire les phénomènes physiques : l'Espace-temps, et s'écrit :

(L1) x' = γ (x - v t)
(L2) t' = γ (t - B x)
(L3) γ = 1 / (1 - v2 c-2)1/2, appelé Facteur de Lorentz
(L4) B = β/c et β = v/c

c est une constante (constante de structure de l'Espace-temps) qui s'apparente à une vitesse limite et qui apparaît au cours de la démonstration des équations (L). La constante c est prise égale à la plus grande vitesse mesurée actuellement qui est celle des phénomènes électromagnétiques dans le vide, en l'occurence la vitesse de la lumière dans le vide.

La transformation inverse consiste à remplacer v par -v dans les relations (L1) à (L4) :

(L1') x = γ (x' + v t')
(L2') t = γ (t' + B x')


Lorsque la vitesse v a une direction quelconque par rapport à l'axe x, la transformation spéciale de Lorentz-Poincaré s'écrit comme suit (en notant r = (x, y, z) et r' = (x', y', z')) :

(LL1) r' = r + (γ - 1) (v.r / v2) v - γ v t
(LL2) t' = γ (t - v.r c-2)
(LL3) γ = 1 / (1 - v2 c-2)1/2

2.3. Démonstration ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

En 1975, Jean-Marc Lévy-Leblong publie un article sur la Relativité Restreinte présenté sous forme moderne déduite uniquement des propriétés de l'espace et du temps (postulats de Poincaré), sans recours à l'électromagnétisme [LEV One_more]. Le postulat d'Einstein sur l'invariance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels apparaît alors comme une simple conséquence de la Transformation de Lorentz-Poincaré décrivant la Relativité Restreinte.
En 2001, Jean Hladik publie, avec l'un de ses collègues Michel Chrysos, le premier ouvrage sur la Relativité Restreinte présenté sous cette forme moderne [HLA Pour_comprendre].
En s'inspirant des ouvrages listés en Bibliographie ci-dessous, nous présentons ici une démonstration élégante et rigoureuse de la transformation de Lorentz-Poincaré, basée uniquement sur les quatre postulats de Poincaré.

Démonstration :

Postulat n°1 : L'espace est homogène et isotrope
L'espace a les mêmes propriétés en tout point et en toute direction. Autrement dit, l'espace est invariant par translation et rotation.
Postulat n°2 : Le temps est homogène
Le temps est identique en tout point d'un même référentiel. Toutes les horloges fixes d'un référentiel donné doivent être strictement réglées à une même heure. Autrement dit, le temps est invariant par translation.
Postulat n°3 (Principe de relativité restreinte) : Les lois des phénomèmes physiques doivent être les mêmes, soit pour un Observateur fixe, soit pour un Observateur entraîné dans un mouvement de translation rectiligne uniforme.
La forme des équations qui décrivent les phénomènes mécaniques est invariante par changement de référentiel par translation rectiligne uniforme.
Postulat n°4 : La causalité doit être respectée
Lorsqu'un phénomème A est la cause d'un phénomème B, alors A doit avoir lieu avant B dans tout référentiel.

Les postulats d'homogénéité de l'espace et du temps induisent que la transformation cherchée est linéaire, donc de la forme suivante :
    (Ha) x' = C(v) x + D(v) t
    (Hb) t' = E(v) t + F(v) x
les quatre fonctions C, D, E et F étant à déterminer.
Au point particulier M = O' nous devons avoir : x' = 0 et x = v t
Les équations (H) s'écrivent alors :
    (C1a) x' = γ (x - v t)
    (C1b) t' = γ (A t - B x)
Les inconnues à trouver deviennent γ, A et B, toutes trois fonction uniquement de v, soit : γ = γ(v) ; A = A(v) ; B = B(v).

Quand v = 0, on doit avoir : x' = x et t' = t, correspondant à la transformation identité. On en déduit que :
    (C2) γ(0) = 1

Le postulat d'isotropie de l'espace induit que la forme des équations est invariante par réflexion (x --> -x ; x' --> -x' ; v --> -v) correspondant au passage du référentiel " -R " au référentiel " -R' ". On en déduit que :
    (C3a) γ(v) = γ(-v)
    (C3b) A(v) = A(-v)
    (C3c) B(v) = - B(-v)

Le postulat d'invariance de forme induit que la forme des équations est invariante par transformation inverse (x' <--> x ; t' <--> t ; v <--> -v) correspondant à l'échange des référentiels R et R'. On en déduit que :
    (C4a) x = γ(-v) (x' + v t')
    (C4b) t = γ(-v) (A(-v) t' - B(-v) x')
Compte tenu des relations (C1)(C3), on en déduit que :
    (C5a) A = 1
    (C5b) γ2 (1 - v B) = 1
Il reste donc à déterminer l'inconnue B.

Le postulat d'invariance de forme induit que la forme des équations est invariante par composition des transformations (R --> R') et (R' --> R"). Compte tenu de la relation générale (C5a), on en déduit que :
    (C6a) x" = γ(u) (x' - u t')
    (C6b) t" = γ(u) (t' - B(u) x')
u est la vitesse de translation rectiligne uniforme de R" par rapport à R'
On pose w comme vitesse de translation rectiligne uniforme de R" par rapport à R.
Compte tenu de la relation (C1), on en déduit que :
    (C7a) w = (v + u) / (1 + u B)
    (C7b) B(u) / u = B(v) / v
La relation (C7a) est la loi de composition des vitesses.
La relation (C7b) montre que B est de la forme :
    (C8) B(v) = b v
où b est une constante quelconque (négative, nulle ou positive).
Compte tenu de la relation particulière (C2), la relation (C5b) s'écrit alors :
    (C9) γ2 = 1 / ( 1 - b v2) avec γ > 0
Compte tenu des relations (C8)(C9), les équations (C1) s'écrivent alors :
    (C10a) x' = (x - v t) / (1 - b v2)1/2
    (C10b) t' = (t - b v x) / (1 - b v2)1/2
    (C10c) b v2 < 1
Il reste donc à déterminer l'inconnue b.

Soit M1 et M2 deux points quelconques du référentiel R.
Compte tenu de la relation (C10b), on en déduit que :
    (t2' - t1')/(t2 - t1) = ( 1 - b v ((x2 - x1)/(t2 - t1)) ) / (1 - b v2)1/2

Le postulat de causalité induit que le signe de l'intervalle de temps (t2 - t1) dans R ne doit pas changer lors du passage en (t2' - t1') dans R'. Cela s'écrit :
    (C11) b v (x2 - x1)/(t2 - t1) < 1
Si b est négatif, cette relation n'est pas vérifiée pour toutes valeurs de v, (x2 - x1) et (t2 - t1). Le postulat de causalité n'est donc pas respecté pour le cas b < 0.
Si b est positif ou nul, on peut l'écrire sous la forme suivante :
    (C12) b = 1 / k2 > 0 où k est une constante positive homogène à une vitesse.
La relation (C10c) s'écrit alors :
    (C13) v / k < 1
La constante k s'apparente donc à une vitesse limite. On en déduit que, quelles que soient les valeurs de (x2 - x1) et (t2 - t1) :
    (C14) |(x2 - x1)/(t2 - t1)| / k < 1
Compte tenu des relations (C12)(C13)(C14), la relation (C11) est donc vérifiée. Le postulat de causalité est donc respecté pour le cas b ≥ 0.
A noter que certains auteurs, dont J. HLADIK, arrivent à cette même conclusion (b ≥ 0) sans utiliser le postulat de causalité.

En pratique, la limite mathématique k est prise pertinemment égale à la vitesse c de la lumière dans le vide.
La loi de composition des vitesses (C7a) devient alors :
    (C15) w = (v + u) / (1 + v u c-2)

3. Relativité Générale ( Paragraphe Précédent / Suivant )

3.1. Historique ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

Image Relativite : Einstein

La Relativité Restreinte s'applique uniquement aux référentiels en translation rectiligne uniforme et dans un Espace-temps où les effets gravitationnels sont complètement négligés.
En 1915, Albert Einstein élabore la Relativité Générale avec l'aide de divers mathématiciens [EIN Die_Grundlage]. Il repense complètement la notion de gravitation Newtonienne, laquelle, se propageant instantanément, n'est plus compatible avec l'existence d'une vitesse limite. Il postule également que toutes les lois de la Nature doivent avoir la même forme dans tous les référentiels, quel que soit leur état de mouvement (uniforme ou accéléré).

3.2. L'équation d'Einstein ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Courbure

Définition


L'équation fondamentale de la Relativité Générale, appelée Equation d'Einstein ou Equation de la gravitation relativiste, relie une déformation locale de la géométrie de l'Espace-temps à la présence de tensions locales (voir Figure ci-dessus).
John Archibald Wheeler, spécialiste américain de la Relativité Générale, résume ainsi la situation : "La matière dit à l'espace-temps de se courber et l'espace-temps dit à la matière comment se déplacer".

Cette équation peut être vue comme une généralisation de la loi d'élasticité de Hooke en milieu continu peu déformé, pour laquelle la déformation d'une structure élastique est proportionnelle à la tension qui s'exerce sur cette structure. Cette équation s'écrit sous forme tensorielle comme suit :

    (E1) Sab = K Tab
avec : Sab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab


gab est le Tenseur métrique, solution de l'équation d'Einstein. Les 16 composantes gab de ce Tenseur sont appelées potentiels de gravitation.

Sab est le Tenseur d'Einstein qui mesure la déformation locale de la géométrie de l'Espace-temps. Il n'y a plus de forces de gravitation en Relativité Générale puisque cette déformation de l'Espace-temps en tient lieu. Ce Tenseur a pour propriété remarquable d'avoir une Divergence nulle.

Tab est le Tenseur Energie-impulsion qui décrit en un point de l'Espace-temps l'énergie et l'impulsion associée à la matière, ou à tout autre forme de champ non gravitationnel comme par exemple le champ électromagnétique. Ce Tenseur dépend de la pression p et de la densité ρ du milieu physique qui emplit l'espace. Ce Tenseur est construit de telle manière que sa Divergence nulle exprime la conservation locale de l'impulsion et de l'énergie.

Rab est le Tenseur de Ricci, obtenu par Contraction du Tenseur de courbure.

R est la Courbure scalaire, obtenue par Contraction du Tenseur de Ricci

a et b sont les indices des différents Tenseurs, avec a et b allant de 0 à 3.

K est le coefficient de couplage gravitationnel. Il vaut : K = 8 π G c-4 (en kg-1.m-1.s2). Ce coefficient a été choisi de façon à vérifier l'Equation de Poisson de la gravitation Newtonienne comme cas particulier de l'équation d'Einstein (voir Limite Newtonienne). K représente une élasticité de l'Espace-temps extraordinairement petite (égale à environ 2,1 10-43 kg-1.m-1.s2).

G est la constante de gravitation universelle (G = 6,67408 10-11 kg-1.m3.s-2).

c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 2,99792458 108 m.s-1).

Λ est la Constante cosmologique de dimension m-2 et pouvant être négative, nulle ou positive. Le problème du mouvement des planètes, considérées comme des particules matérielles dans un espace vide autour du soleil (Espace-temps de Schwarzschild), se résoud en prenant Λ = 0 et Tab = 0. Alors qu'en cosmologie, pour déterminer le modèle d'univers (Espace-temps de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), on prend a priori une valeur Λ non nulle et on considère l'espace universel comme empli d'un véritable gaz de galaxies de densité ρ et de pression p = 0 (Modèle cosmologique standard).

Equation présentée différemment


Cette équation est parfois présentée avec le signe "moins" devant Λ et/ou K.
Cela dépend des conventions d'auteurs prises pour la Signature du Tenseur métrique, la définition du Tenseur de courbure et la définition du Tenseur de Ricci.

Démonstration :

On définit par (C1), (C2), (C3) et (C4) les quatre signes suivants :
    (C1) Signature (-, +, +, +)
    (C2) Tenseur de courbure défini par Rijkl = Γijl,k + ...
    (C3) Tenseur de Ricci défini par Rij = Rkikj
    (C4) "Signe d'Einstein" qui est le signe devant le second membre K Tab de l'Equation d'Einstein et correspondant à (C4) = (C2)(C3)
Compte-tenu des définitions (C1)(C2)(C3) et des expressions : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l) et : R = gij Rij,
l'équation d'Einstein (E1) peut se mettre alors sous la forme suivante :
(C2)(C3)Rab    - (1/2)    (C1)gab    (C1)(C2)(C3)R    + Λ    (C1)gab    = K Tab
laquelle est équivalente à :
Rab - (1/2) gab R + (C1)(C2)(C3)Λ gab = (C2)(C3)K Tab

L'équation d'Einstein (E1) peut donc être présentée sous les différentes formes suivantes :
A- avec signe "plus" devant Λ et K, dans le cas (C1 = 1) et (C2, C3) = (1, 1) ou (-1, -1)
B- avec signe "moins" devant Λ et K, dans le cas (C1 = 1) et (C2, C3) = (1, -1) ou (-1, 1)
C- avec signe "moins" devant Λ et signe "plus" devant K, dans le cas (C1 = -1) et (C2, C3) = (1, 1) ou (-1, -1)
D- avec signe "plus" devant Λ et signe "moins" devant K, dans le cas (C1 = -1) et (C2, C3) = (1, -1) ou (-1, 1)

Le cas A avec (C2, C3) = (1, 1) correspond aux conventions de signe classiques qui sont celles de Misner, Thorne et Wheeler.
Equation équivalente


En contractant l'équation d'Einstein par le Tenseur métrique inverse gab, la Courbure scalaire R est liée au Tenseur Energie-impulsion Tab par la relation :
    (E2) R = -K T + 4 Λ
où T est la trace du Tenseur Energie-impulsion : T = gab Tab = Taa
En reportant cette relation dans l'équation d'Einstein (E1), on trouve l'équation équivalente suivante :

(E3) Rab = K (Tab - (1/2) gab T) + Λ gab


Cette équation équivalente peut être plus pratique dans certains cas, par exemple lorsqu'on s'intéresse à la limite de champ gravitationnel faible et qu'on peut remplacer gab par la Métrique de Minkowski sans perte significative de précision.
Dans le cas particulier où Tab = 0 (espace vide) et Λ = 0, le Tenseur de Ricci Rab est nul.
Une solution de l'Equation d'Einstein du vide avec Λ = 0, comme la solution de Schwarzschild, est donc une Métrique dont le Tenseur de Ricci est identiquement nul. Par contre, le Tenseur de courbure n'est pas nul, sauf dans le cas de la solution triviale constituée par la Métrique de Minkowski (Espace-temps plat de la Relativité Restreinte). cf [GOU, Relativité générale, p.119].

Propriétés de l'équation d'Einstein
L'équation d'Einstein possède les propriétés suivantes :

Simplicité : Bien que la Relativité Générale ne soit pas la seule théorie relativiste, c'est la plus simple qui soit dépourvue de contradictions internes et en cohérence avec les données expérimentales. Cependant, il reste un certain nombre de questions ouvertes : la plus fondamentale est de réussir à formuler une théorie complète et cohérente de la gravitation quantique.

Postulat : l'équation d'Einstein ne se démontre pas à partir de principes plus fondamentaux. C'est là tout le génie d'Einstein de l'avoir postuler.

Principe d'équivalence (équivalence locale entre champ de gravitation et champ d'accélération) : l'équation d'Einstein respecte le Principe d'équivalence.

Principe de relativité générale (invariance des lois physiques dans tout changement de référentiel) : l'équation d'Einstein est Covariante et garde donc la même forme dans tout changement de coordonnées. C'est là toute l'extraordinaire puissance du formalisme tensoriel : une fois écrite sous forme tensorielle (selon des critères de Tensorialité), une loi physique possède nécessairement une forme indépendante du système de coordonnées.

Tenseurs conservatifs : les membres de l'équation d'Einstein sont tous deux conservatifs (Divergence nulle) de façon à respecter le principe de conservation locale de l'impulsion et de l'énergie.

Courbure nulle à l'infini : L'équation d'Einstein induit une gravitation nulle, donc une courbure nulle, lorsque les coordonnées tendent vers l'infini (loin de toute masse attractive). L'Espace-temps devient l'Espace-temps plat de la Relativité Restreinte avec sa Métrique de Minkowski.

Gravitation Newtonienne : L'équation d'Einstein a pour cas particulier l'Equation de Poisson de la Limite Newtonienne.

3.3. Résolution de l'équation d'Einstein ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Metriques

Les 16 composantes du tenseur d'Einstein Sab sont fonction uniquement des potentiels de gravitation gab et de leurs dérivées première et seconde. Ces composantes sont linéaires par rapport aux dérivées secondes et font intervenir les Symboles de Christoffel fonction de ces gab.
La résolution de ces équations différentielles couplées du second ordre est extrêmement ardue.
La Symétrie des Tenseurs Rab, gab et Tab réduit à 10 le nombre d'équations distinctes et les 4 conditions de Divergence nulle les ramènent à 6 équations indépendantes.
De leur côté, par symétrie, 10 seulement des gab sont distincts et, dans un quadri-espace, on peut choisir en chaque point arbitrairement les valeurs de 4 d'entre eux, ce qui réduit à 6 également le nombre des fonctions gab à déterminer.

Plusieurs Métriques relativistes sont ensuite disponibles en Relativité Générale (voir Figure ci-dessus).
La Métrique de Schwarzschild (S1, S2...) décrit la géométrie autour des masses (M1, M2...), ces masses pouvant être une étoile, une planète ou un Trou noir.
La Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (F) est utilisée en cosmologie pour décrire l'évolution de l'univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du Modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang.
La Métrique de Minkowski (K) décrit la géométrie loin des masses importantes, sur la partie asymptotiquement plate des métriques précédentes, selon un Espace-temps euclidien tangent de la Relativité Restreinte.

3.4. Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Schwarzschild

Définition

En faisant l'hypothèse que le champ gravitationnel des corps est statique et à symétrie centrale (Métrique de Schwarzschild), comme c'est le cas pour le Soleil et de nombreux astres, alors les potentiels de gravitation gab s'expriment en coordonnées sphériques (r, θ, φ) en fonction de deux paramètres μ et α fonctions uniquement de r.
Ces gab permettent de calculer les composantes du Tenseur de Ricci (Rab) puis, par Contraction, la Courbure scalaire (R). Voir calculs détaillés ci-après.

Dans le cas particulier d'un champ de gravitation dans le vide (c'est-à-dire pour un Tenseur Energie-impulsion (Tab) nul) et d'une Constante cosmologique nulle (Λ = 0), alors l'équation d'Einstein se réduit à un système de deux équations différentielles des fonctions μ et α. Leur intégration donne les expressions de μ et α. Voir calculs détaillés ci-après.
Finalement, la Métrique de Schwarzschild ds2 se détermine complètement comme suit :

g00 = -(1 - r*/r)
g11 = 1/(1 - r*/r)
g22 = r2
g33 = r2 sin2[θ]
gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

où r* est une constante appelée rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel.

Dans le cas particulier d'un champ de gravitation créé par une masse M centrale symétrique, on a : r* = 2 G M c-2, obtenu en comparant le g00 de Schwarzschild avec le g00 de la Limite Newtonienne. Dans le cas du Soleil (avec M_Soleil = 1,9891 1030 kg), r* est très petit et vaut : 3,0 km
Les valeurs particulières r = 0 et r = r*, qui rendent infini les coefficients g00 et g11, délimitent une région singulière qui se trouve en pratique située profondément à l'intérieur de la masse M, ce qui n'est pas gênant pour les planètes, étoiles ordinaires et étoiles à neutrons pour lesquelles on a toujours : r >> r*.
Pour les Trous noirs, la singularité r = r* peut être éliminée par un choix convenable du système de coordonnées. En revanche, la singularité r = 0 est une singularité du Tenseur métrique g qui marque la limite de la description des Trous noirs par la Relativité Générale et nécessite sans doute de recourir à une théorie quantique de la gravitation qui n'existe pas encore vraiment à ce jour.
Lorsque r tend vers l'infini, les coefficients gab se réduisent aux composantes de la Métrique de Minkowski exprimée en coordonnées sphériques. L'espace-temps de Schwarzschild est donc asymptotiquement plat.

Pour finir, on écrit et on résoud les équations de Géodésiques qui décrivent le mouvement des particules libres dans l'espace considéré, c'est-à-dire lorsque ces particules (systèmes matériels ou photons) ne sont pas soumises à une force externe autre que la gravitation dans le cadre de la Relativité Générale. Voir Géodésique d'un corps matériel et Géodésique d'un photon.

Démonstration
Calcul détaillé des composantes gab, Rab, R, Sab, α et μ [GOU, Relativité Générale, p.117] :

Dans le cas d'un champ gravitationnel statique et à symétrie centrale (Métrique de Schwarzschild), les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont les suivants :
    g00 = -e2 μ
    g11 = e2 α
    g22 = r2
    g33 = (r2) sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
    où μ et α sont des fonctions uniquement de r.

Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    g00 = -e-2 μ
    g11 = e-2 α
    g22 = 1/r2
    g33 = (1/r2) sin-2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
    Γ001 = Γ010 = μ'
    Γ100 = e2 (μ - α) μ' ; Γ111 = α' ; Γ122 = -r e-2 α ; Γ133 = -r sin2[θ] e-2 α
    Γ212 = Γ221 = 1/r ; Γ233 = -cos[θ] sin[θ]
    Γ313 = Γ331 = 1/r ; Γ323 = Γ332 = 1/ tan[θ]
    où μ' = dμ/dr et α' = dα/dr
    Les autres symboles de Christoffel sont tous nuls.

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
    R00 = e2 (μ - α) ( μ" + (μ')2 - μ' α' + 2 μ'/r )
    R11 = -μ" - (μ')2 + μ' α' + 2 α'/r
    R22 = e-2 α ( r (α' - μ') - 1 ) + 1
    R33 = sin2[θ] R22
    Les autres composantes Rij sont toutes nulles.

La Courbure scalaire s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
    R = 2 e-2 α ( -μ" - (μ')2 + μ' α' + 2 (α' - μ')/r + (e2 α - 1)/r2 )

Dans le cas Λ = 0, le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Sab = Rab - (1/2) gab R
    S00 = (1/r2) e2 (μ - α) (2 r α' + e2 α - 1 )
    S11 = (1/r2) (2 r μ' - e2 α + 1 )
    S22 = r2 e-2 α ( μ" + (μ')2 - μ' α' + (μ'- α')/r )
    S33 = sin2[θ] S22
    Les autres composantes Sij sont toutes nulles.
L'équation d'Einstein s'écrit alors par la relation : Sab = K Tab
    S00 = K T00
    S11 = K T11
    S22 = K T22
    S33 = K T33
    0 = K Tij pour i et j pris différents entre 0 et 3

Dans le cas Tab = 0, l'équation d'Einstein se réduit alors aux 3 équations suivantes :
    2 r α' + e2 α - 1 = 0
    2 r μ' - e2 α + 1 = 0
    μ" + (μ')2 - μ' α' + (μ'- α')/r = 0
La première équation s'intègre en :
    α = -(1/2) ln[ 1 - r*/r]
où r* est une constante.
En reportant cette valeur de α dans la seconde équation, cette dernière s'intègre en :
    μ = (1/2) ln[ 1 - r*/r] + b0
où b0 est une constante.
La nullité du champ de gravitation à l'infini (de manière à assurer une métrique asymptotiquement plate avec μ = 0 quand r tend vers l'infini) nécessite que : b0 = 0.
En reportant ces valeurs de α et μ dans la troisième équation, cette dernière est toujours satisfaite.
Finalement, on trouve :
    g00 = -(1 - r*/r)
    g11 = 1 / (1 - r*/r)

3.5. Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Lemaitre-FriedmannImage Relativite : RobertsonImage Relativite : Walker

Equations de Friedmann


En faisant l'hypothèse que l'Espace-temps est spatialement homogène et isotrope (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), alors les potentiels de gravitation gab s'expriment en coordonnées sphériques (r, θ, φ) en fonction de deux paramètres k (constante) et a (fonction de t uniquement).
Ces gab permettent de calculer les composantes du Tenseur de Ricci (Rab) puis, par Contraction, la Courbure scalaire (R).
En faisant ensuite le choix d'un modèle Fluide Parfait pour le Tenseur Energie-impulsion (Tab), on calcule ses composantes en fonction de la pression p et de la densité ρ du milieu physique qui emplit l'espace.
L'équation d'Einstein se réduit alors à un système de deux équations différentielles des fonctions a(t), ρ(t) et p(t), appelées équations de Friedmann :
    (F1) (a'/a)2 + k (c/a)2 = (1/3) ρ K c4 + (1/3) Λ c2
    (F2) a"/a = -(1/6) (ρ + 3 p c-2) K c4 + (1/3) Λ c2
On complète le système en se donnant une équation d'état du fluide cosmique de type p = p(ρ). Un exemple d'équation d'état souvent utilisé est : p(t) = w ρ(t) c2 où w est une constante qui vaut -1 (vide quantique), 0 (pression nulle) ou 1/3 (radiation électromagnétique).
Cette équation d'état, associée aux deux équations (F1) et (F2), donne une relation remarquable liant ρ(t) et a(t) :
    (Q0) ρ(t) a(t)3(1 + w) = ρ0 a03(1 + w) = constante
    où ρ0 et a0 sont deux constantes (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
Le système se réduit alors à une seule équation différentielle de la fonction a(t) (voir calculs détaillés ci-après) :

(Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
(Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) K c4 = constante
(Q1b) B = (1/3) Λ c2

Cette équation différentielle s'intègre analytiquement pour w = -1, 0 ou 1/3 (avec Λ et k quelconques), ce qui détermine complètement a(t) et la métrique ds2 comme suit :

g00 = -1
g11 = a(t)2 (1 - k r2)-1
g22 = a(t)2 r2
g33 = a(t)2 r2 sin2[θ]
gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

La première équation de Friedmann (F1) est présentée souvent sous la forme condensée :
    1 + Ωk = Ω + Ωv
    avec :
H(t) = paramètre de Hubble (de dimension s-1) = a'/a qui rend compte de l'expansion de l'univers. Voir Loi de Hubble-Lemaître.
Ωk(t) = courbure réduite (sans dimension) = k (c/a)2 / H(t)2
Ω(t) = paramètre de densité (sans dimension) = (8/3) π G ρ(t) / H(t)2
Ωv(t) = Constante cosmologique réduite (sans dimension) = (1/3) Λ c2 / H(t)2
q(t) = paramètre de décélération (sans dimension) = -a a"/ (a')2 = -1 - H'(t)/H(t)2
Il semblerait que la valeur actuelle du paramètre de décélération soit négative (a" > 0), le ralentissement dû à l'attraction de la matière étant totalement compensé par l'accélération dû à une hypothétique énergie Noire.

La seconde équation de Friedmann (F2) s'écrit également sous la forme :
    (Q2) a"/a = -F a-3(1 + w) + B
    (Q2a) F = (1/2) (1 + 3 w) A
A noter que la relation (Q2) s'obtient également immédiatement par dérivation de la relation (Q1).

Image F1 Relativite : Modeles selon equations de Friedmann Image F2 Relativite : Modeles selon equations de Friedmann Image F3 Relativite : Modeles de Friedmann

Allure générale des courbes a(t)


Dans le cas standard où ρ > 0 et w > (-1/3), on déduit alors des relations (Q1) et (Q2) l'allure générale des courbes a(t) pour Λ et k quelconques (voir Figure 1 ci-dessus avec Démonstration ci-après, ou Figure 2 ci-dessus cf [HAR Cosmology, tableau p.367] ou [LUM, tableau p.153]).
Toutes ces courbes, sauf deux, représentent des modèles avec Big Bang pour lesquels a(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0 :
- La courbe C1 relative au cas (Λ < 0), ou au cas (Λ = 0) et (k > 0), correspond à un modèle fermé (expansion décélérée avec un point maximum M1).
- La courbe C2 relative au cas (Λ = 0) et (k ≤ 0) correspond à un modèle ouvert (expansion décélérée).
- La courbe C4 relative au cas (Λ > 0) et (k ≤ 0), ou au cas (Λ > ΛF) et (k > 0), correspond à un modèle ouvert à point d'inflexion I (expansion décélérée puis accélérée). Le sous-cas (Λ > 0) et (k = 0) correspond au Modèle cosmologique standard quand la pression est nulle (w = 0).
- Les courbes C5, et C1 à nouveau, sont relatives au cas (0 < Λ < ΛF) et (k > 0). Elles correspondent à deux comportements possibles : un modèle ouvert de type non Big Bang (expansion accélérée avec un point minimum M2), et un modèle fermé avec un point maximum M1.
- La courbe C3 est relative au cas singulier (Λ = ΛF) et (k > 0). Elle correspond à un modèle statique (Univers statique d'Einstein) pour lequel a(t) = constante. Ce modèle est instable aux perturbations de densité ρ avec une tendance locale à l'expansion (courbe C5 après le point M2) ou à la contraction (courbe C1 avant le point M1).
A noter que ces courbes représentent un sous-ensemble de courbes répertoriées par Harrison [HAR Classification].

ΛF est la Constante cosmologique singulière de Friedmann qui s'écrit (voir Démonstration ci-après) :
    (Q6) ΛF = (1/2)(1 + 3 w) ρF K c2
    (Q6a) aF = ( (1/2)(1/k)(1 + w) ρF K c2 )-1/2
Pour k = 1 et ρF = ρE, on obtient les expressions ΛE et aE de l'Univers statique d'Einstein :
    ΛE = (1/2)(ρE + 3 pE c-2) K c2
    aE = ( (1/2)(ρE + pE c-2) K c2 )-1/2

Solutions simples pour a(t)


Certaines solutions particulièrement simples pour a(t) sont présentées ci-dessous (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
Hormis les deux premières solutions, les autres sont presque toutes des modèles avec Big Bang présentées selon les valeurs des paramètres w, puis Λ puis k.

1. Univers statique d'Einstein
C'est le modèle cosmologique statique avec : a(t) = aE ; ρ(t) = ρE ; p(t) = pE
où aE, ρE et pE sont des constantes.
La seconde équation de Friedmann (F2) devient alors : Λ = ΛE
avec : ΛE = (1/2)(ρE + 3 pE c-2) K c2
ΛE est la Constante cosmologique singulière d'Einstein qui caractérise un univers statique.
A noter qu'en dehors du vide (ρE = pE = 0), une solution statique ne peut exister qu'avec une Constante cosmologique non nulle.
En reportant cette valeur de Λ dans la première équation de Friedmann (F1), on obtient :
    k /aE2 = (1/2)(ρE + pE c-2) K c2
Si le fluide cosmique satisfait à la condition d'énergie faible au sens strict, alors on a : ρE + pE c-2 > 0 et donc nécessairement : k > 0, donc : k = 1
La courbe a(t) est une constante (voir courbe C3 en Figure 1 ci-dessus) :
    a(t) = aE = ( (1/2)(ρE + pE c-2) K c2 )-1/2

2. Espace-temps de De Sitter
C'est le modèle cosmologique du vide (ρ = p = 0) avec Λ > 0 et k = 0 (courbure plate).
La première équation de Friedmann (F1) devient alors : (a'/a)2 = (H0)2
    avec H0 = B1/2 = c (Λ / 3)1/2
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = a0 eH0 (t - t0)
    où a0 et t0 sont des constantes.
La courbe a(t) est de type exponentielle et n'est pas un modèle avec Big Bang.

3. Modèle de Friedmann avec courbure ouverte
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = -1 (courbure ouverte)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 + c2
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre sous forme d'une équation paramétrique :
    a(t) = D (cosh[m] - 1)
    t - ti = (D/c) (sinh[m] - m)
    avec D = (1/2) A c-2 et paramètre m > 0
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Le terme (t - ti) s'exprime plus simplement en fonction de (a) sous la forme :
    t - ti = (D/c) ( ((a/D)(2 + (a/D)))1/2 - ln[ (1 + (a/D)) + ((a/D)(2 + (a/D)))1/2 ] )
La courbe a(t) est de type hyperbolique (voir Figure 3 ci-dessus pour k = -1).

4. Modèle de Friedmann avec courbure plate (ou Espace-temps d'Einstein-De Sitter)
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = ( (1/j) A1/2 (t - ti) )j
    avec j = 2/3
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
La courbe a(t) est une fonction puissance (voir Figure 3 ci-dessus pour k = 0).

5. Modèle de Friedmann avec courbure fermée
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = 1 (courbure fermée)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 - c2
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre sous forme d'une équation paramétrique :
    a(t) = D (1 - cos[m])
    t - ti = (D/c) (m - sin[m])
    avec D = (1/2) A c-2 et paramètre m variant de 0 à 2 π
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Le terme (t - ti) s'exprime plus simplement en fonction de (a) sous la forme :
    Pour t - ti < π (D/c) : t - ti = (D/c) ( Arccos[1 - (a/D)] - ((a/D)(2 - (a/D)))1/2 )
    Pour t - ti > π (D/c) : t - ti = 2 π (D/c) - (expression (t - ti) du cas précédent)
La courbe a(t) est une cycloïde (point d'un cercle roulant sur une droite). Elle est symétrique par rapport à la valeur t - ti = π (D/c) (voir Figure 3 ci-dessus pour k = 1).
On notera que la courbe va du "Big Bang" (t - ti = 0) au "Big Crunch" (t - ti = 2 π (D/c)) en passant par une phase d'expansion (a' > 0) puis par une phase de contraction (a' < 0).

6. Modèle sans pression (w = 0) avec Λ non nul
La solution exacte de ce modèle est donnée par [KHA Some_exact_solutions].

7. Modèle sans pression (w = 0) avec Λ non nul et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 + B a2
    avec A = A(w = 0) et B donnés par les relations (Q1a) et (Q1b)
Cette équation s'intègre en :
    si Λ < 0 : a(t) = (-A/B)1/3 sin2/3[ (3/2) (-B)1/2 (t - ti) ]
    si Λ > 0 : a(t) = (A/B)1/3 sinh2/3[ (3/2) B1/2 (t - ti) ]
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Si Λ < 0, la courbe a(t) est similaire à la courbe fermée du modèle de Friedmann (voir Figure 3 ci-dessus pour k = 1).
Si Λ > 0, la courbe a(t) comporte deux phases d'expansion successives (a' > 0). La première phase est similaire à la courbe ouverte du modèle de Friedmann (voir Figure 3 ci-dessus pour k = -1) avec décélération (a" < 0) mais menant à un point d'inflexion I (a" = 0). La seconde phase est à nouveau une courbe ouverte mais avec accélération (a" > 0) (voir courbe C4 en Figure 1 ci-dessus).

8. Modèle pour radiations électromagnétiques (w = 1/3) avec Λ non nul
La solution exacte de ce modèle est donnée par [KHA Some_exact_solutions].

9. Modèle pour radiations électromagnétiques (w = 1/3) avec Λ = 0
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 + k c2 = A a-2
    avec A = A(w = 1/3) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    Pour k = -1 : a(t) = E c ( (1 + (1/E)(t - ti))2 - 1 )1/2
    Pour k = 0 : a(t) = (4 A)1/4 (t - ti)1/2
    Pour k = 1 : a(t) = E c ( 1 - (1 - (1/E)(t - ti))2 )1/2
    avec E = (A)1/2 c-2
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Les courbes a(t) sont similaires aux courbes du modèle de Friedmann (voir Figure 3 ci-dessus pour k = -1, 0 et 1).

10. Modèle avec w > (-1/3), Λ = 0 et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-(1 + 3 w)
    avec A = A(w) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = ( (1/j) A1/2 (t - ti) )j
    avec j = (2/3) (1 + w)-1 < 1
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
La courbe a(t) est une fonction puissance ayant une branche parabolique selon l'axe des temps quand t temps vers l'infini (voir Figure 3 ci-dessus pour k = 0).

Démonstrations
Démonstration de l'allure générale des courbes a(t) selon équations de Friedmann :

Les équations de Friedmann (F1) et (F2) s'écrivent sous la forme :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q2) a"/a = -F a-3(1 + w) + B
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) K c4
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2
    (Q2a) F = (1/2) (1 + 3 w) A
Dans le cas standard où ρ > 0 et w > (-1/3), A et F sont positifs et on déduit que :
1. Quand a tend vers 0, la relation (Q1) induit que la quantité (a') tend vers l'infini correspondant à l'explosion primordiale de l'univers (théorie du Big Bang).
2. Quand a tend vers l'infini, la relation (Q1) induit que :
    (Q3) Si Λ est positif, B est positif et la quantité (a')2 se comporte comme la quantité (B a2).
    (Q4) Si Λ est nul, la quantité (a')2 se comporte comme la quantité (-k c2) lorsque k est négatif et comme la quantité (A a-(1 + 3 w)) lorsque k est nul.
3. Quand a' et a" sont nuls ensemble, il s'agit d'un cas singulier pour lequel Λ = ΛF. Les relations (Q1) et (Q2) donnent la valeur singulière ΛF comme suit :
    (Q5) ΛF = 3 (k/m)m ( (1/n) A c-2 )-n
    (Q5b) n = 2/(1 + 3 w) > 0
    (Q5c) m = n + 1
    Et le facteur d'échelle singulier aF est fonction de ΛF comme suit :
    (Q5a) aF = ( 3 (k/m) ΛF-1 )1/2 = ( A c-2 (m/n)(1/k) )n/2
    En exprimant la constante A au point singulier (aF, ρF), on obtient finalement :
    (Q6) ΛF = (1/n) ρF K c2 = (1/2)(1 + 3 w) ρF K c2
    (Q6a) aF = ( (1/3)(m/n)(1/k) ρF K c2 )-1/2 = ( (1/2)(1/k)(1 + w) ρF K c2 )-1/2
4. Quand a' est nul, la relation (Q1) n'est vérifiée que pour certaines combinaisons de valeurs (Λ, k, w, A) qui sont les suivantes :
    Λ < 0
    (Λ = 0) et (k > 0)
    (0 < Λ < ΛF) et (k > 0)
    (Λ = ΛF) et (k > 0)

D'où les résultats suivants illustrés par les courbes C1 à C5 en Figure 1 ci-dessus :
5. Si Λ est négatif, B est négatif :
    5.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est toujours négative. L'évolution de a(t) est décélérée, sans point d'inflexion (a" = 0).
    5.2. La relation (Q1) induit que a(t) atteint un maximum (a' = 0 ; point M1 sur courbe C1) pour lequel : (-B) a3(1 + w) + k c2 a(1 + 3 w) - A = 0
6. Si Λ est nul, B est nul :
    6.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est toujours négative. L'évolution de a(t) est décélérée, sans point d'inflexion (a" = 0).
    6.2. Si k est négatif, la relation (Q4) induit que a(t) tend vers la ligne droite a(t) = c (-k)1/2 t quand a tend vers l'infini (courbe C2).
    6.3. Si k est nul, la relation (Q4) induit que a(t) tend vers la courbe a(t) = ((1/j) A1/2 t)j avec j = ( (2/3) (1 + w)-1 ) quand a tend vers l'infini (courbe C2).
    6.4. Si k est positif, la relation (Q1) induit que a(t) atteint un maximum (a' = 0 ; point M1 sur courbe C1) pour lequel : a(1 + 3 w) = (1/k) A c-2
7. Si Λ est positif, B est positif :
    7.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est d'abord négative (évolution décélérée) lorsque a tend vers zéro (courbes C1, C2 et C4), puis devient positive (évolution accélérée) après passage par un point d'inflexion (a" = 0 ; point I sur courbe C4) pour lequel : aI 3(1 + w) = F/B.
    7.2. La relation (Q3) induit que a(t) tend vers la courbe exponentielle a(t) = exp[ B1/2 t ] lorsque a tend vers l'infini (courbes C4 et C5).
    7.3. Cas singulier (courbe C3) : lorsque Λ est égal à ΛF, avec k positif, la relation (Q1) induit que la courbe a(t) possède un point à tangente horizontale (a' = 0) et à courbure nulle (a" = 0).
    7.4. Lorsque Λ est inférieur à ΛF, avec k positif, la relation (Q1) induit que la courbe a(t) possède deux extremum (a' = 0 ; points M1 et M2) pour lequels : B a3(1 + w) - k c2 a(1 + 3 w) + A = 0. Ce modèle possède deux types de comportement possible : un modèle ouvert (a" > 0) avec un minimum en M2 (courbe C5), et un modèle fermé (a" < 0) avec un maximum en M1 (courbe C1), les points d'inflexion respectifs I1 et I2 de chaque modèle étant fictifs et rejetés dans la bande interdite (a1 < a < a2). A noter que le modèle ouvert de ce cas n'est pas un modèle avec Big Bang.

Calcul détaillé des composantes gab, Rab, R, Sab, Tab et a(t) [GOU, Relativité Générale, p.195] :

Dans le cas d'un Espace-temps spatialement homogène et isotrope (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont les suivants :
    g00 = -1
    g11 = a2 (1 - k r2)-1
    g22 = a2 r2
    g33 = a2 r2 sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
    où k est une constante (0, 1 ou -1) et a une fonction de t uniquement.

Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    g00 = -1
    g11 = a-2 (1 - k r2)
    g22 = a-2 (1/r2)
    g33 = a-2 (1/r2) sin-2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
    Γ011 = a a' (1/c)/(1 - k r2) ; Γ022 = a a' r2 (1/c) ; Γ033 = a a' r2 (1/c) sin2[θ]
    Γ101 = Γ110 = a' (1/c)(1/a) ; Γ111 = k r / (1 - k r2) ; Γ122 = -r (1 - k r2) ; Γ133 = -r (1 - k r2) sin2[θ]
    Γ202 = Γ220 = a' (1/c)(1/a) ; Γ212 = Γ221 = 1/r ; Γ233 = -cos[θ] sin[θ]
    Γ303 = Γ330 = a' (1/c)(1/a) ; Γ313 = Γ331 = 1/r ; Γ323 = Γ332 = 1/ tan[θ]
    où a' = d(a)/dt
    Les autres symboles de Christoffel sont tous nuls.

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
    R00 = -3 a" (1/a) c-2
    R11 = (a a" + 2 a'2 + 2 k c2) c-2/(1 - k r2)
    R22 = (a a" + 2 a'2 + 2 k c2) (r/c)2
    R33 = sin2[θ] R22
    Les autres composantes Rij sont toutes nulles.

La Courbure scalaire s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
    R = 6 c-2 (b + a"/a)
    avec b = (a'/a)2 + k (c/a)2

Le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Sab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab
    S00 = R00 + (R/2) - Λ
    S11 = ( (2b + a"/a) c-2 - 3 (b + a"/a) c-2 + Λ ) a2 /(1 - k r2)
    S22 = S11 r2 (1 - k r2)
    S33 = S22 sin2[θ]
    Les autres composantes Sij sont toutes nulles.

Pour un Fluide Parfait de densité ρ et de pression p, le Tenseur Energie-impulsion du Fluide Parfait s'obtient ensuite par la relation : Tij = (c2 ρ + p) ui uj + p gij
L'hypothèse d'isotropie spatiale induit que l'Observateur est co-mobile avec le fluide.
L'hypothèse d'homogénéité spatiale induit également que ρ et p sont des quantités fonction de t uniquement.
D'où l'expression de Tij :
    T00 = ρ c2
    T11 = p a2 /(1 - k r2)
    T22 = T11 r2 (1 - k r2)
    T33 = T22 sin2[θ]
    Les autres composantes Tij sont toutes nulles.

L'équation d'Einstein s'écrit alors par la relation : Sab = K Tab
    S00 = K T00
    S11 = K T11
    S22 = K T22
    S33 = K T33
    0 = Sij = K Tij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

L'équation d'Einstein se réduit alors aux 2 équations suivantes :
    b = (1/3) ρ K c4 + (1/3) Λ c2
    (1/2) b + a"/a = (1/2) Λ c2 - (1/2) p K c2
En reportant la première équation dans la seconde, on obtient les équations de Friedmann :
    (F1) (a'/a)2 + k (c/a)2 = (1/3) ρ K c4 + (1/3) Λ c2
    (F2) a"/a = -(1/6) (ρ + 3 p c-2) K c4 + (1/3) Λ c2
En dérivant la première équation par rapport à t et en remplaçant a" dans la seconde, on obtient la relation simple suivante :
    dρ/dt = -3 (a'/a)(ρ + p c-2)
Dans le cas d'une équation d'état du fluide cosmique de type : p(t) = w ρ(t) c2, cette relation devient :
    dρ/ρ = -3 (1 + w)(da/a)
qui s'intègre en :
    ρ(t) = ρ0 (a0 / a(t))3(1 + w)
    où ρ0 et a0 sont deux constantes (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
En reportant cette expression de ρ(t) dans la première équation de Friedmann (F1), on obtient une équation différentielle fonction de a(t) uniquement :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) K c4
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2

3.6. Décalages spectraux ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

La Relativité Générale explique avec succès trois types de décalages spectraux fondamentaux [AND Théorie - Partie 2] :

L'Effet Doppler-Fizeau qui induit un décalage spectral dû à un effet de vitesse de la source lumineuse par rapport à l'Observateur.
Ce décalage est dirigé indifféremment vers le bleu ou le rouge suivant que la vitesse est une vitesse d'approche ou d'éloignement mais dont l'effet transversal est toujours dirigé vers le rouge.

L'Effet Einstein qui induit un décalage spectral d'origine gravitationnel dû à l'effet d'une masse proche de la source.
Un rayonnement émis dans un champ gravitationnel intense est observé avec un décalage qui est toujours dirigé vers le rouge.

La Loi de Hubble-Lemaître qui induit un décalage spectral cosmologique dû à un effet de distance de la source.
Ce décalage est toujours dirigé vers le rouge.

Pour expliquer ces phénomèmes très profonds de la physique, la Relativité Générale a dù passer par les généralisations successives de la notion d'Espace-temps :
- L'espace-temps euclidien pour interpréter l'Effet Doppler-Fizeau.
- L'espace-temps courbe pour interpréter l'Effet Einstein.
- L'espace-temps à courbure variable pour interpréter la Loi de Hubble-Lemaître.

4. Lexique ( Paragraphe Précédent / Suivant )


Le Lexique ci-dessous détaille les termes et notions utilisés dans cette page, listés par ordre alphabétique.

  1. Abaissement d'indice
  2. Aberration de la lumière
  3. Age de l'univers
  4. Antisymétrie et symétrie
  5. Base (changement)
  6. Base directe (et indirecte)
  7. Base naturelle
  8. Base orthonormée
  9. Big Bang
  10. Cône de lumière
  11. Constante cosmologique
  12. Contraction des indices (ou trace d'un tenseur)
  13. Contraction des longueurs (ou contraction de FitzGerald-Lorentz)
  14. Convention de dérivée partielle
  15. Conventions de signe MTW
  16. Convention de sommation (dite "convention d'Einstein")
  17. Courbure
  18. Courbure scalaire (ou invariant scalaire)
  19. Covariance d'une loi physique (ou principe de Relativité Générale)
  20. Covariance et contravariance
  21. Dérivée covariante (ou gradient)
  22. Dérivée partielle (convention)
  23. Dilatation des durées (ou Ralentissement des horloges mobiles)
  24. Divergence
  25. Dual (espace et base)
  26. Effet Doppler (ou Doppler-Fizeau)
  27. Effet Einstein (ou décalage spectral gravitationnel ou effet Doppler gravitationnel)
  28. Elévation d'indice
  29. Energie et impulsion d'une particule mesurés par un observateur
  30. Equation d'Einstein
  31. Equation de Poisson
  32. Equations de Friedmann
  33. Equations de Maxwell
  34. Espace-temps
  35. Espace local de repos de l'observateur
  36. Facteur de Lorentz
  37. Forme linéaire
  38. Genre d'un vecteur
  39. Géodésique
  40. Géodésique d'un corps matériel
  41. Géodésique d'un photon
  42. GPS
  43. Histoire de l'univers
  44. Image d'un objet en mouvement
  45. Ligne d'univers
  46. Limite Newtonienne
  47. Loi de Hubble-Lemaître
  48. Mécanique relativiste
  49. Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (ou métrique FLRW)
  50. Métrique de Minkowski
  51. Métrique de Schwarzschild
  52. Métrique relativiste
  53. Mirage gravitationnel (ou lentille gravitationnelle)
  54. Modèle cosmologique standard
  55. Moment cinétique d'une particule mesuré par un observateur
  56. Multiplicité des temps propres (ou Désynchronisation des horloges parfaites)
  57. Noire (énergie)
  58. Noire (matière)
  59. Notations mathématiques
  60. Observateur
  61. Opérateurs élémentaires sur les tenseurs
  62. Paradoxe des jumeaux (ou paradoxe des horloges ou voyageur de Langevin)
  63. Principe d'équivalence
  64. Produit scalaire et norme
  65. Produit tensoriel
  66. Produit vectoriel
  67. Quadri-accélération
  68. Quadri-courant électrique
  69. Quadri-force
  70. Quadri-impulsion
  71. Quadri-position
  72. Quadri-potentiel électromagnétique
  73. Quadri-rotation
  74. Quadri-vecteur
  75. Quadri-vitesse
  76. Référentiel céleste et Référentiel terrestre
  77. Référentiel inertiel (ou galiléen)
  78. Référentiel local
  79. Signature
  80. Simultanéité
  81. Sommation (convention)
  82. Symboles de Christoffel
  83. Symbole de Kronecker
  84. Symbole de Levi-Civita
  85. Symétrie et antisymétrie
  86. Temps et Durée
  87. Temps standard
  88. Tenseur
  89. Tenseur d'Einstein
  90. Tenseur de courbure (ou de Riemann-Christoffel)
  91. Tenseur de Levi-Civita
  92. Tenseur de Ricci
  93. Tenseur électromagnétique (ou tenseur de Maxwell ou tenseur de Faraday)
  94. Tenseur Energie-Impulsion
  95. Tenseur Energie-Impulsion du champ ElectroMagnétique
  96. Tenseur Energie-Impulsion du Fluide Parfait
  97. Tenseur métrique (ou fondamental)
  98. Tensorialité (critères)
  99. Trajectoire
  100. Transformation de Galilée
  101. Transformation de Lorentz-Poincaré
  102. Trou de ver
  103. Trou noir

Abaissement d'indice

Un indice supérieur peut être changé en un indice inférieur par multiplication avec le Tenseur métrique gij puis Contraction des indices. Exemples :
Uik = gij Ujk
Ulm = gjl gkm Ujk
Uklm = glp Ukpm
Attention : Si on garde la même lettre pour le tenseur résultat (après suppression des indices identiques), alors la notation peut devenir ambigüe (voir Contraction des indices).

Aberration de la lumière

Image Relativite : AberrationImage Relativite : Distorsion de la sphere celeste


Figure 1 ci-dessus : Phénomème d'aberration lumineuse
Figure 2 ci-dessus : Distorsion de la sphère céleste. Les quatre images correspondent à différentes valeurs de la vitesse v de l'observateur mobile O' (v = 0 ; 0.3 c ; 0.6 c ; 0.9 c) [GOU, Relativité Restreinte, p.162].

L'aberration de la lumière est la différence entre les directions d'incidence d'un même rayon lumineux perçues par deux Observateurs en mouvement relatif.
Il ne s'agit pas d'un effet purement relativiste car l'aberration résulte du temps fini de propagation d'un signal, comme le montre l'exemple du piéton qui marche sous la pluie : la pluie tombant verticalement par rapport au sol, le piéton doit incliner son parapluie vers l'avant s'il ne veut pas être mouillé.
Soit O un Observateur d'un référentiel R et O' un Observateur d'un référentiel R' en translation rectiligne uniforme de vitesse v par rapport à R.
Dans le cas d'une source lumineuse M vue par O', la lumière émanant de M semble provenir de M' et non de M (voir Figure 1 ci-dessus).

u est le vecteur unitaire de la propagation lumineuse MO.
Si la propagation lumineuse u fait avec la vitesse v un angle θ dans R et θ' dans R', alors on a la relation :

    cos[θ'] = (cos[θ] - v/c) / (1 - cos[θ] v/c)

En utilisant la relation : tan2[θ/2] = (1 - cos[θ])/(1 + cos[θ]), on a la relation équivalente :

tan[θ'/2] = ( (1 + v/c)/( 1 - v/c) )1/2 tan[θ/2]

On a donc toujours : θ' > θ, comme si la lumière reçue par l'Observateur mobile se concentrait vers sa direction de déplacement.
- Lorsque la propagation u est parallèle à la vitesse v dans le référentiel R (θ = 0 ou π), alors la formule se réduit à : cos[θ'] = 1 ou -1, ce qui induit : θ' = 0 ou π, et il n'y a pas d'effet d'aberration.
- Lorsque u est perpendiculaire à v dans le référentiel R (θ = π/2), alors la formule se réduit à : cos[θ'] = -v/c, ce qui induit : θ' > π/2 (et le piéton doit incliner son parapluie vers l'avant).
    Pour un Observateur terrestre O' (v = 30 km.s-1), l'Image d'une étoile située au pôle nord de l'écliptique (θ = π/2) décrit ainsi en une année un cercle de rayon 20'' autour de ce pôle. A ne pas confondre avec la parallaxe qui est l'angle de vue d'une étoile lorsque la Terre parcours son orbite et qui vaut au maximum 0.77'' pour l'étoile la plus proche (Proxima Centauri) [GOU, Relativité Restreinte, p. 162].
- Lorsque v est petit devant c, il n'y a pas d'effet d'aberration (θ' = θ).

Le phénomème d'aberration se visualise très bien en considérant une grille uniforme sur la sphère céleste de l'Observateur O (voir Figure 2 ci-dessus). L'Observateur O' voit apparaître dans son champ de vision des directions qui étaient hors champ pour l'Observateur O, jusqu'à voir les deux pôles célestes en même temps.

Age de l'univers

L'âge de l'univers est la durée écoulée depuis le Big Bang. La meilleure approximation actuelle est donnée par : 1 / H0
où H0 est la constante de Hubble (voir Loi de Hubble-Lemaître),
ce qui donne un âge d'environ 13 milliards d'années.

Antisymétrie et symétrie

Voir Symétrie et antisymétrie.

Base (changement)

Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k} telle que : e'k = Aik ei, et [B] = [A-1] la matrice de passage inverse telle que : ei = Bik e'k
Pour un tenseur quelconque T d'ordre 2, en utilisant la multilinéarité de T et les propriétés de Covariance et contravariance, les composantes du tenseur T' sont données par les lois suivantes :
T'ij = Aki Alj Tkl
T' ij = Bik Bjl Tkl
T' ij = Bik Alj Tkl
Le changement de base transforme le tenseur T en un tenseur T' dont les composantes sont des combinaisons linéaires des composantes du tenseur origine.

Pour un tenseur quelconque T p fois contravariant et q fois covariant, la loi générale de transformation est la suivante [GOU, Relativité Restreinte, p. 476] :

T' i1... ip j1... jq = (Bi1 k1) ... (Bip kp)    (Al1 j1) ... (Alq jq)    T k1... kp l1... lq

Base directe (et indirecte)

Si ei sont les vecteurs de base de l'Espace-temps, la base {ei} est dite [GOU, Relativité Générale, p.21] :

directe lorsque : Ε(e0, e1, e2, e3) > 0
et indirecte lorsque : Ε(e0, e1, e2, e3) < 0

Ε est le Tenseur de Levi-Civita.

Base naturelle

Image Relativite : Base naturelle

En tout point M de coordonnées (x0, x1, x2, x3) de l'Espace-temps, la base naturelle associée au point M est l'ensemble des vecteurs ui vérifiant la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.492] [GOU, Relativité Générale, p.19] :

d(OM) = d(xi) ui

ui décrit ainsi l'accroissement de la coordonnée xi au voisinage de M (voir Figure ci-dessus) et se note vectoriellement : ui = d/d(xi). A ne pas confondre avec l'opérateur dérivée partielle.

Propriétés :
- Les vecteurs ui constituent une base vectorielle de l'Espace-temps.
- Chaque vecteur ui est en fait un champ de vecteurs qui peut s'écrire :

En coordonnées cartésiennes (t, x, y, z) :
ut = (1, 0, 0, 0)
ux = (0, 1, 0, 0)
uy = (0, 0, 1, 0)
uz = (0, 0, 0, 1)
La base naturelle est la même en tout point M.

En coordonnées sphériques (t, r, θ, φ) :
ut
ur = sin[θ] cos[φ] ux + sin[θ] sin[φ] uy + cos[θ] uz
= r cos[θ] cos[φ] ux + r cos[θ] sin[φ] uy - r sin[θ] uz
= -r sin[θ] sin[φ] ux + r sin[θ] cos[φ] uy
La base naturelle change avec le point M.


Les vecteurs ur, et ne constituent pas une Base orthonormée de R3 pour le produit scalaire euclidien usuel.
La base orthonormée associée (appelée "base naturelle normalisée") s'écrit : (ur, r-1 , (r sin[θ])-1 ).

Démonstration de l'expression des ui en coordonnées sphériques :

Les coordonnées sphériques sont définies à partir des coordonnées cartésiennes selon les relations suivantes (voir Figure ci-dessus) :
x = r sin[θ] cos[φ]
y = r sin[θ] sin[φ]
z = r cos[θ]
En utilisant la loi de composition des "dérivées partielles", le vecteur ur s'écrit alors comme suit :
ur = d(OM)/dr = (dx/dr) d(OM)/dx + (dy/dr) d(OM)/dy + (dz/dr) d(OM)/dz = sin[θ] cos[φ] ux + sin[θ] sin[φ] uy + cos[θ] uz
De même, on trouve respectivement :
= d(OM)/dθ = (dx/dθ) d(OM)/dx + (dy/dθ) d(OM)/dy + (dz/dθ) d(OM)/dz = r cos[θ] cos[φ] ux + r cos[θ] sin[φ] uy - r sin[θ] uz
= d(OM)/dφ = (dx/dφ) d(OM)/dx + (dy/dφ) d(OM)/dy + (dz/dφ) d(OM)/dz = -r sin[θ] sin[φ] ux + r sin[θ] cos[φ] uy

Base orthonormée

Si ei sont les vecteurs de base de l'Espace-temps, la base {ei} est dite orthonormée (relativement au Produit scalaire g) lorsque [GOU, Relativité Générale, p.26] :

g00 = e0.e0 = -1
gii = ei.ei = 1 pour i = 1 à 3
gij = ei.ej = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

La matrice [gij] de cette base particulière, notée [ηij], est appelée matrice de Minkowski et correspond à l'Espace-temps de la Relativité Restreinte en coordonnées cartésiennes.

Big Bang

Image Relativite : Big Bang

Définition :
Le Big Bang est un mot ayant une double signification :
- Evénement marquant le début de l'expansion de l'univers, sans que cela préjuge de l'existence d'un "instant initial" ou d'un commencement à son histoire.
- Modèle cosmologique standard décrivant l'évolution de l'univers, depuis un état infiniment dense et incroyablement chaud (1013 °C) jusqu'à aujourd'hui.
Le Big Bang, appelé abusivement "explosion primordiale", est en fait une "dilatation primordiale" telle que le facteur d'échelle a(t) tende vers 0 quand t tend vers 0. Il n'y a pas éjection de matière à partir d'un endroit de l'univers mais dilatation de l'espace réduit en un point, qui emmène avec lui tous les objets de l'univers.

Chronologie simplifiée (cf [Les secrets de l'espace] et http://scphysiques.free.fr/2nde/documents/Histoire_atome/bigbang.html ) :
- Entre 0 et 10-43 secondes après le Big Bang, correspondant à l' "ère de Planck", sorte de quantum temporel incompressible selon la physique quantique, notre physique est muette mais les scientifiques pensent qu'à la fin de cette période, la gravité s'est séparée des autres forces de la nature (force nucléaire forte, force nucléaire faible et force électromagnétique).
- Entre 10-43 et 10-6 secondes après le Big Bang, les scientifiques décrivent l'évolution de l'univers à partir d'hypothèses. Le Big Bang ne peut être décrit selon les équations connues de la physique qu'à partir de 10-6 secondes.
- Environ 10-32 secondes après le Big Bang, une des hypothèses est que l'univers était une "soupe" de particules élémentaires et d'antiparticules. Certaines existent toujours aujourd'hui sous forme de quarks, d'antiquarks et de bosons comme les gluons. D'autres n'existent plus comme les gravitons (particules hypothétiques qui transmettent la gravité) et les bosons de Higgs qui transmettent de la masse à d'autres particules.
- 300 000 ans après le Big Bang, lorsque la température chute à environ 2700 °C, se forment les premiers atomes d'hydrogène et d'hélium. Les électrons étant alors liés aux atomes, matière et rayonnement deviennent découplés. Les photons peuvent alors voyager à travers l'univers sous forme de rayonnement. Ils atteignent la Terre non pas sous forme de lumière visible mais en tant que photons de faible énergie du fond diffus cosmologique.
- 200 millions d'années après le Big Bang, apparaissent les premières étoiles constituées presque exclusivement d'hydrogène et d'hélium. Au cours de leur vie et de leur mort, ces premières étoiles créent de nouveaux éléments chimiques à partir de la fusion nucléaire dans les noyaux chauds de ces étoiles, comme le carbone, l'oxygène, le silicone et le fer. Ces éléments chimiques sont dispersés dans l'espace et dans d'autres galaxies.
- Les secondes et troisièmes générations d'étoiles se forment plus tard dans ce milieu interstellaire enrichi. Elles créent encore plus d'éléments chimiques renvoyés dans le milieu interstellaire via les vents solaires et les explosions de supernovae.
- L'Histoire de l'univers se poursuit ensuite avec la création de notre Soleil, de la Terre et de la vie sur Terre. A noter que la Terre ne recevra jamais de lumière visible avant la combustion des premières étoiles.
- Aujourd'hui, l'univers est extrêmement peu dense (quelques atomes par mètre cube) et froid (-271 °C).

Cône de lumière

Image Relativite : Cone de lumiere

Le cône de lumière est une notion fondamentale de la Relativité Restreinte, permettant la distinction entre un événement passé, un événement futur et un événement inaccessible (dans le passé ou dans le futur).
Si un signal lumineux part du point origine O pour aller au point M de coordonnées (x, y, z), alors le lieu des trajectoires des rayons lumineux issu de O dans l'Espace-temps sera un hypercône d'équation : c2 t2 = x2 + y2 + z2, appelé Cône de lumière (voir Figure ci-dessus, pour laquelle x représente de façon simplifiée les trois coordonnées spatiales x, y et z).

Constante cosmologique


L'histoire de la Constante cosmologique Λ est particulièrement mouvementée :
- En 1915, Einstein publie son Equation de la Relativité Générale, sans constante cosmologique Λ.
- En 1917, Einstein rajoute le paramètre Λ à son Equation lorsqu'il se rend compte que sa théorie implique un univers dynamique pour lequel l'espace est fonction du temps. Il donne alors à cette constante une valeur très particulière pour forcer son modèle d'univers à demeurer statique et éternel (Univers statique d'Einstein), ce qu'il appellera plus tard "la plus grande bêtise de sa vie".
- En 1922, le physicien russe Alexander Friedmann montre mathématiquement que l'Equation d'Einstein (avec Λ quelconque) reste valide dans un univers dynamique.
- En 1927, l'astrophysicien belge Georges Lemaître montre que l'univers est en expansion en combinant la Relativité Générale avec certaines observations astronomiques, celles de Hubble notamment.
- En 1931, Einstein accepte finalement la théorie d'un univers en expansion et propose, en 1932 avec le physicien et astronome hollandais Willem de Sitter, un modèle d'univers en expansion continu à constante cosmologique nulle (Espace-temps d'Einstein-De Sitter).
- En 1998, deux équipes d'astrophysiciens menées, l'une par Saul Perlmutter, l'autre par Brian Schmidt et Adam Riess, réalisent des mesures sur de lointaines supernovae et montrent que la vitesse de récession des galaxies par rapport à la Voie lactée augmente au cours du temps. L'univers est en expansion accélérée, ce qui nécessite d'avoir un Λ strictement positif. L'univers contiendrait une mystérieuse énergie Noire produisant une force répulsive qui contrebalance le freinage gravitationnel produit par la matière contenue dans l'univers (voir Modèle cosmologique standard).
    Pour ces travaux, Perlmutter (Américain), Schmidt (Américano-australien) et Riess (Américain) reçoivent conjointement le Prix Nobel de physique en 2011.
- En 2015, la valeur de la constante cosmologique est estimée à Λ = 1,11 10-52 m-2

Contraction des indices (ou trace d'un tenseur)

L'opération de contraction des indices d'une composante mixte d'un Tenseur consiste à choisir deux indices, l'un covariant, l'autre contravariant, puis à les égaler et à sommer par rapport à cet indice deux fois répété.
Par exemple, pour un tenseur U d'ordre 3 dont les composantes mixtes sont Uijk, la contraction sur les indices j et k donne le Tenseur Ti = Uikk = Ui11 + Ui22 + ... Uinn
Les quantités Ti ainsi obtenues, composantes contractées du tenseur U, forment les composantes d'un tenseur T d'ordre 1.
A noter que l'opérateur "produit matriciel" est un cas particulier du Produit tensoriel Uij ⊗ Vkl contracté sous la forme : Til = Uik Vkl

Autres exemples :

Cas du Tenseur de courbure Rijkl : la contraction sur les indices i et k donne le Tenseur de Ricci : Rjl = Rkjkl
Attention : Si on garde la même lettre pour le tenseur résultat (après suppression des indices identiques), alors la notation peut devenir ambigüe. Pour le Tenseur Rijlk (différent de Rijkl), la contraction sur les indices i et k donne le Tenseur Rkjlk = Rjl, c'est-à-dire l'opposé du Tenseur de Ricci malgré la notation identique Rjl.

Cas du Tenseur de courbure Rijkl : l'Elévation de l'indice i donne, après contraction sur les indices m et i, le Tenseur gmi Rijkl = Rmiijkl = Rmjkl
Attention : Si on garde la même lettre pour le tenseur résultat (après suppression des indices identiques), alors la notation peut devenir ambigüe. Pour le Tenseur de courbure Rjikl (différent de Rijkl), sa contraction avec gmi donne le Tenseur gmi Rjikl = Rmijikl = Rmjkl, c'est-à-dire l'opposé du Tenseur Rmiijkl malgré la notation identique Rmjkl.

Contraction des longueurs (ou contraction de FitzGerald-Lorentz)

En Relativité Restreinte, si un bipoint de longueur propre donnée (l0) est fixe dans un référentiel, alors sa longueur dans tout autre référentiel est inférieure à la longueur propre et s'appelle longueur apparente (l).
Certains auteurs parlent à ce propos de Contraction des longueurs. Cette contraction n'est pas physique mais résulte simplement de mesures qui n'ont de sens que par rapport à un référentiel donné.
La contraction des longueurs n'intervient que dans la direction du mouvement relatif entre référentiels. Il n'y a pas de contraction dans les directions orthogonales.

Démonstration de la relation : l < l0 [ANN Electricité_2] :

Soit une règle rigide fixe dans le référentiel R. Ses extrémités sont situées respectivement aux coordonnées (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2). Sa longueur (propre) l0 est telle que : l02 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
Pour un Observateur du référentiel R' en translation rectiligne uniforme à la vitesse v par rapport à R, qui repère au même instant t' les extrémités de la règle, il trouve des coordonnées (x1', y1', z1') et (x2', y2', z2') données par la Transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
x1 = γ (x1' + v t')
y1 = y1'
z1 = z1'
x2 = γ (x2' + v t')
y2 = y2'
z2 = z2'
Pour cet observateur, la longueur (apparente) l de la règle est donc telle que : l2 = (x2' - x1')2 + (y2' - y1')2 + (z2' - z1')2 = (x2 - x1)2 γ-2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 = l02 - (x2 - x1)2 (1 - γ-2) = l02 - (x2 - x1)2 (v/c)2
D'où : l < l0

Convention de dérivée partielle

Afin d'alléger les expressions des dérivées des fonctions dépendant de n variables f(x1, x2... xn), on note les dérivées partielles sous les formes suivantes :

f,i = di(f) = d(f)/d(xi)
f,i,j = dij(f) = d2(f)/(dxi dxj)
grad(f) = gradient d'une fonction f. Dans toute Base naturelle, ses coordonnées sont [GOU, Relativité Restreinte, p.500] : ( grad(f) )i = d(f)/d(xi)
div(v) = divergence d'un vecteur v. Dans toute Base naturelle, on a [GOU, Relativité Restreinte, p.507] : div(v) = (-g)-1/2 d( (-g)1/2 vi )/d(xi)
Δ(f) = Laplacien d'une fonction f = div(grad(f))
Δ(v) = Laplacien d'un vecteur v = grad(div(v)) - rot(rot(v)). Ses coordonnées sont : (Δ(v))i = Δ(vi)
◊() = d'Alembertien d'une fonction f ou d'un vecteur v. On a [GOU, Relativité Restreinte, p.594] : ◊() = gij (d/dxi) (d/dxj)
    Dans un Référentiel inertiel : ◊() = - c-2 d2()/dt2 + d2()/dx2 +d2()/dy2 +d2()/dz2
rot(v) = rotationnel d'un vecteur v. Dans toute Base naturelle et orthonormée, ses coordonnées sont [GOU, Relativité Restreinte, p.511] : ( rot(v) )i = εijk d(vk)/d(xj)
avec :
g = Déterminant de la matrice gij associée au Tenseur métrique g
gij = composantes inverses du Tenseur métrique
εijk = Symbole de Levi-Civita

Propriétés :
div[rot()] = 0
rot[grad()] = 0
Δ(v) = grad[div(v)] - rot[rot(v)]
◊() est invariant par la Transformation de Lorentz-Poincaré.

Démonstration de l'invariance du d'Alembertien par la Transformation de Lorentz-Poincaré :

Dans un Référentiel inertiel, le d'Alembertien ◊ s'écrit :
◊ = d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 - c-2 d2/dt2 = C1 C2 + d2/dy2 + d2/dz2
C1 = d/dx - c-1 d/dt
C2 = d/dx + c-1 d/dt
On se place dans le cas simplifié où l'axe x' du référentiel R' est parallèle à l'axe x du référentiel R (voir Transformation de Lorentz-Poincaré).
Les relations (L1) et (L2) donnent par dérivation partielle :
d/dx = (d/dx')(dx'/dx) + (d/dt')(dt'/dx) = γ ( (d/dx') - (d/dt') β c-1 )
d/dt = (d/dx')(dx'/dt) + (d/dt')(dt'/dt) = γ ( (d/dt') - (d/dx') β c )
d2/dy2 = d2/dy'2
d2/dz2 = d2/dz'2
En reportant ces expressions dans C1 et C2, on trouve :
C1 = γ (d/dx' - c-1 d/dt') (1 + β)
C2 = γ (d/dx' + c-1 d/dt') (1 - β)
Compte tenu de l'expression de γ (relation (L3)), on trouve alors le résultat suivant :
◊ = (d/dx' - c-1 d/dt')(d/dx' + c-1 d/dt') + d2/dy'2 + d2/dz'2 = C1' C2' + d2/dy'2 + d2/dz'2 = ◊'
L'identité : ◊ = ◊' montre que le d'Alembertien est invariant par changement de Référentiel inertiel.

Conventions de signe MTW

En Relativité, les conventions de signe classiques sont celles de Misner, Thorne et Wheeler [MTW, Gravitation, 1973], appellées aussi "Landau-Lipschitz Spacelike Convention" (LLSC),
avec un Tenseur métrique de Signature (-, +, +, +), un Tenseur de courbure défini par Rijkl = Γijl,k + ..., et un Tenseur de Ricci défini par Rij = Rkikj
Si on définit par (C1), (C2), (C3) et (C4) les quatre signes suivants, ces auteurs classent la plupart des conventions existantes selon les trois signes indépendants (C1)(C2)(C4).
    (C1) Signature (-, +, +, +)
    (C2) Tenseur de courbure défini par Rijkl = Γijl,k + ...
    (C3) Tenseur de Ricci défini par Rij = Rkikj
    (C4) "Signe d'Einstein" qui est le signe devant le second membre K Tab de l'Equation d'Einstein et correspondant à (C4) = (C2)(C3)

Ces conventions de signe classiques sont également utilisées par Caroll (Spacetime and Geometry, 2004), Hartle (Gravity, 2003), Hawking & Ellis (The large scale structure of space-time, 1973), Poisson (A Relativist's Toolkit, The Mathematics of Black-Hole Mechanics, 2004) et Gourgoulhon ([GOU, Relativité restreinte, pp 8][GOU, Relativité générale, pp 24, 109, 111]).

Convention de sommation (dite "convention d'Einstein")

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), tout vecteur x de cet espace peut s'écrire : x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en = ∑k=1, n[xk ek]
Afin d'alléger cette écriture, on utilise une convention de notation consistant à supprimer le symbole "Somme", ce qui s'écrit sous forme condensée :

x = xk ek
où l'indice k (appelé indice muet) varie toujours de 1 à n.

La sommation s'effectue sur les indices à condition toutefois qu'ils soient répétés respectivement en haut et en bas dans un même monôme.
Quand le symbole prime est utilisé pour distinguer deux bases distinctes d'un même espace vectoriel, on peut encore simplifier la notation en plaçant le symbole prime sur l'indice plutôt que sur le vecteur : x = x'k e'k = xk' ek'
Certains termes d'une somme peuvent comporter plusieurs indices. Par exemple, dans la somme akm bm, la sommation se fait sur l'indice m. L'indice k (appelé indice libre) caractérise alors un terme particulier.
Ainsi, l'équation ck = akm bm pour n = 3 représente le système d'équations :
c1 = a11 b1 + a12 b2 + a13 b3
c2 = a21 b1 + a22 b2 + a23 b3
c3 = a31 b1 + a32 b2 + a33 b3
Il n'y a pas ici de sommation sur l'indice k, celui-ci se trouvant seul dans le même monôme.
Lorsque le monôme comporte plusieurs indices muets, la sommation se fait à la fois sur tous ces indices. Par exemple, akm bm ck pour n = 4 représente une somme de 16 termes :
akm bm ck = a11 b1 c1 + a12 b2 c1 + a13 b3 c1 + a14 b4 c1 + ... + a21 b1 c2 + ... + a44 b4 c4

La convention de sommation s'applique également aux Dérivées partielles (exemple : gil,l) et aux Dérivées covariantes (exemple : Fkl;l), bien que le symbole de dérivée ne soit pas un indice covariant [DENIS, Cours, p.25].

Courbure

Image Relativite : Courbure

Le mot "courbure" a plusieurs significations en Relativité :

- Tenseur de courbure (ou tenseur de Riemann-Christoffel) de l'Espace-temps, qui est un Tenseur d'ordre 4.

- Tenseur de Ricci de l'Espace-temps, qui est un Tenseur d'ordre 2.

- Courbure scalaire R de l'Espace-temps, qui est un Tenseur d'ordre 0 (scalaire).

- Courbure k* des hypersurfaces spatiales (liée au paramètre de courbure spatiale k) qui est un scalaire utilisé dans la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. A ne pas confondre avec la Courbure scalaire R de l'Espace-temps.

- Courbure a de la Ligne d'univers d'une particule matérielle.

Les trois premières courbures dépendent uniquement des potentiels de gravitation gab et de leurs dérivées premières et secondes par rapport aux coordonnées. En Métrique de Minkowski, elles sont toutes nulles et correspondent à l'Espace-temps plat de la Relativité Restreinte.

Courbure scalaire (ou invariant scalaire)

La courbure scalaire de l'Espace-temps est un nombre (R) de dimension m-2 obtenu par Contraction du Tenseur de Ricci sous la forme :

R = gij Rij = Rii

R est en fait la trace du tenseur de Ricci.

Covariance d'une loi physique (ou principe de Relativité Générale)

Image Relativite : Covariance d'une loi physique

La covariance générale d'une loi physique n'a rien à voir avec la Covariance des composantes d'un tenseur. Le mot "covariance" ne se réfère pas à l'indice covariant d'un Tenseur mais indique seulement une écriture de la loi physique qui reste invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées (invariance par difféomorphisme) [AMI Initiation_aux_Tenseurs, p.18].
Lorsque la loi physique peut s'écrire sous la forme tensorielle : T = 0, ou ce qui revient au même : P = Q avec T = P - Q (T, P et Q étant des Tenseurs de même type), alors tout changement de référentiel transforme cette équation sous la forme tensorielle : T' = 0, ce qui ne change pas la forme de la loi physique.

Démonstration :

Prenons l'exemple d'une loi physique écrite sous la forme de l'équation tensorielle : T = 0, T étant un Tenseur mixte d'ordre 2.
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k} et [B] = [A-1] la matrice de passage inverse.
Le Changement de base transforme les composantes Tij = 0 de cette équation en : T' ij = Bik Alj Tkl = 0
ce qui ne change pas la forme de la loi physique.


Exemple de la loi de Newton : F = m γ
L'expression covariante de cette loi est en composantes contravariantes [AMI Initiation_aux_Tenseurs, p.18] :
    Fi = m vi;t
avec : vi = dxi/dt
Le terme vi;t est la Dérivée covariante de la vitesse vi par rapport au temps t, laquelle vaut :
    vi;t = vi;k (dxk/dt) = vi,k (dxk/dt) + Γijk vj vk = dvi/dt + Γijk vj vk
où Γijk sont les Symboles de Christoffel.
Si, de plus, la force F dérive d'un potentiel sous la forme : F = -grad(Φ), alors F peut s'écrire en composantes contravariantes : Fi = gij Fj = - gij dΦ/dxj
où les gij sont les composantes inverses du Tenseur métrique.
La loi de Newton s'écrit alors sous forme tensorielle :

gij dΦ/dxj + m ( d2xi/dt2 + Γijk (dxj/dt) (dxk/dt) ) = 0


Sous cette forme tensorielle, la loi de Newton restera invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées (coordonnées sphériques par exemple).

Autre exemple : les Equations de Maxwell.

Covariance et contravariance

Image Relativite : Covariance et contravariance

Les notions de vecteur covariant et contravariant s'appliquent à des référentiels non orthonormés, ce qui explique qu'elles ne sont pas abordées dans les cours de mathématiques du Secondaire voire du Supérieur. Lorsque la base est Orthonormée, il n'y a pas de différence entre composantes covariantes et contravariantes.
Pour un espace vectoriel E de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on appelle (voir Figure ci-dessus) :

Composantes contravariantes d'un vecteur x les nombres xi tels que : x = xi ei
Composantes covariantes d'un vecteur x les nombres xj tels que : xj = x.ej.


Les composantes contravariantes sont notées avec des indices supérieurs.
Les composantes covariantes sont notées avec des indices inférieurs.
L'appellation contravariante (resp. covariante) vient du fait que ces composantes se transforment, lors d'un changement de base, de manière inverse (resp. identique) à celle des vecteurs de base.
Lorsque les indices varient de 0 à 3, on emploie souvent les lettres grecques (telles que α ou μ) plutôt que les lettres latines (telles que i ou j).
On a les relations suivantes :

xj = gij xi
xi = gij xj
x.y = gij xi yj = gij xi yi


où les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.

A noter que les composantes covariantes xj peuvent se définir également dans une base Duale sous la forme : x = xj ej
où les ej sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel Dual E* (voir Figure ci-dessus).

Démonstration de l'appellation contravariance (resp. covariance) :

On considère le changement de base {ei} = (e1, e2... en) vers la nouvelle base {e'k} = (e'1, e'2... e'n).
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k}.
Les éléments de [A] sont les Aik tels que : e'k = Aik ei
L'indice du haut est l'indice de ligne de la matrice. L'indice du bas est l'indice de colonne de la matrice.
Soit [B] = [A-1] la matrice de passage inverse de la base {e'k} à la base {ei} telle que : ei = Bik e'k
Pour les composantes contravariantes, on a :
    x = xi ei
    x = x' k e'k = x' k (Aik ei) = (Aik x' k) ei)
    D'où : xi = Aik x' k
    Et donc : x' i = Bik xk
    Les composantes contravariantes se transforment donc de manière inverse à celle des vecteurs de base (avec la matrice de passage inverse [B]).
Pour les composantes covariantes, on a :
    xj = x.ej
    x'k = x.e'k = x.(Ajk ej) = Ajk (x.ej) = Ajk xj
    Les composantes covariantes se transforment donc de manière identique à celle des vecteurs de base (avec la même matrice de passage [A]).

Dérivée covariante (ou gradient)

La dérivée covariante est l'expression générale de la dérivée qui reste invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées. Elle contribue à rendre Covariantes les lois physiques.
Selon la procédure générale énoncée par Einstein [BARRAU, Relativité générale, p.64], "on obtient les lois physiques correctes en remplaçant les dérivées usuelles par des dérivées covariantes".

En utilisant la Convention de dérivée partielle et la Convention de sommation, pour tout Tenseur U d'ordre (n), sa dérivée covariante est le tenseur d'ordre (n + 1) de composantes suivantes (notées U ;l ou Dl U) :

Pour un scalaire : u;l = u,l
Pour un vecteur contravariant : um;l = um,l + ur Γmrl
Pour un vecteur covariant : ui;l = ui,l - ur Γril
Pour un Tenseur d'ordre 2 contravariant : Umn;l = Umn,l + (Urn Γmrl + Urm Γnrl)
Pour un Tenseur d'ordre 2 covariant : Uij;l = Uij,l - (Urj Γril + Uri Γrjl)
Pour un Tenseur d'ordre 2 mixte : Umi;l = Umi,l + Uri Γmrl - Umr Γril
...
Pour un Tenseur d'ordre 5 mixte : Umnijk;l = Umnijk,l + (Urnijk Γmrl + Urmijk Γnrl) - (Umnrjk Γril + Umnrik Γrjl + Umnrij Γrkl)

où Γijk sont les Symboles de Christoffel.

Dérivée partielle (convention)

Voir Convention de dérivée partielle.

Dilatation des durées (ou Ralentissement des horloges mobiles)

Voir explication simple dans Relativité du temps, définition simple dans Temps, définition rigoureuse dans Facteur de Lorentz et application pratique dans GPS.

Divergence

La divergence d'un champ de vecteurs rend compte de la variation infinitésimale du volume (ou de la charge électrique) autour d'un point. La divergence d'un Tenseur généralise cette notion.
La divergence d'un tenseur U d'ordre (n) est le tenseur Div(U) d'ordre (n - 1) obtenu en Contractant un des indices de la Dérivée covariante avec l'indice de dérivation.
Pour un tenseur deux fois contravariant, il y a deux divergences possibles : divergence à droite (composante Uij ;j) et divergence à gauche (composante Uij ;i). Les divergences ne sont égales que si le tenseur est Symétrique ou Antisymétrique.

Exemple : Le Tenseur d'Einstein Sab est à divergence nulle (Sab;a = 0).

Dual (espace et base)

Image Relativite : Base duale

L'espace dual E* d'un espace vectoriel E est l'espace des Formes linéaires coordonnées sur E.
E* est également un espace vectoriel et de même dimension (n) que E.
Si ej sont les vecteurs de base de E et ei les vecteurs de base de E*, alors on a les relations suivantes :

ei.ej = δij

où δ est le Symbole de Kronecker

Démonstration :

Soit ei(x) l'application linéaire qui fait correspondre au vecteur x sa composante xi en base {ej}, soit : ei(x) = xi
Pour chaque i allant de 1 à n, ei(x) est donc une Forme linéaire sur E, appelée ième forme linéaire coordonnée relative à la base {ej}, ce qui s'écrit : ei(ej) = δij
Théorème de représentation de Fréchet-Riesz : si ei est le vecteur qui représente la Forme linéaire ei(x) pour le Produit scalaire, alors on peut écrire pour tout x de E : ei.x = ei(x)
D'où le résultat : ei.ej = ei(ej) = δij

Tout vecteur x s'exprime donc dans chaque base comme suit :
    x = xi ei
    x = xi ei
où xi et xi sont respectivement les composantes Covariantes et contravariantes du vecteur x.

Démonstration des composantes covariantes :

La première expression (x = xi ei) implique que : x.ej = (xi ei).ej = xi δij = xj
qui est bien la définition des composantes covariantes xj du vecteur x.


Interprétation géométrique (voir Figure ci-dessus) :
Le vecteur ei est orthogonal (par rapport au Produit scalaire) à tous les vecteurs ej d'indice j différent (ei.ej = 0) et possède un produit scalaire égal à 1 avec le vecteur ej de même indice (ei.ei = 1).

Propriétés :
ei = gij ej
ei = gij ej
où gij et gij sont respectivement les composantes directes et inverses du Tenseur métrique

Démonstration :

Pour tout x, on peut écrire : ei.x = ei.(xj ej) = gij xj = gij ej(x) = gij ej.x
D'où le premier résultat : ei = gij ej
En multipliant les deux membres de cette relation par gki et en utilisant la relation gki gij = δkj, on obtient : gki ei = δkj ej = ek
D'où le second résultat : ei = gij ej

Effet Doppler (ou Doppler-Fizeau)

Image Relativite : Doppler et FizeauImage Relativite : Effet Doppler

L'effet Doppler est le changement de fréquence d'un phénomène périodique induit par le mouvement de l'émetteur par rapport au récepteur. Dans le cas des ondes sonores par exemple, le son émis par une voiture qui s'approche est plus aigu que celui émis lorsqu'elle s'éloigne.
Prenons le cas général en Relativité Restreinte d'une onde lumineuse se propageant à la vitesse d'onde c.
Si f est la fréquence de l'onde perçue par un Observateur O d'un référentiel R, alors tout Observateur O' d'un référentiel R' en translation rectiligne uniforme de vitesse v par rapport à R percevra cette même onde à une fréquence f' différente de f. L'expression de f' est la suivante selon différents cas.
u est le vecteur unitaire de la propagation lumineuse MO (voir Figure dans Aberration).
γ est le Facteur de Lorentz

(D1) Effet Doppler longitudinal (u parallèle à v) :
    f' = f γ (1 - (v.u)/c)
Lorsque v est petit devant c, on retrouve les formules approximatives non relativistes :
    f' = f (1 - (vr.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse vr = v) et émetteur immobile par rapport au milieu de la propagation
    f' = f / (1 - (ve.u)/c) pour des récepteur immobile et émetteur mobile (vitesse ve = -v) par rapport au milieu de la propagation
    f' = f (1 - (vr.u)/c) / (1 - (ve.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse vr) et émetteur mobile (vitesse ve) par rapport au milieu de la propagation (vitesse relative vr - ve = v).

(D2) Effet Doppler transversal à l'émission (u perpendiculaire à v dans R) :
    f' = f γ

(D3) Effet Doppler transversal à la réception (u perpendiculaire à v dans R') :
    f' = f γ-1

(D4) Effet Doppler (formule générale) :
Si la propagation u de la lumière fait avec la vitesse v un angle θ dans R ou θ' dans R' (voir Figure dans Aberration), alors on a la relation :

f' = f γ (1 - cos[θ] v/c) = f γ-1 (1 + cos[θ'] v/c)-1

la relation entre les angles θ et θ' étant donnée par la formule d'Aberration.
Pour θ = θ' = 0° ou 180°, on retrouve la formule (D1) avec décalage vers le rouge ou vers le bleu selon que l'Observateur de R' s'éloigne ou se rapproche de la source lumineuse de R.
Pour θ = 90°, on retrouve la formule (D2) avec décalage vers le bleu.
Pour θ' = 90°, on retrouve la formule (D3) avec décalage vers le rouge.
Lorsque v est petit devant c, on retrouve la formule approximative non relativiste :
    f' = f (1 - (vr.u)/c) / (1 - (ve.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse vr) et émetteur mobile (vitesse ve) par rapport au milieu de la propagation (vitesse relative vr - ve = v).

Démonstration partielle [ANN Electricité_2] :

Effet Doppler longitudinal (voir Figure dans Transformation de Lorentz-Poincaré) :
L'équation de l'onde lumineuse se propageant dans la direction Ox est la suivante pour l'Observateur lié à R :
    s(x, t)= s0 cos[ 2 π f (t - x/c) ]
Pour l'Observateur lié à R', elle devient s(x', t') en utilisant la Transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
    (L1') x = γ (x' + v t')
    (L2') t = γ (t' + B x')
    (L3) γ = 1 / (1 - v2 c-2)1/2
    (L4) B = v c-2
D'où :
    s(x', t')= s0 cos[ 2 π f γ (t'(1 - v/c) + x'(B - 1/c)) ]
La fréquence f' perçue est donc :
    f' = f γ (1 - v/c)
L'Effet Doppler longitudinal est dit du premier ordre parce qu'il dépend de (1 - v/c). Il provoque une diminution de fréquence pour v > 0 (fuite de l'Observateur par rapport à l'onde) et une augmentation dans le cas contraire.

Effet Doppler transversal à l'émission (voir Figure dans Transformation de Lorentz-Poincaré) :
L'équation de l'onde lumineuse se propageant dans la direction Oy est la suivante pour l'Observateur lié à R :
    s(y, t)= s0 cos[ 2 π f (t - (y/c)) ]
Pour l'Observateur lié à R', elle devient s(x', y', t') en utilisant la Transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
    (L0') y = y'
    (L2') t = γ (t' + B x')
D'où :
    s(x', y', t')= s0 cos[ 2 π f γ (t' + B x' - γ-1 (y'/c)) ]
La fréquence f' perçue est donc :
    f' = f γ
L'Effet Doppler transversal est dit du second ordre.

Effet Einstein (ou décalage spectral gravitationnel ou effet Doppler gravitationnel)

Image Relativite : EinsteinImage Relativite : Effet Einstein

La fréquence d'une source lumineuse produite dans un champ de gravitation est diminuée (donc décalée vers le rouge) quand elle est observée depuis un lieu où la gravitation est moindre. Il s'agit d'un pur effet de Relativité Générale et non d'un décalage par Effet Doppler.
En utilisant la Métrique de Schwarzschild centrée sur un corps massif (masse M) à symétrie sphérique, et dans le cas particulier d'une Constante cosmologique nulle et d'un champ de gravitation dans le vide, la fréquence observée f' à la distance radiale r' est fonction de la fréquence produite f à la distance radiale r selon la loi :

f' = f ( (1 - r*/r)/(1 - r*/r') )1/2

où r* est le rayon gravitationnel (r* = 2 G M c-2).
Lorsque l'Observateur est situé en un lieu de gravitation moindre que le lieu de la source (r' > r), on trouve (f' < f) correspondant à l'observation d'un décalage vers le rouge.

L'effet Einstein a un impact dans la vie quotidienne : si on n'en tenait pas compte dans le champ gravitationnel de la Terre, le système de positionnement GPS serait complètement inopérant !

Elévation d'indice

Un indice inférieur peut être changé en un indice supérieur par multiplication avec le Tenseur métrique inverse gij puis Contraction des indices. Exemples :
Uik = gij Ujk
Uik = gil gkm Ulm
Attention : Si on garde la même lettre pour le tenseur résultat (après suppression des indices identiques), alors la notation peut devenir ambigüe (voir Contraction des indices).

Energie et impulsion d'une particule mesurés par un observateur

Image Relativite : Energie et impulsion d une particule mesuree par un observateur

L'énergie E et le vecteur impulsion P d'une particule M, mesurés par un Observateur O dans son Référentiel local à un instant τ, sont donnés par les relations suivantes (voir Figure ci-dessus) [GOU, Relativité Restreinte, p.275 à 278] :

E = -c p.u0 = γ m c2 A
P = p - (E/c) u0 = γ m B
A = 1 + a0.OM
B = v + ω xu0 OM


L, p et m sont les Ligne d'univers, Quadri-impulsion et masse au repos (masse propre) de la particule
L0, u0 et a0 sont les Ligne d'univers, Quadri-vitesse et Quadri-accélération de l'Observateur.
γ est le Facteur de Lorentz
ω est la Quadri-rotation de l'Observateur O.
v est la vitesse du point M relative à l'Observateur O dans son Espace local de repos Eu0.
"xu0" est l'opérateur Produit vectoriel entre deux vecteurs quelconques de Eu0, ce qui s'écrit : ω xu0 OM = Ε(u0, ω, OM, .)
où :
Ε est le Tenseur de Levi-Civita
Ε(u0, ω, OM, .) désigne le vecteur qui représente la Forme linéaire Ε(u0, ω, OM, z) pour le Produit scalaire g.

Le vecteur impulsion P (de dimension kg.m.s-1) est la projection orthogonale du vecteur p sur Eu0 (avec P.u0 = 0).
L'énergie E (de dimension J ou kg.m2.s-2) vérifie la relation d'Einstein : E2 = m2 c4 + P.P c2 qui se simplifie en : E = ||P|| c pour une particule de masse nulle (cas du photon par exemple).

Démonstration :
p.p = (E/c)2 u0.u0 + 2 (E/c) P.u0 + P.P = -(E/c)2 + 0 + P.P
Par ailleurs, on a : p.p = -m2 c2
D'où le résultat : E2 = m2 c4 + P.P c2


Lorsque L croise L0 au temps propre τ0 (OM = 0) ou lorsque O est un Observateur inertiel (a0 = ω = 0), ces relations se simplifient en :

E = γ m c2
P = γ m v
γ = ( 1 - c-2 v.v )-1/2


La première relation exprime l'équivalence entre masse et énergie. Elle a été établie en 1905 par Einstein [EIN Ist die Trägheit], quelques mois après son article fondateur sur le Relativité Restreinte.
Cette relation peut s'écrire : E = Emass + Ecin, où Emass est l'énergie de masse (Emass = m c2) et Ecin l'énergie cinétique de la particule (Ecin = (γ - 1) m c2).
En limite non relativiste (||v|| << c) avec développement limité de γ, on retrouve que : Ecin = (1/2) m v.v et que : P = m v

Equation d'Einstein (ou Equation de la gravitation relativiste)

Image Relativite : Einstein

Voir L'équation d'Einstein

Equation de Poisson

Image Relativite : PoissonImage Relativite : Force de gravitation

L'équation de Poisson a été établie par le mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson.
En gravitation universelle Newtonienne, le potentiel gravitationnel (non relativiste) ψ est relié à la masse volumique ρ par l'équation de Poisson :

Δψ = 4 π G ρ

où Δ est l'opérateur Laplacien (voir Convention de dérivée partielle).
et G est la constante de gravitation universelle (G = 6,6726 10-11 kg-1.m3.s-2).
ψ est de dimension m2.s-2

Démonstration :

Si g est le champ de gravitation produit en un point O de masse m par une source sphérique S de masse M située à la distance r de O (voir Figure ci-dessus), on a les relations suivantes :
    F = m g
    g = -u G M / r2
    g = -grad(ψ)
    ψ = -G M / r
F = force de gravitation exercée en O
u = vecteur unitaire de la ligne SO
Le champ g est par ailleurs caractérisé par les deux lois :
    div(g) = -4 π G ρ
    rot(g) = -rot(grad(ψ)) = 0
de façon analogue au champ électrique E par rapport au potentiel électrique V en l'absence de champ magnétique B :
    div(E) = ρ_charge / ε0
    rot(E) = 0
La première loi (div(g) = -4 π G ρ) résulte du Théorème de Gauss associé au Théorème de divergence :
    Théorème de Gauss : pour toute surface S fermée, de volume V et de normale sortante n, on a : ∑S[ g.n dS ] = -4 π G M = ∑V[ -4 π G ρ dV ]
    Théorème de divergence : ∑S[ g.n dS ] = ∑V[ div(g) dV ]
D'où le résultat (équation de Poisson) :
    4 π G ρ = -div(g) = -div(-grad(ψ)) = Δψ

Equations de Friedmann

Image Relativite : Friedmann

Voir Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Equations de Maxwell

Image Relativite : MaxwellImage Relativite : Lorenz

Electromagnétisme non relativiste :

Toute particule de charge q et de vitesse v, soumise à un champ électrique E et à un champ magnétique B, subit la force de Lorentz F_LORENTZ = q (E + v x B)

Les équations de James Clerk Maxwell précisent alors l'évolution des champs électromagnétiques E et B. Dans le vide en présence de sources (charges électriques ponctuelles et/ou leurs courants électriques), ces champs s'écrivent :

(R1) div(E) = ρ/ε0
(R2) rot(E) = -dB/dt
(R3) div(B) = 0
(R4) rot(B / μ0) = J + ε0 dE/dt

Les deux densités ρ et J sont reliées par la relation de la conservation des charges (voir démonstration ci-dessous) :
    (R5) div(J) + dρ/dt = 0

E est le champ électrique (en m-1.V ou C-1.N ou kg.m.s-3.A-1)
B est le champ magnétique (en T ou kg.s-2.A-1)
J est la Densité de courant électrique (en m-2.A)
v est la vitesse de la particule (en m.s-1)
q est la charge électrique (en C ou s.A)
ρ est la Densité de charge électrique (en m-3.s.A)
μ0 est la perméabilité du vide : μ0 = 4 π 10-7 kg.m.A-2.s-2
ε0 est la permittivité diélectrique dans le vide telle que :
(R0) ε0 = 1 / (μ0 c2)
c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 2,99792458 108 m.s-1)
Les opérateurs utilisés sont les suivants :
    v1.v2 et v1 x v2 : Produit scalaire et Produit vectoriel de deux vecteurs quelconques v1 et v2.
    div(v) et rot(v) : divergence et rotationnel du vecteur quelconque v (voir Convention de dérivée partielle).
    Δ : opérateur Laplacien (voir Convention de dérivée partielle).
    ◊ : opérateur d'Alembertien (voir Convention de dérivée partielle).

Electromagnétisme relativiste :

En relativité Restreinte (Métrique de Minkowski), on démontre que (cf [HER, Etude, pp. 24, 25][GOU, Relativité Restreinte, pp 585, 507]) :
Les deux relations (R2) et (R3) sont équivalentes à la relation tensorielle suivante :
(RR1) Fkl,m + Flm,k + Fmk,l = 0
Les deux relations (R1) et (R4) sont équivalentes à la relation tensorielle suivante :
(RR2) Fkl,l = jk0
avec :
Fij = Tenseur électromagnétique
j = Quadri-courant électrique

En relativité Générale, il suffit de remplacer les Dérivées partielles par des Dérivées covariantes pour étendre la validité de ces relations à la Relativité générale, ce qui donne (cf [BARRAU, Relativité générale, p.64][HER, Etude, pp. 24, 25][GOU, Relativité Restreinte, pp 585, 507]) :
(RG1) Fkl;m + Flm;k + Fmk;l = 0
(RG2) Fkl;l = (-g)-1/2 ((-g)1/2 Fkl),l = jk0
avec :
g = Déterminant de la matrice gij associée au Tenseur métrique g


Potentiels électrique et magnétique :
A partir des relations (R2) et (R3), on définit le Potentiel électrique V et le Potentiel magnétique A par les relations suivantes (voir démonstration ci-dessous) :
    (R6) rot(A) = B
    (R7) -grad(V) = E + d/dt(A)
Si A vérifie la relation (R6), alors tout potentiel A' = A + grad(Ψ) vérifie également (R6). Le potentiel magnétique A est donc déterminé au gradient d'un champ scalaire Ψ près.
De même, si deux potentiels électriques V et V' vérifient la relation (R7), alors on peut écrire :
-grad(V' - V) = d/dt(A' - A)
On en déduit :
grad(V' - V + d/dt(Ψ)) = 0
V' = V - d/dt(Ψ) + f(t)
Le potentiel électrique V est donc déterminé à une fonction du temps f(t) près.

Condition de jauge de Lorenz :
En reportant les relations (R6) et (R7) dans les relations (R1) et (R4), on trouve :
(Δ - c-2 d2/dt2)(V) = -ρ/ε0 - d/dt(C)
(Δ - c-2 d2/dt2)(A) = -μ0 J + grad(C)
C = div(A) + c-2 d/dt(V)
Le potentiel A étant déterminé au gradient d'un champ scalaire Ψ près, on peut poser arbitrairement :
    (R8) C = 0
Cette relation est appelée condition de jauge de Lorenz (du physicien danois Ludvig Valentin Lorenz, à ne pas confondre avec le physicien hollandais Hendrik A. Lorentz), ce qui donne finalement :
    (R9) ◊(V) = -ρ/ε0
    (R10) ◊(A) = -μ0 J
Les trois relations (R8), (R9) et (R10) constituent un groupe d'équations qui contiennent les mêmes informations que les équations de Maxwell.
Ces relations sont invariantes par Transformation de Lorentz-Poincaré (voir démonstration ci-dessous). Il en est donc de même pour les équations de Maxwell.

Résolution des équations :
Dans le vide et sans aucune source (ρ = 0 et J = 0), les relations (R9) et (R10) montrent que le champ électromagnétique obéit à deux équations de d'Alembert appelées équations d'onde.
Dans le cas général d'une distribution de sources P localisée dans un domaine D porteur de charges et de courants électriques, ou dont la densité décroît suffisamment rapidement avec la distance, les solutions des équations (R9) et (R10), avec les conditions supplémentaires V(∞) = 0 et A(∞) = 0, sont les suivantes :
    (R11) V(M, t) = ∑D[ (1/ε0) (4 π/||PM||) ρ(P, t - ||PM||/c) dτ ]
    (R12) A(M, t) = ∑D[ μ0 (4 π/||PM||) J(P, t - ||PM||/c) dτ ]
Ces solutions sont appelées potentiels retardés car les valeurs des potentiels en un point M à un instant t dépendent de celles des sources en tous les points P à l'instant antérieur (t - ||PM||/c).

Démonstrations :

Démonstration de la relation de la conservation des charges :

En prenant la divergence de la relation (R4), on obtient :
0 = div(J) + ε0 div(dE/dt) = div(J) + ε0 d/dt(div(E))
En reportant la relation (R1) dans cette relation, on trouve :
(R5) div(J) + dρ/dt = 0

Démonstration des potentiels électrique et magnétique :

La relation (R3) permet de poser :
(R6) rot(A) = B
A est un potentiel magnétique (vecteur non unique).
En reportant cette relation dans (R2), on trouve :
rot(E + d/dt(A)) = 0
Il existe donc un potentiel électrique V (scalaire non unique) tel que :
(R7) -grad(V) = E + d/dt(A)

Démonstration de l'invariance des équations de Maxwell par la Transformation de Lorentz-Poincaré :

On se place dans le cas simplifié où l'axe x' du référentiel R' est parallèle à l'axe x du référentiel R (voir Transformation de Lorentz-Poincaré).
Les relations (L1) et (L2) donnent par dérivation partielle :
    d/dx = (d/dx')(dx'/dx) + (d/dt')(dt'/dx) = γ ((d/dx') - (d/dt') β c-1)
    d/dy = (d/dy')
    d/dz = (d/dz')
    d/dt = (d/dx')(dx'/dt) + (d/dt')(dt'/dt) = γ ((d/dt') - (d/dx') β c)
Les potentiels A et V dérivant du Quadri-potentiel électromagnétique A*, les relations (L1) à (L4) induisent :
    A'x = γ (Ax - β c-1 V)
    A'y = Ay
    A'z = Az
    V' = γ (V - Ax β c)
Les densités J et ρ dérivant du Quadri-courant électrique j, les relations (L1) à (L4) induisent :
    J'x = γ (Jx - β c ρ)
    J'y = Jy
    J'z = Jz
    ρ' = γ (ρ - Jx β c-1)
Le d'Alembertien ◊ étant invariant par Transformation de Lorentz-Poincaré (voir Convention de dérivée partielle), on peut écrire :
    ◊' = ◊
En reportant toutes ces expressions dans les relations (R8), (R9) et (R10), on trouve :
Condition de jauge de Lorenz (R8) : :
0 = div(A) + c-2 d/dt(V) = d/dx(Ax) + d/dy(Ay) + d/dz(Az) + c-2 d/dt(V) = γ ((d/dx') - (d/dt') β c-1) Ax + d/dy'(A'y) + d/dz'(A'z) + c-2 γ ((d/dt') - (d/dx') β c)(V) = d/dx'(A'x) + c-2 d/dt'(V') + d/dy'(A'y) + d/dz'(A'z) = div(A') + c-2 d/dt' (V')
La relation (R8) est donc invariante.
Potentiel électrique (R9) :
0 = ◊'(V') + ρ'/ε0 = γ ◊(V - Ax β c) + γ (ρ - Jx β c-1)/ε0 = - γ β c ( ◊(Ax) + Jx c-20 ) + γ ( ◊(V) + ρ/ε0 )
Compte tenu des relations (R0) et (R10), on trouve :
0 = ◊'(V') + ρ'/ε0 = ◊(V) + ρ/ε0
La relation (R9) est donc invariante.
Potentiel magnétique (R10) :
0 = ◊'(A'y) + μ0 J'y = ◊(Ay) + μ0 Jy
0 = ◊'(A'z) + μ0 J'z = ◊(Az) + μ0 Jz
0 = ◊'(A'x) + μ0 J'x = γ ◊(Ax - β c-1 V) + μ0 γ (Jx - β c ρ) = γ ( ◊(Ax) + μ0 Jx ) - γ β c-1 ( ◊(V) + μ0 c2 ρ )
Compte tenu des relations (R0) et (R9), on trouve :
0 = ◊'(A'x) + μ0 J'x = ◊(Ax) + μ0 Jx
La relation (R10) est donc invariante.

Les équations de Maxwell qui dérivent de (R8), (R9) et (R10) sont donc invariantes par Transformation de Lorentz-Poincaré.

Espace-temps

Image Relativite : Coordonnees spheriques

L'espace-temps est un espace à quatre dimensions où le temps n'est plus une grandeur séparée, indépendante de l'espace, mais une variable jouant le même rôle que les variables spatiales. La notion de Simultanéité n'est plus universelle.

Définition [GOU, Relativité Restreinte, p.24] :
L'espace-temps (appelé espace-temps de Minkowski) est défini par l'ensemble des quatre objets mathématiques suivants :
- Espace affine réel de dimension 4, associé à un espace vectoriel E orienté (selon que la base est directe ou indirecte)
- Produit scalaire de Signature (-, +, +, +), associé au Tenseur métrique g
- Cône de lumière avec ses deux flèches du temps (nappe du passé et nappe du futur)
- Tenseur de Levi-Civita Ε associé à la métrique g

Quadri-vecteur et coordonnées :
Dans cet espace-temps d'origine O fixée, un point ou événement x(x, y, z, t) est repéré par un vecteur x à quatre dimensions appelé quadri-vecteur ou 4-vecteur dont les composantes sont notées :

- En coordonnées cartésiennes : x0 = ct ; x1 = x ; x2 = y ; x3 = z
- En coordonnées sphériques (r > 0, colatitude θ = [0, π], longitude φ = [0, 2 π]) : x0 = ct ; x1 = r ; x2 = θ ; x3 = φ

Les coordonnées sphériques sont définies à partir des coordonnées cartésiennes selon les relations suivantes (voir Figure ci-dessus) [GOU, Relativité Générale, p.20] :

x = r sin[θ] cos[φ]
y = r sin[θ] sin[φ]
z = r cos[θ]

D'un point de vue géométrique, r donne l'aire (A = 4 π r2) des sphères d'invariance liées à la symétrie sphérique (sphères avec t = constante et r = constante). La coordonnée r est parfois appelée rayon aréolaire [GOU, Relativité Générale, p.59].

Sens physique :
Les coordonnées ct, x, y, z, r, θ et φ n'ont pas de sens physique (mesurable directement) [GOU, Relativité Générale, p.59] [GOU, Relativité Restreinte, p.430] [EIS Lumière, p.7]. Elles ne sont qu'un moyen formel d'étiqueter les points de l'espace-temps.
Seules les conclusions, accessibles par l'élimination des coordonnées, peuvent prétendre à une signification objective.
Seul le Temps propre a un sens physique en Relativité Restreinte et Générale, et les distances se mesurent en temps propre sur des trajectoires Géodésiques [EIS Lumière, pp 7-8].

Espace-temps plat :
L'espace-temps n'est plat (Tenseur de courbure identiquement nul) que s'il s'agit de l'espace-temps de Minkowski [GOU, Relativité générale, p.200].

Espace local de repos de l'observateur

Image Relativite : Referentiel local

Soit un Observateur O de Ligne d'univers L et de Quadri-vitesse u (voir Figure ci-dessus).
Son espace local de repos est l'hyperplan vectoriel Eu orthogonal à u.

Facteur de Lorentz

Image Relativite : Energie et impulsion d une particule mesuree par un observateur


Soit un Observateur O de Ligne d'univers L0 et de Quadri-vitesse u0 (voir Figure ci-dessus).
Soit une particule M de Ligne d'univers L et de Quadri-vitesse u.
On suppose que L est située au voisinage de L0, au sens où L peut être décrite dans le Référentiel local de O, ce qui signifie que la distance spatiale entre L0 et L est toujours bien inférieure à ||a0||-1, où a0 est la Quadri-accélération de O.
Soit un incrément infinitésimal dτ0 du Temps propre τ0 de O et dτ le Temps propre de la particule écoulé lorsqu'elle passe de M(τ0) à M(τ0 + dτ0) le long de sa ligne d'univers.
Le Facteur de Lorentz γ de la particule M par rapport à l'Observateur O est défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.99 à 109] :

dτ0 = γ dτ


On démontre alors les relations suivantes :

γ = -u0.u / A = ( A2 - c-2 B.B )-1/2
u = γ ( A u0 + c-1 B )
A = 1 + a0.OM
B = v + ω xu0 OM


ω est la Quadri-rotation de l'Observateur O.
v est la vitesse du point M relative à l'Observateur O dans son Espace local de repos Eu0.
"xu0" est l'opérateur Produit vectoriel entre deux vecteurs quelconques de Eu0, ce qui s'écrit : ω xu0 OM = Ε(u0, ω, OM, .)
où :
Ε est le Tenseur de Levi-Civita
Ε(u0, ω, OM, .) désigne le vecteur qui représente la Forme linéaire Ε(u0, ω, OM, z) pour le Produit scalaire g.

Lorsque L croise L0 au temps propre τ0 (OM = 0) ou lorsque O est un Observateur inertiel (a0 = ω = 0), ces relations se simplifient en :

γ = -u0.u = ( 1 - c-2 v.v )-1/2
u = γ ( u0 + c-1 v )


Lorsque L croise L0 au temps propre τ0 (OM = 0) ou lorsque la Quadri-accélération a0 de O est nulle (en particulier si O est un Observateur inertiel (a0 = ω = 0)), alors on démontre que : γ ≥ 1. Etant donné la définition de γ comme rapport de deux durées propres, cette propriété est appelée Dilatation des durées.

Forme linéaire

Image Relativite : FrechetImage Relativite : Riesz

Figures ci-dessus de gauche à droite : René Maurice Fréchet et Frigyes Riesz

Toute forme linéaire ω est une application qui, à tout vecteur u, fait correspondre un nombre ω(u), et ceci de manière linéaire [GOU, Relativité Restreinte, p.21] :

Pour tout scalaire λ et tous vecteurs u et v : ω(λ u + v) = λ ω(u) + ω(v)

ω(u) est parfois noté <ω, u> avec la notation bra-ket comme en mécanique quantique.

Exemples : si a et b sont des vecteurs d'un espace vectoriel E, les applications linéaires qui, au vecteur u, font correspondre respectivement les scalaires u.a et det(u, a, b) sont toutes deux des formes linéaires.

Propriétés :
- Il existe un unique vecteur w qui représente la Forme linéaire ω de l'espace Dual (E*) pour le Produit scalaire.
- Le vecteur w vérifie la relation : w.z = ω(z) pour tout vecteur z
- Dans toute base {ei} de E, ses composantes Covariantes s'écrivent : wi = w.ei = ω(ei) et ses composantes contravariantes s'écrivent : wi = gij wj = gij ω(ej) = ω(gij ej) = ω(ei)
- Notation [GOU, Relativité Restreinte, p.87, 538] : Le vecteur w se note parfois : w = ω(.)

Démonstration :

Soit E un espace vectoriel muni de son Produit scalaire et ω une forme linéaire continue sur E.
Alors il existe un unique vecteur w de E tel que l'on ait la relation : w.z = ω(z) pour tout vecteur z de E (théorème de représentation de Fréchet-Riesz).

Genre d'un vecteur

Un vecteur quelconque v de l'Espace-temps est dit :
- du Genre temps lorsque le Produit scalaire v.v < 0. C'est le cas du vecteur tangent à la trajectoire d'une particule de masse non nulle. Deux événements de l'Espace-temps peuvent être reliés par une information allant à une vitesse inférieure à celle de la lumière.
- du Genre lumière (ou vecteur lumière ou vecteur isotrope) lorsque le Produit scalaire v.v = 0 avec v0. C'est le cas du vecteur tangent à la trajectoire d'une particule de masse nulle (photon par exemple). Deux événements de l'Espace-temps peuvent être reliés par une information allant à la vitesse de la lumière.
- du Genre espace lorsque le Produit scalaire v.v > 0. C'est le cas du vecteur ni Genre temps ni Genre lumière. Deux événements de l'Espace-temps ne peuvent pas être reliés par une information allant à la vitesse de la lumière.

Par définition, les vecteurs du Genre temps, lumière et espace sont situés respectivement à l'intérieur, sur la surface et à l'extérieur du Cône de lumière.

Géodésique

Image Relativite : Geodesiques

Pour une Métrique relativiste donnée, une géodésique est la courbe (ou trajectoire) de plus courte distance entre deux points donnés.
Les géodésiques décrivent donc le mouvement des particules libres (systèmes matériels ou photons), c'est-à-dire lorsqu'elles ne sont pas soumises à une force externe autre que la gravitation dans le cadre de la Relativité Générale.
John Archibald Wheeler, spécialiste américain de la Relativité Générale, dit : "La matière dit à l'espace-temps de se courber et l'espace-temps dit à la matière comment se déplacer".

Si l'on choisit de paramétrer la trajectoire par le Temps propre τ satisfaisant à : ds2 = -c22, les équations tensorielles des géodésiques s'écrivent comme suit [GOU, Relativité Générale, p.48] :

(d2xi / dτ2) + Γilk (dxk/dτ) (dxl/dτ) = 0
où Γijk sont les symboles de Christoffel.

Si le Tenseur métrique g est connu (et donc Γ), cette équation constitue un système de 4 équations différentielles du second ordre pour les 4 fonctions xi. D'après le théorème de Cauchy, ce système admet une solution unique si on se fixe les conditions initiales suivantes :
    xi(0) = quatre constantes arbitraires
    (dxi/dτ)(0) = ui0
    ui0 étant quatre constantes vérifiant : gij ui0 uj0 = -c2

En Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski) avec coordonnées cartésiennes, les coefficients gij sont tous constants, ce qui annule tous les symboles de Christoffel. Les équations des géodésiques se réduisent alors à : d2xi / dτ2 = 0 dont les solutions sont les lignes droites ordinaires : xi(τ) = ai(τ) τ + bi

Géodésique d'un corps matériel

Image Relativite : Trajectoire d'un corps matériel


Trajectoire :
La trajectoire d'un corps matériel dans un champ gravitationnel à symétrie sphérique (Métrique de Schwarzschild) est une Géodésique de Genre temps [GOU, Relativité Générale, p.71].
On suppose que la masse m du corps matériel est petite devant la masse M du corps central de la métrique de Schwarzschild et que l'Observateur est placé dans le plan équatorial z = 0 du corps central (θ = π/2, voir Figure dans Espace-temps).
La trajectoire du corps matériel est plane et donnée par l'équation différentielle suivante [GOU, Relativité Générale, pp80, 74, 72, 63, 64] :

dφ/dr = ±(1/r)2 (l/c) ( (ε/c2)2 - (1 + (1/r)2(l/c)2) (1 - r*/r) )-1/2

avec :
r* = rayon de Schwarzschild (r* = 2 G M c-2)
M = masse du corps central
ε (en m2.s-2) = c2 (1 - r*/r) dt/dτ = -c2 ut.u = -c2 g00 u0
l (en m2.s-1) = r2 sin2[θ] dφ/dτ = c .u = c g33 u3
lcrit = 31/2 r* c
u = Quadri-vitesse du corps matériel
ut et = vecteurs de la Base naturelle associés respectivement à la stationnarité et à la symétrie azimuthale de la métrique
τ = Temps propre du corps matériel.

A noter que les deux quantités ε et l sont constantes le long de la Géodésique.
En Limite Newtonienne (lorsque le corps matériel est infiniment éloigné du corps central), on peut interpréter ε et l comme suit :
    ε = c2 + E0/m = énergie par unité de masse du corps matériel, mesurée par un Observateur statique.
    l = moment cinétique (par rapport à l'axe z) par unité de masse du corps matériel, mesuré par un Observateur statique.
    E0 = énergie mécanique du corps matériel (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle gravitationnelle).

Selon les valeurs couplées de l et ε, la trajectoire du corps matériel est alors la suivante [DEV, Un peu de physique, Trajectoire d'une particule] :
Dans le cas où : |l| < lcrit, le corps matériel est attiré irrémédiablement par le corps central.
Dans le cas où : |l| > lcrit, le corps matériel évite le corps central en continuant sa course ou, au contraire, se met en orbite autour.
Dans le cas d'une orbite, la trajectoire peut être un cercle parfait ou une quasi-ellipse avec avance du périastre (voir Figure ci-dessus). A la Limite Newtonienne, la trajectoire est une ellipse stable qui vérifie les lois de Kepler.

Démonstration de l'ellipse stable :
La limite Newtonienne consiste à faire : E0/m << c2 et r*/r << 1.
En posant u = 1/r, l'équation de la trajectoire devient :
dφ/dr = ± l ( (2 E0/m + r* c2 u - l2u2 )-1/2
qui s'intègre en : u = (1 + e cos[φ])/p
avec :
p = l2/(G M)
e = (1 + 2 (E0/m) l2/(G M)2)1/2
On reconnaît l'équation polaire de l'ellipse keplerienne de paramètre p et d'excentricité e


Périaste :
Le périastre est le point de la trajectoire la plus proche du corps central (voir Figure ci-dessus).
L'avance δφper du périastre (au premier ordre en r*/r) est la suivante [GOU, Relativité Générale, p.82] :

δφper = 3 π r* / ( a (1 - e2) )

avec :
a = demi-grand axe de l'ellipse
e = excentricité de l'ellipse

Dans le cas de l'avance du périastre autour du Soleil (périhélie) de la planète Mercure (avec M_Soleil = 1,9891 1030 kg, a_Mercure = 5,79 1010 m, e_Mercure = 0,206), on trouve : δφper = 5,0 10-7rad. La période orbitale de Mercure étant de 88 jours, l'effet cumulé au bout d'un siècle est : Δφper = 43"
Ce résultat a été donné par Einstein dès la publication de sa théorie de la Relativité Générale en 1915 [EIN Die_Grundlage].

Géodésique d'un photon

Image Relativite : Deviation des rayons lumineux - Figure 1Image Relativite : Deviation des rayons lumineux - Figure 2Image Relativite : Deviation des rayons lumineux - Figure 3Image Relativite : Deviation des rayons lumineux - Figure 4

Figures ci-dessus de gauche à droite : Figure 1 = Déviation des rayons lumineux pour b grand ; Figures 2 à 4 issues de [DEV Un peu de Physique - Trajectoire d'un rayon lumineux] = Déviation des rayons lumineux selon la valeur de b


Trajectoire :
La trajectoire d'un photon dans un champ gravitationnel à symétrie sphérique (Métrique de Schwarzschild) est une Géodésique de Genre lumière [GOU, Relativité Générale, p.82].
On suppose que l'Observateur est placé dans le plan équatorial z = 0 du corps central de la métrique (colatitude θ = π/2, voir Figure dans Espace-temps).
La trajectoire du photon est plane et donnée par l'équation différentielle suivante [GOU, Relativité Générale, p.85, 86] :

dφ/dr = ±(1/r)2 ( (1/b)2 - (1/r)2 (1 - r*/r) )-1/2

avec :
r* = rayon de Schwarzschild (r* = 2 G M c-2)
M = masse du corps central
b = paramètre d'impact pour les photons arrivant depuis l'infini (voir Figure 1 ci-dessus)
bcrit = (3/2) 31/2 r*

Dans le cas où : b > bcrit, les photons en provenance de l'infini vont s'approcher du corps central et repartir vers l'infini. La trajectoire ressemble à une hyperbole pour les grandes valeurs de b (voir Figure 1 ci-dessus) et peut faire plusieurs fois le tour du corps central avant de repartir pour les valeurs de b proches de bcrit (voir Figure 2 ci-dessus).
Dans le cas où : b ≤ bcrit, les photons sont piégés par le corps central et un Observateur distant ne pourra pas les recevoir (voir Figures 3 et 4 ci-dessus).

Cette équation différentielle s'intègre sous la forme suivante, qui se résoud sous forme d'une intégrale elliptique [DEV Un peu de physique - Trajectoire d'un rayon lumineux].

φ = (r*)-1/2 Integrale_de_0_à_u[du / F(u)1/2]
u = 1/r
F(u) = u3 - (r*)-1 u2 + (r*)-1 b-2


Périaste :
Le périastre est le point de la trajectoire la plus proche du corps central (voir Figure 1 ci-dessus).
Son rayon rper est donné par l'équation suivante [GOU, Relativité Générale, p.86] :

P(rper) = rper3 + 3 p rper + 2 q = 0
p = -(1/3) b2
q = (1/2) r* b2

Cette équation du troisième degré se résoud comme suit :

- Pour b ≥ bcrit : rper = (2 / 31/2) b cos[(π - α)/3] avec : α = cos-1[bcrit / b].
    A noter que pour b >> bcrit, on a : α = π/2 et on retrouve : rper = b correspondant à aucune déviation du photon loin du corps central.
- Pour b < bcrit : il n'y a pas de périaste vérifiant la relation : dr/dφ = 0

Démonstration :
Soit Q = p3 + q2 = (1 / 27) b4 (bcrit2 - b2)
L'étude de la fonction P(rper) montre que :
- Pour b > bcrit : il y a trois racines réelles dont une négative. La plus grande racine positive correspond au périaste rper qui est atteint continuement depuis un photon arrivant de l'infini. Compte tenu des conditions particulières : p < 0 et Q < 0, l'équation du troisième degré se résoud classiquement sous forme trigonométrique [CHO Mathématiques] et donne pour plus grande racine : rper = 2 (-p)1/2 cos[(π - α)/3] avec α = cos-1[q / (-p)3/2]. Voir Figure 2 ci-dessus.
- Pour b = bcrit : il y a une racine double positive (-q/p) correspondant au périaste rper et une racine simple négative (2 q/p). La trajectoire tangente le cercle de rayon égal à bcrit / 31/2. Voir Figure 3 ci-dessus.
- Pour b < bcrit : il y a une seule racine réelle qui est négative. Il n'y a donc pas de périaste rper vérifiant la relation : dr/dφ = 0. La trajectoire converge vers le corps central. Voir Figure 4 ci-dessus.


Déviation :
Dans le cas : b >> bcrit et au premier ordre en r*/b, la déviation δφ du rayon lumineux par rapport à un trajet en ligne droite (voir Figure 1 ci-dessus) est alors la suivante [GOU, Relativité Générale, p.86, 87] :

δφ = 2 (r*/b)

Dans le cas d'une trajectoire rasant la surface du Soleil (b = R_Soleil = 6,96342 108 m, avec M_Soleil = 1,9891 1030 kg), on trouve : r* = 3,0 103 m et δφ = 1,75"
Cette déviation a été mise en évidence par Arthur Eddington et son équipe, en mesurant la position des étoiles au voisinage du disque solaire lors de l'éclipse de 1919. C'est cet événement qui a rendu Einstein célèbre auprès du grand public.
La déviation des rayons lumineux est à l'origine du phénomène de Mirage gravitationnel.

Rayon apparent :
Pour un Observateur situé à l'infini, le rayon apparent Ra d'une étoile de rayon R et celui d'un Trou noir de rayon r* (considéré comme délimitant sa "surface") valent alors [GOU, Relativité Générale, p.299, 300] :

Pour une étoile : Ra = R (1 - (r*/R))-1/2
Pour un Trou noir : Ra = bcrit = (3/2) 31/2 r*


L'étoile apparaît donc toujours plus grosse qu'elle n'est (Ra > R).
Pour un Trou noir, les photons de faible paramètre d'impact (b < bcrit) sont piégés par le Trou noir et l'Observateur ne reçoit aucun photon. Il observe donc sur le fond du ciel un disque noir de rayon apparent presque trois fois plus gros qu'il n'est (Ra = 2,60 r*).

GPS

Image Relativite : Systeme GPS

Le Système GPS (Global Positionning System), connu initialement sour le nom NAVSTAR (NAVigation System by Timing And Ranging), est un système de positionnement dans les trois dimensions (latitude, longitude, altitude), très précis et à couverture mondiale, développé par le ministère de la défense des Etats-Unis (DoD).
Le GPS est relatif au système géodésique mondial WGS84 (voir Meteo - Annexe 2). Il fournit une précision de 10 m en horizontal et de 30 m en vertical pour le service public de base.
L'homologue européen du GPS est le système GALILEO, opérationnel depuis 2016.
GALILEO est relatif au système géodésique européen GTRF qui est compatible avec le WGS84 à moins de 1 m près. GALILEO fournit une précision de 4 m en horizontal et de 8 m en vertical pour le service public de base.

Détail du GPS (cf [GOU, Relativité Générale, p. 203-205]) :
Le GPS est basé sur un ensemble d'au moins 24 satellites répartis 4 par 4 sur 6 orbites circulaires de période orbitale T = 12 h et de rayon rsat = 26561 km = 4.16 RTerre (avec RTerre = 6378 km et MTerre = 5.97 1024 kg). Voir Figure ci-dessus.
Chaque satellite (i) transporte une horloge atomique au césium et émet un signal radio comprenant sa date d'émission (ti) et ses trois coordonnées spatiales ri (déduites des éphémérides liées à son orbite).
Tout Observateur sur Terre qui reçoit au même instant (t) les signaux d'au moins quatre satellites peut alors calculer sa position r. Si l'Espace-temps était plat (Métrique de Minkowski), l'observateur devrait simplement résoudre le système de 4 équations : ||r - ri|| = c (t - ti). Mais dans la réalité, il faut considérer impérativement trois types de décalage temporel :
1. Imprécision des horloges atomiques au césium :
Pour avoir une précision de un mètre sur la position r, il faut une précision sur les dates ti de l'ordre de 3 ns (dt = 1 m / c). La stabilité des horloges atomiques au césium est telle que : dt/t = 10-13. On atteint ainsi dt = 3 ns en t = 10 h environ. Pour atteindre la précision requise, les horloges sont alors réglées plusieurs fois par jour grâce à des signaux envoyés depuis le sol.
2. Dilatation des durées :
Cette dilatation des durées constitue l'Effet Doppler transverse (du second ordre). L'effet Doppler du premier ordre en v/c n'affecte que la fréquence du signal et non pas le contenu du message délivré (date et position de l'émetteur).
Les satellites étant en mouvement par rapport à l'observateur, leur vitesse orbitale vaut : v = (G MTerre / rsat)1/2 = 3.87 km.s-1. Il en résulte que : dt/t = γ - 1 = 8.3 10-11 (γ étant le Facteur de Lorentz). Si aucune correction n'est appliquée, on atteint dt = 3 ns en 30 secondes !
3. Effet Einstein :
Les satellites étant quatre fois plus élevés que l'observateur au sol, l'Effet Einstein s'applique donc avec un décalage : dt/t = G MTerre c-2 (1/RTerre - 1/rsat) = 5.3 10-10
Si aucune correction n'est appliquée, on atteint dt = 3 ns en 6 secondes, ce qui correspondrait à une erreur de positionnement de 14 km en un jour !
Pour tenir compte de ces deux décalages relativistes, la fréquence propre des horloges atomiques est corrigée avant l'émission du signal radio vers la Terre (voir [GOU, Relativité Générale, p. 205, 211]).

Histoire de l'univers


L'histoire de l'univers, depuis sa création il y a environ 13 milliards d'années, est résumée ci-dessous en la ramenant à une année.

Sources :
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Calendrier_cosmique_de_Carl_Sagan
- http://www.syti.net/EvolutionStory.html
- https://www.lemonde.fr/passeurdesciences/article/2017/05/31/l-histoire-de-l-univers-condensee-en-un-an_6001909_5470970.html
- https://www4.obs-mip.fr/wp-content-omp/uploads/sites/44/2017/04/histoire_temps_univers.pdf
- https://planet-terre.ens-lyon.fr/ressource/chronologie-terre.xml

Image d'un objet en mouvement

Image Relativite : Image d'un cube en mouvementImage Relativite : Image d'une sphere en mouvement

[GOU, Relativité Restreinte, p. 163-171]

- Pour un même Observateur O à un instant fixé τ de son Temps propre, il ne faut pas confondre la position (x, y, z) d'un objet M et son image perçue. Cette image ou photographie est générée par l'ensemble des photons qui arrivent de M en O. En particulier, la Contraction des longueurs concerne la position de l'objet et non son image.
- Pour un cube qui se déplace perpendiculairement à la ligne de visée d'un observateur Inertiel, ce dernier perçoit l'image d'un cube ayant subi une rotation d'un angle θ donné (voir Figure 1 ci-dessus). Il perçoit la face arrière du cube en plus de la face orientée vers lui. Cette rotation apparente n'est pas relativiste et résulte du temps fini de propagation de la lumière. La relativité intervient seulement au travers de la contraction de la face orientée vers l'observateur selon la Transformation de Lorentz-Poincaré.
- L'image d'une sphère en mouvement est une sphère qui paraît avoir subi une rotation et présente sa face opposée au mouvement (voir Figure 2 ci-dessus). Si l'on ne prenait en compte que le temps fini de propagation de la lumière dans une théorie non-relativiste (galiléenne), une sphère apparaîtrait allongée dans la direction du mouvement. C'est grâce à la Contraction des longueurs qu'elle apparaît exactement sphérique. Seule la taille angulaire du cercle peut changer.
- Certains mouvements en astrophysique peuvent être superluminiques, avec une vitesse apparente supérieure à c. Ces vitesses apparentes superluminiques sont engendrées par des mouvements subluminiques dans une direction proche de la ligne de visée. Ainsi le micro-quasar GRS 1915+105 a été observé en 1994 dans notre galaxie avec une vitesse apparente 1.25 c correspondant à une éjection de matière à la vitesse 0.92 c suivant un angle θ de 70°.

Ligne d'univers

Image Relativite : Cone de lumiere

La ligne d'univers (ou trajectoire spatio-temporelle) d'une particule matérielle est une courbe de l'Espace-temps (ou chemin séquentiel d'événements) correspondant à l'histoire de la particule.
Par définition, les lignes d'univers des particules matérielles sont toujours situées à l'intérieur du Cône de lumière en un point donné (voir Figure ci-dessus). Ce sont des courbes quelconques de Genre temps. Elles ne sont des Géodésiques que lorsque la particule matérielle n'est soumise à aucune autre interaction que celle induite par le champ gravitationnel.

Limite Newtonienne

Image Relativite : Newton

L'Equation de Poisson de la gravitation Newtonienne (Δψ = 4 π G ρ) est un cas particulier de l'Equation d'Einstein qui correspond à un espace-temps isotrope spatialement, contenant un fluide parfait non relativiste (p << ρ c2), dans un champ gravitationnel faible (|ψ| << c2), et sans Constante cosmologique (Λ = 0).
Cette limite Newtonienne fournit le coefficient de couplage gravitationnel (K = 8 π G c-4) utilisé dans l'Equation d'Einstein ainsi que le rayon gravitationnel de Schwarzschild (r* = 2 G M c-2) utilisé dans la Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild.

Démonstration complète (portant sur les dix équations d'Einstein) :

En champ gravitationnel faible, on peut toujours trouver un système de coordonnées (xi pour i = 0 à 3) = (ct, x, y, z) où les composantes de la métrique s'écrivent en prenant la convention de Signature (-, +, +, +) :
    (N1a) ds2 = -A2 c2dt2 + A-2 (dx2 + dy2 + dz2)
    (N1b) A = 1 + (ψ c-2)
où ψ désigne le potentiel gravitationnel Newtonien (ψ = -G M / r) satisfaisant : |ψ| << c2
On note o(B) la fonction "petit o de la quantité B au voisinage de 1" qui est la fonction négligeable de Landau.
Cette métrique s'écrit au premier ordre en ψ c-2 sous la forme équivalente suivante :
    (N2a) ds2 = -(1 + B + o(B2)) c2dt2 + (1 - B + o(B2)) (dx2 + dy2 + dz2)
    (N2b) B = 2 (ψ c-2) = -2 G M c-2 / r = B(r)
On notera les relations utiles suivantes :
    (N3a) r B,i = r dB/dxi = r (dB/dr)(dr/dxi) = -B (xi/r) = o(B)
    (N3b) r2 B,i,j = r2 d(B,i)/dxj = -xi r2 d(B r-2)/dxj = 3 B (xi/r) (xj/r) = o(B)
    (N3c) Théorème de Schwartz : B,i,j = B,j,i
    (N3d) B,i,0 = B,0 = 0
    (N3e) Laplacien : ΔB = ∑i[B,i,i]

Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont alors les suivants :
    (P1a) g00 = -(1 + B + o(B2)) = -1 + o(B)
    (P1b) g11 = g22 = g33 = (1 - B + o(B2)) = 1 + o(B)
    (P1c) gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    (P2a) g00 = 1/g00 = -1 + o(B)
    (P2b) g11 = g22 = g33 = 1/g11 = 1 + o(B)
    (P2c) gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
On notera la relation utile suivante :
    (P3) r gii,k = -r B,k + o(B2)

Les Symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = Γikj = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
Compte tenu de la relation (P2c), ces relations se simplifient en :
    (S1a) Γijk = Ki Gijk
    (S1b) Ki = (1/2) gii
    (S1c) Gijk = gik,j + gij,k - gjk,i
Quatre cas distincts sont à considérer selon les valeurs de i, j et k.
Compte tenu des relations (P3)(P2b)(P1c), ces cas s'écrivent au premier ordre en B (sans le terme o(B2)) :
Cas 1 où (i = 0) et (j = 0)
    Exemples : (ijk) = (000), (001), (010)
    Gijk = g0k,0 + g00,k - g0k,0 = g00,k = -B,k
    Γ00k = Γ0k0 = (-1/2) g00 B,k
Cas 2 où (i ≠ 0) et (j = i)
    Exemples : (ijk) = (101), (110), (111)
    Gijk = gik,i + gii,k - gik,i = gii,k = -B,k
    Γiik = Γiki = (-1/2) g11 B,k
Cas 3 où (i ≠ j) et (j = k)
    Exemples : (ijk) = (011), (100)
    Gijk = gik,k + gik,k - gkk,i = -gkk,i = B,i
    Γikk = (1/2) gii B,i = (1/2) g11 B,i
Cas 4 où (i, j et k tous différents)
    Exemples : (ijk) = (012), (102)
    Gijk = gik,j + gij,k - gjk,i = 0
    Γijk = 0
Compte tenu des relations (P2a)(P2b)(N3a)(N3b), on notera les relations utiles suivantes :
    (S2a) r Γijk = o(B)
    (S2b) r2 Γijk,l = o(B)
    (S2c) Γijk,0 = 0

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = (Γkij,k - Γkik,j) + (Γkkl Γlij - Γkjl Γlik)
Compte tenu des relations (S2a)(S2b), ces relations se simplifient en :
    (T1) r2 Rij = r2 Rji = r2kij,k - Γkik,j) + o(B2)
D'où l'expression de chaque Rij au premier ordre en B :

Composante R00 :
Compte tenu des relations (S2c)(N3e) et du Cas 3 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γk00,k = Γ000,0 + ∑k≠0k00,k] = 0 + ∑k≠0[(1/2) g11 B,k,k] = (1/2) g11 ΔB
S2 = Γk0k,0 = 0
R00 = S1 - S2 = (1/2) g11 ΔB = (1/2) ΔB

Composante Rii pour (i≠0) :
Compte tenu des relations (S2c)(N3e) et des Cas 2, 3 et 1 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γkii,k = Γiii,i + Γ0ii,0 + ∑k≠i, k≠0kii,k] = (-1/2) g11 B,i,i + 0 + ∑k≠i, k≠0[(1/2) g11 B,k,k] = (-1/2) g11 (2 B,i,i - ΔB)
S2 = Γkik,i = Γ0i0,i + ∑k≠0kik,i] = (-1/2) g00 B,i,i + ∑k≠0[(-1/2) g11 B,i,i] = (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,i
Rii pour (i≠0) = S1 - S2 = (1/2) (g00 + g11) B,i,i + (1/2) g11 ΔB = (1/2) ΔB = R00

Composante Rij pour (i≠j) :
Compte tenu des relations (S2c)(N3d)(N3c) et des Cas 4, 2 et 1 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γkij,k = S11 + S12
S11 = ∑k≠i, k≠jkij,k] = 0 + 0
S12 = Γiij,i + Γjij,j
    Cas A : Si (i=0) et (j≠0) : S12 = Γ00j,0 + Γj0j,j = 0 + (-1/2) g11 B,0,j = 0
    Cas B : Si (i≠0) et (j=0) : S12 = Γii0,i + Γ0i0,0 = (-1/2) g11 B,0,i + 0 = 0
    Cas C : Si (i≠0) et (j≠0) : S12 = Γiij,i + Γjij,j = (-1/2) g11 B,j,i + (-1/2) g11 B,i,j = (-1/2) 2 g11 B,i,j
S1 = S11 + S12 = S12
S2 = Γkik,j = S21 + S22
S21 = Γ0i0,j = (-1/2) g00 B,i,j
S22 = ∑k≠0kik,j] = 3 (-1/2) g11 B,i,j
S2 = S21 + S22 = (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,j
Rij pour (i≠j) = S1 - S2 =
    Cas A : 0 - (-1/2) (g00 + 3 g11) B,0,j = 0
    Cas B : 0 - (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,0 = 0
    Cas C : (1/2) (g00 + g11) B,i,j = 0
Rij pour (i≠j) = 0 quel que soit le Cas A, B ou C.

La Courbure scalaire s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
Compte tenu de la relation (P2c), R se simplifie en :
    (C1) R = gii Rii
D'où l'expression de R au premier ordre en B :
R = g00 R00 + ∑i≠0[gii Rii] = g00 R00 + g11 (3 R00) = 2 R00 = ΔB

Le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Sab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab
En remplaçant dans cette relation les expressions trouvées pour gij, gij, Rij et R, on obtient au premier ordre en B :
S00 = R00 - (1/2) g00 R + Λ g00 = ΔB - Λ
Sii pour (i≠0) = Rii - (1/2) g11 R + Λ g11 = Λ
Sij pour (i≠j) = Rij - (1/2) gij R + Λ gij = 0

Le Tenseur Energie-impulsion du Fluide Parfait de densité ρ et de pression p, s'obtient ensuite par la relation : Tij = (c2 ρ + p) ui uj + p gij
Dans le cas d'un espace-temps isotrope spatialement contenant un fluide parfait non relativiste (p << ρ c2), alors Tij s'écrit :
    T00 = ρ c2
    Les autres composantes Tij sont toutes nulles.

L'équation d'Einstein s'écrit alors par la relation : Sab = K Tab et donnent au premier ordre en B :
    ΔB - Λ = S00 = K T00 = K ρ c2
    Λ = Sii pour (i≠0) = K Tii = 0
    0 = Sij pour (i≠j) = K Tij = 0
Compte tenu de la relation (N2b), la première équation s'écrit :
    Δψ = (1/2) K ρ c4 + (1/2) Λ c2
Dans le cas où la Constante cosmologique est nulle (Λ = 0), les dix équations d'Einstein se réduisent alors à une seule équation (Δψ = (1/2) K ρ c4).
En choisissant un coefficient de couplage gravitationnel K égal à : K = 8 π G c-4, on retrouve alors l'Equation de Poisson de la gravitation Newtonienne (Δψ = 4 π G ρ).
En comparant le g00 de la métrique de Schwarzschild (g00 = -(1 - r*/r)) avec le g00 de la limite Newtonienne (g00 = -(1 + B)), on obtient le rayon gravitationnel de Schwarzschild : r* = 2 G M c-2

Loi de Hubble (ou Loi de Hubble-Lemaître)

Image Relativite : HubbleFigure Relativity : Friedmann Image Relativite : Loi de Hubble-Lemaitre

La loi de Hubble-Lemaître énonce que les galaxies s'éloignent les unes des autres à une vitesse v d'expansion approximativement proportionnelle à leur distance d :

v = H(t) d

où H(t) est le paramètre de Hubble utilisé notamment dans les Equations de Friedmann.
La vitesse v n'est pas une vitesse physique. Elle traduit seulement la dilatation de l'Espace-temps qui provoque un mouvement d'ensemble des galaxies de l'univers. Ainsi, la Terre "recule devant la lumière" parce que l'Espace-temps se dilate.
La valeur actuelle H(t) (appelée constante H0 de Hubble) vaut environ 70 (km/s)/Mpc, avec 1 pc = 1 parsec = 3,2616 années-lumière = 3,085677581 1016 m
Toute galaxie lointaine ayant même Temps propre que l'Observateur (appelé temps cosmique), il n'y a pas d'effet de temps relatif (Effet Doppler-Fizeau) sur sa période de rayonnement mais un simple effet de retard différentiel sur la période du rayonnement reçu.
A ce mouvement d'ensemble se superposent les mouvements propres acquis par les galaxies du fait de leurs interactions gravitationnelles avec leurs voisines.

Mécanique relativiste

La mécanique relativiste se rapporte à la mécanique compatible avec la Relativité Restreinte et la Relativité générale.
Comme en mécanique classique, le sujet peut être divisé en deux : la cinématique qui décrit le mouvement en termes de Quadri-position, Quadri-vitesse, Quadri-rotation et Quadri-accélération, et la dynamique qui décrit la cause du mouvement en termes de Quadri-impulsion, Moment cinétique, Quadri-force et Energie.

Par ailleurs, lorsqu'on passe d'un Observateur à un autre, certaines quantités sont transformées : longueurs (Transformation de Lorentz-Poincaré), vitesses [GOU, Relativité restreinte, p.141], accélérations [GOU, Relativité restreinte, p.151], fréquences (Effet Doppler), angles d'observations (Aberration) et images (Image).

Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (ou métrique FLRW)

Image Relativite : Lemaitre-FriedmannImage Relativite : RobertsonImage Relativite : Walker

Figures ci-dessus de gauche à droite : Alexander Alexandrowitsch Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker

La Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker est une Métrique relativiste correspondant à un espace-temps spatialement homogène et isotrope.
En coordonnées sphériques (r > 0, colatitude θ = [0, π], longitude φ = [0, 2 π]) (voir Figure dans Espace-temps), la métrique s'écrit comme suit, pour tout système de coordonnées (ct, r, θ, φ) et en prenant la convention de Signature (-, +, +, +) :

ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 (1 - k r2)-1 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )

où k est une constante appelée paramètre de courbure de l'espace qui peut être plate (k = 0), fermée (k = 1) ou ouverte (k = -1) ;
et a(t) une fonction de t uniquement, appelée facteur d'échelle ou facteur de courbure ou rayon de l'univers (a(t) > 0).
La coordonnée r est sans dimension et le rayon (a) a la dimension d'une longueur (en m).
Le cas k = 0 correspond à une platitude des sections spatiales et non de l'Espace-temps.

Les potentiels de gravitation gij sont alors les suivants :

g00 = -1 ; g11 = a(t)2 (1 - k r2)-1 ; g22 = a(t)2 r2 ; g33 = a(t)2 r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
avec a(t) = solution d'une équation différentielle (voir Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker) :

Le signe de d(a)/dt renseigne sur l'évolution de l'univers : positif si expansion, négatif si contraction et nul si statique.
Les coordonnées spatiales (xi) décrivent alors des hypersurfaces spatiales de type espace euclidien (pour k = 0), hypersphérique (pour k = 1) et hyperbolique (pour k = -1), dont la courbure spatiale k* est constante et vaut : k* = 6 k a(t)-2

Démonstration de la métrique ds2 [GOU, Relativité Générale, p.194] :

Un Espace-temps spatialement homogène et isotrope est équivalent à un espace maximalement symétrique de dimension 3 (ou encore à courbure k* constante spatialement) avec trois types possibles d'espaces maximalement symétriques selon la valeur de k* (non démontré ici) :

Si k* = 0, l'espace est l'espace R3 muni de la métrique euclidienne standard.
Sa métrique est la suivante :
    gij dxi dxj = dr2 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)

Si k* > 0, l'espace est l'hypersphère S3 qui est la partie de R4 définie par : x2 + y2 + z2 + w2 = 1
où (x, y, z, w) désigne un élément générique de R4.
Cette définition est la transposition à 3 dimensions de la définition de la sphère bidimensionnelle S2 dans R3.
Sa métrique est la suivante :
    gij dxi dxj = dΧ2 + sin2[Χ] (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
    avec Χ = [0, π]

Si k* < 0, l'espace est l'espace hyperbolique H3 qui est la nappe supérieure de l'hyperboloïde à deux nappes de dimension 3 défini dans R4 par : x2 + y2 + z2 - w2 = -1
Sa métrique est la suivante :
    gij dxi dxj = dρ2 + sinh2[ρ] (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
    avec ρ > 0

En posant r = sin[Χ] = sinh[ρ], ces trois métriques se mettent sous une forme commune :
    gij dxi dxj = dr2 (1 - k r2)-1 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
    avec k = 0 pour l'espace euclidien, k = 1 pour l'hypersphère et k = -1 pour l'espace hyperbolique.

Métrique de Minkowski

Image Relativite : Minkowski

La Métrique de Hermann Minkowski est une Métrique relativiste correspondant à l'Espace-temps plat de la Relativité Restreinte. Cette métrique est solution de l'Equation d'Einstein sous les conditions Λ = 0 et Tab = 0 (vu que le Tenseur de courbure est nul, donc également le Tenseur de Ricci Rab).

En coordonnées cartésiennes, la mérique s'écrit comme suit, pour tout système de coordonnées (ct, x, y, z) et en prenant la convention de Signature (-, +, +, +) :

ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2
correspondant aux potentiels de gravitation gij tels que :
g00 = -1 ; g11 = 1 ; g22 = 1 ; g33 = 1 ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3.

Cette métrique gij_MINK a les propriétés suivantes : gij = gji = gij = gji


En coordonnées sphériques (r > 0, colatitude θ = [0, π], longitude φ = [0, 2 π]) (voir Figure dans Espace-temps), la métrique s'écrit comme suit, pour tout système de coordonnées (ct, r, θ, φ) et en prenant la convention de Signature (-, +, +, +) :

ds2 = -c2dt2 + dr2 + r22 + r2 sin2[θ] dφ2
correspondant aux potentiels de gravitation gij tels que :
g00 = -1 ; g11 = 1 ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3.

Métrique de Schwarzschild

Image Relativite : Schwarzschild

La métrique de Karl Schwarzschild est une Métrique relativiste correspondant au champ gravitationnel statique et à symétrie centrale. C'est le cas du Soleil et de nombreux astres. Le corps central est à symétrie sphérique et sans être nécessairement statique (par exemple une étoile pulsante qui oscille radialement ou une étoile qui s'effondre en un Trou noir en maintenant sa symétrie sphérique). Le champ gravitationnel doit être par contre statique, même s'il ne l'est pas dans la zone où se trouve la matière. A noter que le champ gravitationnel est nécessairement statique en symétrie sphérique et dans le vide (théorème de Birkhoff).

En coordonnées sphériques (r > 0, colatitude θ = [0, π], longitude φ = [0, 2 π]) (voir Figure dans Espace-temps), la métrique s'écrit comme suit, pour tout système de coordonnées (ct, r, θ, φ) et en prenant la convention de Signature (-, +, +, +) :

ds2 = -e2 μ c2dt2 + e2 α dr2 + r22 + r2 sin2[θ] dφ2

où μ et α sont des fonctions uniquement de r.
Les potentiels de gravitation gij sont alors les suivants :

g00 = -e2 μ ; g11 = e2 α ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
avec (voir Résolution de l'équation d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild) :
g00 = -(1 - r*/r)
g11 = 1/(1 - r*/r)
où r* est le rayon de Schwarzschild.

Démonstration de la métrique ds2 [GOU, Relativité Générale, p.116] :

La symétrie centrale sphérique du champ permet d'écrire la métrique sous la forme suivante :
ds2 = -N2 c2dt2 + A2dr2 + B2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
où les composantes N, A et B sont des fonctions de r et de t.
La staticité du champ permet ensuite de supprimer la dépendance de t dans ces composantes.
Par ailleurs, on peut toujours choisir comme coordonnée r le rayon aréolaire des sphères d'invariance liées à la symétrie sphérique.
D'où les résultats :
N(r,t) = N(r) = eμ
A(r,t) = A(r) = eα
B(r,t) = B(r) = r

Métrique relativiste

Si (ds) est la distance (ou intervalle) entre deux événements infiniments voisins de l'Espace-temps, alors la métrique relativiste est le "carré" de cette distance et s'écrit :

ds2 = gij dxi dxj

Dans l'Espace-temps courbe de la Relativité Générale, cette métrique peut être négative, nulle ou positive, et s'écrit en coordonnées cartésiennes :
ds2 = g00 (c dt)2 + g01 (c dt) dx + g02 (c dt) dy + g03 (c dt) dz +
g10 dx (c dt) + g11 dx2 + g12 dx dy + g13 dx dz +
g20 dy (c dt) + g21 dy dx + g22 dy2 + g23 dy dz +
g30 dz (c dt) + g31 dz dx + g32 dz dy + g33 dz2
Les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.
A noter que la quantité ds2 est toujours négative pour une particule matérielle de masse non nulle, le vecteur tangent à sa Ligne d'Univers étant du Genre temps.

Mirage gravitationnel (ou lentille gravitationnelle)

Image Relativite : Lentille gravitationnelleImage Relativite : Mirage gravitationnel

La déviation des rayons lumineux est à l'origine du phénomène de mirage gravitationnel.
Ce phénomène peut prendre différents aspects en fonction de l'alignement de l'Observateur, de la masse qui déforme (galaxie par exemple) et de la source observée (quasar par exemple). On peut voir des anneaux parfaits (appelés Anneaux d'Einstein), des arcs de cercle ou simplement des images démultipliées de la source (voir Figures ci-dessus).
Non seulement ces lentilles gravitationnelles dévient mais amplifient la lumière déviée, ce qui fascine les astronomes.

Modèle cosmologique standard

Image F1 Relativite : Modeles selon equations de Friedmann

Le modèle cosmologique qui décrit le mieux à l'heure actuelle l'Histoire et le comportement de l'univers observable est le modèle standard de la cosmologie (ou modèle avec Big Bang ou modèle Λ-CDM signifiant "Λ Cold Dark Matter").
Ce modèle représente un univers ayant les propriétés suivantes (voir courbe C4 en Figure ci-dessus) :

1. Modèle avec Big Bang (tel que le facteur d'échelle a(t) tende vers 0 quand t tend vers 0).
2. Spatialement homogène et isotrope à grande échelle (donc aussi à courbure spatiale constante). Voir Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.
3. Rempli d'un fluide parfait de pression généralement nulle (gaz de galaxies correspondant à : w = p/(ρ c2) = 0) et de densité ρ composée de matière chaude (relativiste ou rayonnement) et matière froide (non relativiste).
4. Dont la courbure spatiale est nulle (k = 0).
5. Qui contiendrait, en plus de la matière ordinaire, de la matière Noire et de l'énergie Noire (donc nécessitant : Λ > 0).

Moment cinétique d'une particule mesuré par un observateur

Image Relativite : Energie et impulsion d une particule mesuree par un observateur

Le vecteur moment cinétique σC d'une particule M par rapport à un point C donné et mesuré par un Observateur O dans son Référentiel local à un instant τ est donné par la relation suivante (voir Figure ci-dessus) [GOU, Relativité Restreinte, p.322] :

σC = CM xu0 P


P est le Vecteur impulsion de la particule.
u0 et Eu0 sont la Quadri-vitesse de l'Observateur et son Espace local de repos.
"xu0" est l'opérateur Produit vectoriel entre deux vecteurs quelconques de Eu0, ce qui s'écrit : CM xu0 P = Ε(u0, CM, P, .)
où :
Ε est le Tenseur de Levi-Civita
Ε(u0, CM, P, .) désigne le vecteur qui représente la Forme linéaire Ε(u0, CM, P, z) pour le Produit scalaire g.

σC appartient à Eu0 et ses composantes sont de dimension kg.m2.s-1

Multiplicité des temps propres (ou Désynchronisation des horloges parfaites)

Image Relativite : Desynchronisation des horloges parfaites

La désynchronisation des horloges parfaites est la prédiction la plus extraordinaire et contre-intuitive de la Relativité Restreinte. La version la plus étonnante de cette prédiction est le Paradoxe des jumeaux.
Cet effet fut décrit pour la première fois par Einstein en 1905 sous la forme suivante : "Si au point A, il y a deux horloges synchronisées et si nous déplaçons l'une d'elles à une vitesse constante v selon une courbe fermée qui revient à A, le déplacement étant complété en t secondes, alors à son arrivée à A, cette dernière retardera de (1/2) t (v/c)2 secondes sur l'horloge immobile (en négligeant les approximations du quatrième ordre en v/c et supérieurs) [EIN Sur_l'électrodynamique, parag.4]".
Einstein indique toutefois que ce résultat est valable si "nous faisons l'ypothèse que le résultat obtenu pour une ligne polygonale est également vrai pour une ligne courbe".
Ainsi, deux horloges associées à des Lignes d'univers distinctes seront en général désynchronisées lorsqu'elles se croiseront. Plus précisément, deux horloges parfaites (c'est-à-dire ne se déréglant jamais) et idéalement synchronisées vont se décaler si on les sépare avant de les réunir à nouveau. Le nombre de secondes comptée diffèrera d'une horloge à l'autre, le temps cumulé dépendant de la trajectoire suivie par chaque horloge. Si le référentiel n'est pas Inertiel, le décalage correspondra à une avance ou à un retard.

Mais qu'en est-il de l'explication rationnelle de cet effet ? Les avis sont rares et partagés, notamment :
- Pierre Spagnou, auteur scientifique, enseignant à l'ISEP, explique : "L'effet est chrono-géométrique : ce ne sont pas les horloges qui se dérèglent mais les "longueurs" temporelles qui ne se conservent pas lors de nos déplacements, contrairement au cadre cinématique classique." [SPA Einstein_et_la_révolution, p.23]
- Henri Bergson, philosophe français, explique : "On nous dit que, si deux horloges identiques et synchrones sont au même endroit dans le système de référence, si l'on déplace l'une et si on la ramène près de l'autre au bout du temps t (temps du système), elle retardera sur l'autre horloge. Il faudrait en réalité dire que l'horloge mobile présente ce retard à l'instant précis où elle touche, mouvante encore, le système immobile, et où elle va y rentrer. Mais aussitôt rentrée, elle marque la même heure que l'autre..." [BER Durée, p.208].
A noter que nous n'avons pas trouvé à ce jour d'explication de cet effet qui soit intuitivement satisfaisante (comme l'est par exemple celle de la Dilatation des durées donnée par Poincaré [POI L'Etat, p.311]).

Noire (énergie)

L'énergie noire est une hypothétique force répulsive globale remplissant uniformément tout l'univers, qui tend à accélérer l'expansion de l'univers (donc nécessitant : Λ > 0).
Voir Modèle cosmologique standard

Noire (matière)

La matière noire est une hypothétique matière produisant un surplus de gravité dont les galaxies ont besoin pour ne pas se défaire durant leur rotation.
Voir Modèle cosmologique standard

Notations mathématiques

Les principales notations mathématiques utilisées dans cette page sont les suivantes :

Opérations élémentaires sur les tenseurs :
Synthèse des opérateurs
, d grad div rot Δ Δ ◊ : Convention de dérivée partielle
akm bm ck : Convention de sommation (dite "convention d'Einstein")
; : Dérivée covariante
Div : Divergence
* : Dual (espace et base)
. ||x|| : Produit scalaire et norme
: Produit tensoriel
x : Produit vectoriel

Symboles alphabétiques grecs :
Λ : Constante cosmologique
γ : Facteur de Lorentz
ω : Forme linéaire
η : Matrice de Minkowski
Γ : Symbole de Christoffel
δ : Symbole de Kronecker
ε : Symbole de Levi-Civita
ε0 : Permittivité diélectrique dans le vide

Symboles alphabétiques latins :
a : Rayon de l'univers
c : Vitesse de la lumière dans le vide
Ε : Tenseur de Levi-civita
Eu : Espace local de repos de l'observateur
F : Tenseur électromagnétique
g : Tenseur métrique
G : Constante de gravitation universelle
K : Coefficient de couplage gravitationnel
k : Paramètre de courbure de l'espace
O : Observateur
R : Tenseur de Ricci
R : Courbure scalaire
r* : Rayon gravitationnel
S : Tenseur d'Einstein
T : Tenseur Energie-impulsion

Observateur

Image Relativite : Referentiel local

Un observateur O est défini par la donnée d'une Ligne d'univers L et d'un Référentiel local (e0, e1, e2, e3) le long de L (voir Figure ci-dessus) [GOU, Relativité restreinte, p.80].

La notion d'observateur est la cause de bien des incompréhensions, notamment de la part des philosophes. L'observateur relativiste ne voit pas les phénomènes au sens habituel du mot 'voir'. Il recueille des mesures de position et de temps en différents points de son référentiel. Ceci présuppose que l'on a placé en chaque point du référentiel une horloge et que cet ensemble d'horloges est synchronisé.
Une observation faite par un observateur O consiste donc à recueillir, pour un événement M qui se passe dans ce référentiel, un ensemble de valeurs pour la position (les coordonnées x, y et z) et une pour le temps (t) [MAR Mécanique p.14].

Opérateurs élémentaires sur les tenseurs

Soient U, V et T des Tenseurs d'ordre quelconque et de valence quelconque portant sur les indices i,j,k,l...
En utilisant la Convention de sommation, on définit les opérations élémentaires suivantes sur ces Tenseurs :

- Somme (Tijk = Uijk + Vijk) de composantes : Tijk = Uijk + Vijk

- Produit par un scalaire s (Tijk = s Uijk) de composantes : Tijk = s Uijk

- Produit scalaire (T = Uij.Vkl) de composante : T = Uij Vij

- Produit tensoriel (Tijkl = Uij ⊗ Vkl) de composantes : Tijkl = Uij Vkl

- Dérivée covariante

- Divergence

- Elévation d'indice

- Abaissement d'indice

- Contraction des indices

- Changement de base

Attention : La dérivée partielle classique d'un Tenseur (exemple : Uij,k) n'est pas généralement un tenseur. Seule la Dérivée covariante l'est (exemple : Uij;k).

Paradoxe des jumeaux (ou paradoxe des horloges ou voyageur de Langevin)

Image Relativite : Paradoxe des jumeaux

Dans le paradoxe des jumeaux, l'un des jumeaux reste sur Terre tandis que son frère effectue un voyage spatial à une vitesse proche de la lumière puis revient sur Terre. Il faut alors considérer trois référentiels Inertiels : celui du jumeau "au repos", celui du jumeau voyageur lors de l'aller et celui du jumeau voyageur lors du retour. Il n'est plus contesté à ce jour que les horloges des deux référentiels successifs du jumeau voyageur indiquent au total une durée plus courte que celle du jumeau au repos (Multiplicité des temps propres) et le paradoxe n'en est plus un. Peu d'auteurs cependant produisent une démonstration de ce phénomène qui soit physiquement interprétable, avec des Quadri-accélérations non infinies aux points de rupture de la trajectoire spatio-temporelle du jumeau voyageur [GOU, Relativité Restreinte, p.41].
A noter que le Principe d'équivalence combiné à la Multiplicité des temps propres prédite par la Relativité Restreinte, conduit à prédire une multiplicité de temps propres là où il y a multiplicité des potentiels gravitationnels. Deux horloges parfaites placées en des lieux de potentiels gravitationnels différents n'enregistreront pas des temps cumulés identiques. On peut parler de "Paradoxe des jumeaux bis" : deux jumeaux vivant à des altitudes différentes n'enregistreront pas la même durée.

Mais qu'en est-il du vieillissement des deux jumeaux ? Peut-on dire que le jumeau voyageur revient sur Terre "plus jeune" que le jumeau sédentaire ? Les avis sont très partagés :
- Poincaré ne parle nulle part du temps biologique et affirme que "les propriétés du temps ne sont que celles des horloges".
- Einstein affirme que le temps physique mesuré par les horloges est le temps réellement vécu par les habitants liés à un référentiel donné.
- Thibault Damour, physicien de la Relativité, affirme que, même si le jumeau voyageur revient sur Terre plus jeune que le jumeau sédentaire, il n'en vivra pas plus longtemps pour autant. La meilleure image est celle de la cryogénie. Tout se passe comme si, au lieu d'envoyer un des jumeaux dans l'espace, on l'avait mis dans un bloc de glace puis sorti par la suite. Le temps propre du jumeau voyageur est effectivement plus court que celui du jumeau sédentaire, mais il n'acquiert pas un supplément de "temps biologique", par exemple le nombre de battements de coeur.
- La plupart des astrophysiciens affirment que parler de temps biologique n'a pas de sens scientifique.

Ce paradoxe montre que la Relativité permet le voyage vers le futur. Par contre, la Relativité Restreinte ne permet pas le voyage vers le passé, ce qui serait théoriquement possible en Relativité Générale en présence d'un champ gravitationnel [GOU, Relativité Restreinte, p.54].

Principe d'équivalence

Image Relativite : Principe d'equivalence

Le principe d'équivalence est un des principes fondamentaux de la Relativité Générale. Il généralise le principe Newtonien d'égalité entre masse grave (ou gravitationnelle) et masse inerte (ou inertielle) en affirmant qu'un champ de gravitation est localement équivalent à un champ d'accélération.
Il s'énonce comme suit [GOU, Relativité Restreinte, p.709] : Les mesures physiques effectuées par un Observateur Inertiel dans un champ de gravitation uniforme sont en tout point identiques aux mesures effectuées par un Observateur uniformément accéléré.

Produit scalaire et norme

Produit scalaire de deux vecteurs :

En utilisant la Convention de sommation, le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x et y s'écrit :

x.y = gij xi yj = xi yi = xi yi = gij xi yj

où les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.
Certains auteurs utilisent également les deux autres notations suivantes :
x.y = <x, y> = g(x, y)

Démonstration :
x.y = (xi ei).(yj ej) = (ei.ej) xi yi = gij xi yj

La norme ||x|| d'un vecteur x quelconque est la racine carrée de la valeur absolue du produit scalaire de x par lui-même :
||x|| = (|x.x|)1/2


Produit scalaire de deux Tenseurs U et V contravariants d'ordre 2 :

T = Uij.Vkl de composante : T = Uij Vij

Produit tensoriel

Le produit tensoriel de deux Tenseurs d'ordre m et n permet de former un Tenseur d'ordre (m + n) qui "regroupe" les deux Tenseurs.
Ainsi, le Tenseur résultant Tijkl du produit tensoriel Uij ⊗ Vkl a pour composantes : Tijkl = Uij Vkl
Le produit tensoriel est associatif (U ⊗ (V ⊗ W) = (U ⊗ V) ⊗ W) (cf [GOU, Relativité restreinte, p.473]), non-commutatif et distributif par rapport à l'addition Tensorielle (U ⊗ (V + W) = U ⊗ V + U ⊗ W).

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques v et w dans un espace vectoriel à n dimensions est un Tenseur T = v x w d'ordre n-2 dont les composantes sont les suivantes :

Ti1i2... in-2 = εi1i2... in-2jk vj wk

où εi...jk est le Symbole de Levi-Civita

Espace vectoriel E de dimension 3 :
Le produit vectoriel est un vecteur T de composantes :
En composantes covariantes : Ti = εijk vj wk
En composantes contravariantes : Ti = gil Tl = gil εljk vj wk
gij sont les composantes inverses du Tenseur métrique.

Espace vectoriel E de dimension 4 [GOU, Relativité Restreinte, p.87] :
Dans l'Espace local de repos de l'observateur Eu (voir Figure dans Référentiel local), le produit vectoriel (noté xu) entre deux vecteurs quelconques v et w de Eu est un vecteur qui s'écrit : v xu w = Ε(u, v, w, .)
où :
Ε est le Tenseur de Levi-Civita
Ε(u, v, w, .) désigne le vecteur qui représente la Forme linéaire Ε(u, v, w, z) pour le Produit scalaire g.

Quadri-accélération

La quadri-accélération ou 4-accélération d'un point quelconque x de l'Espace-temps est le Quadri-vecteur a qui mesure la variation du champ de Quadri-vitesses u le long de la trajectoire du point. Ce vecteur de dimension m-1 est défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.38] :

a = (1/c) du/dτ = ai ei

où τ est le Temps propre du point.
et ei sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel de dimension 4.

Propriétés :
a est orthogonal à u : a.u = 0
a est soit le vecteur nul soit un vecteur du Genre espace : a.a ≥ 0

Quadri-courant électrique

Image Relativite : Charge electrique mesuree par un observateur inertiel

Le quadri-courant électrique ou 4-courant électrique est le Quadri-vecteur j défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.580] :

Q = -∑R[ j.u0 dR ]


Q est la charge électrique totale d'une région tridimensionnelle R dans l'Espace local de repos Eu0 d'un Observateur inertiel O de Quadri-vitesse u0. Q représente donc le flux du champ vectoriel j à travers R (voir Figure ci-dessus).
j a la dimension d'une densité volumique de charge électrique (en m-3.A.s).

La décomposition orthogonale de j vis-à-vis de u0 s'écrit alors :

j = ρ u0 + c-1 J
avec u0.J = 0


ρ est la densité de charge électrique mesurée par O (en m-3.A.s).
J est la densité de courant électrique mesurée par O (en m-2.A).

Quadri-force

La quadri-force ou 4-force d'une particule matérielle est le Quadri-vecteur f défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.313] :

f = dp/dτ

p est la Quadri-impulsion de la particule et τ son Temps propre
Ce vecteur est de dimension N ou kg.m.s-2.

Propriétés :
f = d(m c u)/dτ = m c2 a + c (dm/dτ) u
f.u = -c (dm/dτ)

Quadri-impulsion

La quadri-impulsion ou 4-impulsion d'une particule matérielle simple (sans spin ni structure interne) est le Quadri-vecteur p défini par la relation suivante [GOU, Relativité Générale, p.37] :

p = m c u

où m est la masse au repos (ou masse propre) de la particule et u sa Quadri-vitesse
Ce vecteur est de dimension kg.m.s-1 (analogue à une quantité de mouvement).

Propriété :
p.p = -m2 c2

Quadri-position

Voir Espace-temps.

Quadri-potentiel électromagnétique

Image Relativite : Charge electrique mesuree par un observateur inertiel

Le quadri-potentiel électromagnétique ou 4-potentiel électromagnétique est le Quadri-vecteur A* défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.594] :

Fij = d(A*j)/d(xi) - d(A*i)/d(xj)
pour i et j pris entre 0 et 3


Fij est le Tenseur électromagnétique.
Eu0 est l'Espace local de repos d'un Observateur inertiel O de Quadri-vitesse u0 (voir Figure ci-dessus).
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes de A* sont de dimension V ou kg.m2.s-3.A-1

La décomposition orthogonale de A* vis-à-vis de u0 s'écrit alors :

A* = V u0 + c A
avec u0.A = 0


V est le potentiel électrique relatif à O (en V ou kg.m2.s-3.A-1).
A est le potentiel magnétique relatif à O (en m-1.s.V ou kg.m.s-2.A-1).

Quadri-rotation

Image Relativite : FermiImage Relativite : Walker

Figures ci-dessus de gauche à droite : Enrico Fermi et Arthur Geoffray Walker

La quadri-rotation ou 4-rotation d'un corps quelconque de l'Espace-temps est l'unique Quadri-vecteur ω défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p. 86 à 91] :

d()/dτ = ΩFW() + Ωrot()
ΩFW() = c (a.) u - c (u.) a
Ωrot() = ω xu

τ est le Temps propre du corps
sont les quatre vecteurs de base du Référentiel local lié au corps, en choisissant en plus e1 tangent à la courbure a de la Ligne d'univers du corps (condition : e1 = a/||a||)
u et a sont respectivement les Quadri-vitesse et Quadri-accélération du corps
"xu" est l'opérateur Produit vectoriel entre deux vecteurs quelconques de l'Espace local de repos de l'observateur Eu, ce qui s'écrit : ω xu = Ε(u, ω, eα, .)
où :
Ε est le Tenseur de Levi-Civita
Ε(u, ω, eα, .) désigne le vecteur qui représente la Forme linéaire Ε(u, ω, eα, z) pour le Produit scalaire g.

ω a la dimension d'une vitesse angulaire (en s-1).
ΩFW est le Tenseur de Fermi-Walker. Il n'affecte que les composantes des vecteurs dans le plan (u, a) qui est le plan osculateur de la Ligne d'univers du corps.
Ωrot est le Tenseur de rotation spatiale. Puisque Ωrot(ω) = ω xu ω = 0, ce tenseur n'agit que dans le sous-espace (de dimension 2) de l'hyperplan vectoriel Eu orthogonal à ω. Autrement dit, Ωrot représente la rotation spatiale du trièdre (ei) dans le plan (de dimension 2) orthogonal à la fois à u et ω.

Propriétés :
- ω est orthogonal à u puisque appartenant à l'hyperplan vectoriel Eu : ω.u = 0
- ω est un vecteur du Genre espace : ω.ω ≥ 0.
- Pour α = 0, on a : e0 = u, a.u = 0, u.u = -1, ω xu u = Ε(u, ω, u, .) = 0, et on retrouve bien que : d(e0)/dτ = d(u)/dτ = c a
- On démontre que : ω = c T2 e1 + c T1 e3, T1 et T2 étant respectivement la première et la seconde torsion de la Ligne d'univers du corps (voir Référentiel local).

Quadri-vecteur

Voir Espace-temps.

Quadri-vitesse

La quadri-vitesse ou 4-vitesse d'un point quelconque x de l'Espace-temps est l'unique Quadri-vecteur unitaire u qui est tangent à la trajectoire du point et dirigé vers le futur. Ce vecteur sans dimension est défini par la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.36] :

u = (1/c) dx/dτ = ui ei

où τ est le Temps propre du point
et ei sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel de dimension 4.

Propriété :
u est un vecteur unitaire du Genre temps : u.u = -1

Référentiel céleste et Référentiel terrestre

Image Relativite : Referentiels celestes

En géophysique, le référentiel céleste est un système de référence dont les axes orthogonaux (x, y, z) sont définis à l'aide de points de référence suffisamment lointains pour apparaître fixes sur la sphère céleste. Ces objets lointains sont des radio-sources extragalactiques.
Plusieurs référentiels célestes existent (cf [ZIEGLER, Modélisation, p.24]) :
Le Système de Référence Céleste International (English : International Celestial Reference System (ICRS)), adopté en 1997 par l'Union Astronomique Internationale (UAI), a pour origine le barycentre du Système Solaire, conformément à la Relativité Générale. Son pôle (axe z) se situe actuellement approximativement dans la direction de l'Etoile polaire (Polaris). L'origine des ascensions droites (axe x) est dans la direction définie à partir du quasar 3C 273, dans la direction du point vernal qui est la position du Soleil vu depuis la Terre à l'équinoxe de printemps. Le troisième axe (y) est orthogonal aux deux premiers et orienté de telle sorte que les trois axes forment un trièdre de sens direct.
Le Système de Référence Céleste Barycentrique (English : Barycentric Celestial Reference System (BCRS)), défini en 2000 et 2006 par l'UAI, se confond avec l'ICRS en terme d'orientation et d'origine mais définit en outre une Métrique relativiste pour le système de coordonnées. Le temps propre du BCRS s'appelle Temps-Coordonnée Barycentrique (TCB).
Le Système de Référence Céleste Géocentrique (English : Geocentric Celestial Reference System (GCRS)) diffère du BCRS par son origine qui est le centre de masse de la Terre. Le temps propre du GCRS s'appelle Temps-Coordonnée Géocentrique (TCG).
Ces trois référentiels ont en commun une orientation conventionnelle et théoriquement invariable (non-tournant par rapport aux étoiles). Ils ne suivent donc pas la rotation de la Terre au cours du temps comme le feraient les référentiels terrestres.

Parmi les référentiels terrestres, le standard actuel est le Système de Référence Terrestre International (English : International Terrestrial Reference System (ITRS)) qui est en co-rotation diurne avec la Terre et a pour origine son centre de masse. Le temps propre de l'ITRS s'appelle Temps Terrestre (TT).

Référentiel inertiel (ou galiléen)

En physique classique, un référentiel inertiel (appelé "système stationnaire" par Einstein [EIN Zur_Elektrodynamik]) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié, c'est-à-dire que tout corps matériel libre (sur lequel la résultante des forces est nulle) est en mouvement de translation rectiligne (sans rotation) et à vitesse uniforme, l'immobilité étant un cas particulier.
Un corps matériel en mouvement de rotation ou de translation non rectiligne ou de vitesse non uniforme constitue un référentiel non inertiel.


En Relativité Restreinte, un corps (ou Observateur) est dit "inertiel" lorsque son Référentiel local est constant le long de sa Ligne d'univers, c'est-à-dire vérifie la relation suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.91, 92] :

d()/dτ = 0

où τ est le Temps propre du corps
sont les quatre vecteurs de base du Référentiel local lié au corps.

Un corps est dit "inertiel" également lorsque à la fois sa trajectoire est une droite de l'Espace-temps de Minkowski (Quadri-accélération a nulle) et sa Quadri-rotation ω est nulle.
a et ω sont des quantités mesurables par l'observateur, contrairement à sa Quadri-vitesse u [GOU, Relativité restreinte, p.90].

Référentiel local

Image Relativite : Referentiel local

En relativité Restreinte, le référentiel local lié à un corps (ou Observateur O) le long de sa Ligne d'Univers est un quadruplet de vecteurs (e0, e1, e2, e3) défini en tout point (ou événement) de cette ligne d'univers et vérifiant les propriétés suivantes [GOU, Relativité Restreinte, p.60, 79, 80] :
    - (e0, e1, e2, e3) est une Base orthonormée et Directe, appelée tétrade de Serret-Frenet.
    - e0 est tangent à la Ligne d'univers du corps (condition : e0 = u, où u est la Quadri-vitesse du corps).
    - le champ (e0, e1, e2, e3) est de classe C1, c'est-à dire que la base (e0, e1, e2, e3) varie de façon infinitésimale lorsque l'on passe d'un point donné à un point voisin sur la ligne d'univers.

Les trois vecteurs e1, e2 et e3 sont donc orthogonaux à e0 = u. Ils appartiennent à l'Espace local de repos Eu de l'Observateur O (voir Figure ci-dessus).
A noter que l'on peut choisir e1 tangent à la courbure a de la Ligne d'univers du corps (condition : e1 = a/||a||), où a est la Quadri-accélération du corps. La longueur 1/||a|| est appelée rayon de courbure de la Ligne d'univers au point O.

Propriétés :
    d(e0)/dτ = c a
    d(e1)/dτ = c ||a|| e0 + c T1 e2
    d(e2)/dτ = -c T1 e1 + c T2 e3
    d(e3)/dτ = -c T2 e2
τ est le Temps propre du corps
T1 et T2 sont respectivement la première et la seconde torsion de la Ligne d'univers du corps.

Signature

La signature (-, +, +, +) du Tenseur métrique, appelée signature lorentzienne, signifie qu'il existe une base de l'espace vectoriel E telle que le Produit scalaire g(u,v) s'exprime en fonction des composantes ui et vj des vecteurs u et v sous la forme suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.8] :
    g(u,v) = -u0v0 + u1v1 + u2v2 + u3v3

Attention : Contrairement aux Conventions de signe classiques (MTW), certains auteurs utilisent la signature (+, -, -, -) au lieu de (-, +, +, +), ce qui revient à utiliser -g au lieu de g.
La convention classique (-, +, +, +) a l'avantage de ne pas distinguer entre Quadri-vecteurs et tri-vecteurs car le Produit scalaire induit par g sur les hyperplans du Genre espace (coupes tridimensionnelles à t = constante de l'Espace-temps) coïncide avec le produit scalaire euclidien de l'espace tridimensionnel.

Simultanéité

En Relativité Restreinte, on démontre que deux événements situés en des lieux différents peuvent être simultanés dans un référentiel sans l'être dans un autre. La notion de simultanéité perd son caractère universel.

Démonstration :

Soit deux événements simultanés (x1, y1, z1, t1) et (x2, y2, z2, t2 = t1) dans le référentiel R. Dans le référentiel R' en translation rectiligne uniforme par rapport à R, la durée (t'2 - t'1) entre ces deux mêmes événements s'écrit, compte tenu de la Transformation de Lorentz-Poincaré :
t'2 - t'1 = γ ( (t2 - t1) - B (x2 - x1) ) = -γ B (x2 - x1)
γ et B étant donnés par les équations (L3) et (L4).
Lorsque les deux événements ne sont pas localisés aux mêmes points, la différence spatiale (x2 - x1) dans R n'est pas nulle. La différence temporelle (t'2 - t'1) dans R' n'est donc pas nulle malgré la simultanéité (t2 = t1) des deux événements dans R.

Sommation (convention)

Voir Convention de sommation (dite "convention d'Einstein").

Symboles de Christoffel

Image Relativite : Christoffel

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), les symboles de Christoffel Γijk (dits "de seconde espèce") représentent l'évolution des vecteurs de base en fonction de leur dérivée partielle. En utilisant la Convention de dérivée partielle et la Convention de sommation, cela s'écrit :

ej,k = Γijk ei

Attention : Bien que possédant trois indices, les symboles de Christoffel de seconde espèce ne sont pas des Tenseurs mixtes d'ordre 3 car ils ne vérifient pas les critères de Tensorialité. On ne peut pas, par exemple, réaliser l'abaissement d'indice : Γjik = glj Γlik, ce qui est faux vu que : glj Γlik = Γijk
En revanche, ces symboles apparaissent abondamment dans des expressions qui représentent des Tenseurs (par exemple : Dérivée covariante, Divergence, Tenseur de Ricci).

Γijk peut s'exprimer en fonction des vecteurs de base de l'espace Dual :

Γijk = ei.ej,k

Démonstration :
ei.ej,k = ei.ijk ei) = Γijk δii = Γijk
où δ est le Symbole de Kronecker.

A noter qu'il existe d'autres symboles de Christoffel Γijk (dits "de première espèce") définis par les relations :

Γijk = glj Γlik = Γkji
Γijk = gil Γjlk = Γikj
Attention : Pour Γijk, il existe une variante avec la définition différente suivante (en inversant l'ordre des indices i et j) : Γijk = gli Γljk = Γikj


Γijk et Γijk peuvent s'exprimer en fonction des composantes gij du Tenseur métrique :

Γijk = (1/2) (gij,k + gjk,i - gik,j)
Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)

Démonstration :
En dérivant gij = ei.ej par rapport à xk, on obtient :
gij,k = (ei,k).ej + ei.(ej,k) = (Γlik el).ej + ei.(Γljk el)
D'où le résultat :
gij,k = Γlik glj + Γljk gil
Une permutation circulaire des trois indices i, j, k donne alors les deux égalités suivantes :
gki,j = Γlkj gli + Γlij gkl
gjk,i = Γlji glk + Γlki gjl
Ce qui donne ensuite par combinaison linéaire :
(D)     gij,k + gki,j - gjk,i = 2 Γlkj gil
En inversant les rôles de i et j dans la relation (D), on obtient :
gij,k + gkj,i - gik,j = 2 Γlki gjl
Compte-tenu des Symétries de Γlki et de gjl, on obtient finalement :
Γijk = glj Γlik = (1/2) (gij,k + gjk,i - gik,j)

En multipliant les deux membres de la relation (D) par gmi et en utilisant la relation gmi gil = δml, on obtient :
Γmkj = (1/2) gmi (gij,k + gki,j - gjk,i)
En renommant les indices (i en l et m en i), on obtient finalement :
Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)


Propriétés :
Γijk est Symétrique par rapport aux deux indices extrêmes : Γijk = Γkji
Γijk est Symétrique par rapport aux indices inférieurs : Γijk = Γikj
Dérivée de la métrique : gij,k = Γijk + Γjik
Contraction des indices (cf [GOU, Relativité restreinte, p.506]) : Γiji = (-g)-1/2 ((-g)1/2),j
    avec : g = Déterminant de la matrice gij associée au Tenseur métrique g
Les symboles de Christoffel ne sont tous nuls que dans le cas particulier de la Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski) avec coordonnées cartésiennes, pour lequel les composantes gij sont toutes constantes.

Symbole de Kronecker

Image Relativite : Kronecker

L'expression du symbole δ de Kronecker est la suivante :

δij = δij = δij = 1 si i = j et 0 sinon.

Attention : Le symbole de Kronecker n'est pas un Tenseur. On ne peut pas, par exemple, réaliser l'abaissement d'indice : δij = gik δkj, ce qui est faux vu que : gik δkj = gij

Propriété :
Remplacement d'indice dans un Tenseur quelconque T : Tjk = δij Tik

Symbole de Levi-Civita

Image Relativite : Levi-Civita

L'expression du symbole de Levi-Civita ε est la suivante (à ne pas confondre avec le Tenseur de Levi-Civita) :

εijkl... = εijkl... =
    0 si deux indices ou plus (i,j,k,l...) sont égaux
    +1 si (i,j,k,l...) est une permutation paire de (0,1,2,3...)
    -1 si (i,j,k,l...) est une permutation impaire de (0,1,2,3...)


Quand deux indices quelconques, égaux ou non, sont interchangés, le symbole est multiplié par -1 : ε...i...l... = -ε...l...i...

Pour 3 indices (i,j,k) on a :
    εijk = +1 pour 012 ou 120 ou 201
    εijk = -1 pour 021 ou 102 ou 210
Pour 4 indices (i,j,k,l) on a :
    εijkl = +1 pour 0123 ou 0231 ou 0312 ou 1032... ou 3210
    εijkl = -1 pour 0132 ou 0213 ou 0321 ou 1023... ou 3201

ε permet d'exprimer certaines opérations vectorielles sous forme compacte. Dans un espace vectoriel de dimension 3 et avec la Convention de sommation, on peut écrire par exemple :
- Produit vectoriel (w = u x v) de composantes : wi = εijk uj vk
- Rotationnel (w = rot(u)) de composantes : wi = εijk uk,j
- Déterminant (d = det(u,v,w)) de composante : d = εijk ui vj wk = εijk ui vj wk

Symétrie et antisymétrie

En général, un Tenseur n'est ni symétrique, ni antisymétrique.

Tenseur d'ordre 2
Un Tenseur Tab est dit symétrique lorsque : Tab = Tba
Un Tenseur Tab est dit antisymétrique lorsque : Tab = -Tba
Tout Tenseur Tab peut s'exprimer comme somme d'un Tenseur symétrique Sab et d'un Tenseur antisymétrique Aab tels que :
    Sab = (1/2)(Tab + Tba)
    Aab = (1/2)(Tab - Tba)

Tenseur d'ordre supérieur à 2
Un Tenseur est dit symétrique (resp. antisymétrique) par rapport à un couple d'indices de même variance (i.e. tous covariants ou contravariants) si la permutation de ces indices conserve (resp. change en son opposée) chaque composante du Tenseur.
Le Tenseur est dit complètement symétrique (resp. complètement antisymétrique) s'il est symétrique (resp. antisymétrique) par rapport à tout couple d'indices de même variance.
Exemples pour le Tenseur Tklmij :
- si Tklmij = Tkmlij, alors il est symétrique par rapport à l et m.
- si Tklmij = Tklmji, alors il est symétrique par rapport à i et j.
- si Tklmij = -Tkmlij, alors il est antisymétrique par rapport à l et m.
- si Tklmij = -Tklmji, alors il est antisymétrique par rapport à i et j.
- si Tklmij = Tkmlij = Tmlkij = Tlkmij, alors il est complètement symétrique par rapport à ses indices contravariants.
- si Tklmij = -Tkmlij = -Tmlkij = -Tlkmij, alors il est complètement antisymétrique par rapport à ses indices contravariants.

Temps et Durée

Temps propre et temps apparent
Temps propre et temps apparent sont deux temps distincts mesurés dans des conditions différentes.
Chaque corps de référence (particule, individu, planète, étoile, Observateur...) a son temps propre. Ce temps propre (ou vrai) est le temps (τ) mesuré dans le référentiel où le corps est immobile.
A l'inverse, le temps apparent (ou temps-coordonnée ou temps impropre ou relatif ou observé) est le temps (t) mesuré dans un référentiel mobile par rapport à ce référentiel propre.
A noter que le temps apparent t n'a pas de sens physique (mesurable directement) [GOU, Relativité Générale, p.35] [EIS Lumière, p.7]. La seule chose qui fait sens, c'est la comparaison de temps propre mesurée par deux Observateurs et à condition d'étudier comment ils s'échangent l'information [UZA Le temps en Relativité, pp 30 et 39].
Les mesures sont réalisées par des horloges fixes dans leur référentiel et dont le mécanisme interne est généralement insensible au mouvement des référentiels. Une horloge atomique constitue une horloge idéale car le temps qu'elle fournit ne dépend quasiment pas des accélérations subies qui sont très faibles par rapport à l'accélération centripète d'un électron autour de son noyau atomique (de l'ordre de 1023 m.s-2).

Le temps propre τ d'une particule matérielle le long de sa trajectoire est définie par la relation suivante et correspond physiquement au temps mesuré par une horloge entraînée par la particule matérielle le long de sa Ligne d'univers [GOU, Relativité Générale, p.35].

dτ = (1/c) (-ds2)1/2

où ds2 est la Métrique relativiste.

Durée propre et durée apparente
En Relativité Restreinte, pour un référentiel donné, la durée propre (d0) est l'intervalle de temps qui sépare deux événements se produisant en un même lieu de ce référentiel. Dans tout autre référentiel, la durée est supérieure à la durée propre et s'appelle durée apparente (d).
Certains auteurs parlent à ce propos de Dilatation des durées. Cette dilatation n'est pas physique mais résulte simplement de mesures qui n'ont de sens que par rapport à un référentiel donné.

Temps biologique
Voir Paradoxe des jumeaux.

Démonstration de la relation : d > d0 [ANN Electricité_2] :

Soient deux événements se produisant dans le référentiel R en un même lieu de coordonnées (x, y, z) mais à des instants différents t1 et t2. La durée (propre) les séparant est : d0 = t2 - t1.
Pour un Observateur du référentiel R' en translation rectiligne uniforme à la vitesse v par rapport à R, les événements se produisent aux instants t1' et t2' donnés par la Transformation de Lorentz-Poincaré :
t1' = γ (t1 - B x)
t2' = γ (t2 - B x)
et séparés par la durée (apparente) : d = t2' - t1' = γ (t2 - t1) = d0 / (1 - v2 c-2)1/2
D'où : d > d0

Temps standard

Les temps standards les plus courants sont les suivants :

- Le temps moyen de Greenwich (English : Greenwich Mean Time (GMT)) correspond à l'heure du méridien de Greenwich en Angleterre (0° de longitude). Le terme "moyen" fait référence au fait que midi GMT est le moment en moyenne chaque année où le Soleil culmine au méridien de Greenwich. Ce temps, relativement peu précis car lié à la variation de vitesse de rotation de la Terre et à l'ellipticité de son orbite, a été utilisé jusqu'en 1972.

- Le Temps Universel (TU) (English : Universal Time (UT)) remplace le temps moyen de Greenwich (GMT) avec une différence, car le GMT était calculé sur midi et le TU sur minuit.

- Le Temps Terrestre (TT) (English : Terrestrial Time (TT)) est le temps propre d'un observateur fixe à la surface de la Terre. TT tient compte des effets relativistes (Effet Einstein en Relativité Générale et Dilatation des durées en Relativité Restreinte). TT est donné par la Métrique relativiste suivante [GOU, Relativité Générale, p.207] :
    d(TT) = c-1 (-gij dxi dxj)1/2
    où :
    gij = composantes du Tenseur métrique au voisinage de la Terre (avec champ gravitationnel ψ faible)
    xi = coordonnées de l'observateur dans l'Espace-temps du Référentiel céleste GCRS (avec t = TCG)
    La Terre (avec RTerre = 6378 km) tournant autour de l'axe θ = 0 à la vitesse angulaire dφ/dt = ΩTerre = 2 π / (23 h 56 mn) = 7.29 10-5 rad.s-1, les coordonnées xi d'un observateur de colatitude θ0 valent :
    x0 = ct
    x1 = r0
    x2 = θ0
    x3 = φ0 + ΩTerre t
Le temps TT ne diffère du temps TCG que d'un facteur constant indépendant de la position sur la Terre [GOU, Relativité Générale, p.208] :
    d(TT) = (1 + c-2 U0) dt
    U(r, θ, φ) = ψ(r, θ, φ) - (1/2) ( ΩTerre r sin[θ] )2
    U0 = U(r0 = RTerre, θ0 = π/2, φ0) = -6.969 10-10 c2

- Le Temps Atomique International (TAI) (English : International Atomic Time (IAT)) est calculé d'après la comparaison des Temps Terrestres d'environ 300 horloges atomiques dans le monde. Le TAI est placé sous la responsabilité du Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) (English : International Bureau of Weights and Measures (IBWM)).

- Le Temps Universel Coordonné (TUC) (English : Universal Time Coordinated (UTC) or Zulu Time or Z time) diffère du TAI par un nombre entier de secondes, actuellement 37 depuis 1972, de manière à coller au temps TU à moins de 0,9 seconde près. Ces secondes intercalaires sont ajoutées à l'initiative du Service International de la Rotation de la Terre et des Systèmes de Référence (English : International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS)) pour garantir que, en moyenne au cours des ans, le Soleil culmine au méridien de Greenwich à 12:00:00 UTC à 0,9 seconde près.

Tenseur

Image Relativite : VoigtImage Relativite : Tenseur des contraintes

Le terme "tenseur" fut introduit par le physicien Woldemar Voigt pour représenter mathématiquement les tensions dans un solide (voir Figure ci-dessus).

Définition pragmatique :
La notion de tenseur est une généralisation de la notion de vecteur en tant qu'objet mathématique invariant par changement de base.
Un tenseur est une fonction multilinéaire des coordonnées de l'espace, défini dans un espace vectoriel à n dimensions par nm composantes, où m est l'ordre du tenseur.
Le tenseur d'ordre 0 est un scalaire (nombre indépendant de la base choisie) et a une seule composante.
Le tenseur d'ordre 1 est un vecteur à n composantes. A noter que, lors d'un changement de base, les composantes d'un vecteur changent alors que le vecteur lui-même ne change pas.
Le tenseur d'ordre 2 est une matrice carrée à n2 composantes qui vérifie l'un quelconque des critères de Tensorialité.
Le tenseur d'ordre 3 est une matrice cubique à n3 composantes qui vérifie l'un quelconque des critères de Tensorialité.

Tout tenseur possède également une valence ou type noté (p, q) où p est le nombre d'indices contravariants (indiqués en position supérieure) et q le nombre d'indices Covariants (indiqués en position inférieure), tels que : m = p + q
Pour un tenseur quelconque T, ses composantes peuvent être contravariantes (exemple : Tijk), covariantes (exemple : Tijk) ou mixtes (exemple : Tijk est un tenseur mixte d'ordre 3 avec un indice contravariant i et deux indices covariants j et k).
Le calcul tensoriel a pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et les résultats des développements mathématiques sont ainsi invariants par changement de référentiel (voir Covariance d'une loi physique).

Définition mathématique [GOU, Relativité Restreinte, p.472 et 21] :
Un tenseur (T) est une application multilinéaire d'un Espace vectoriel (E) et de son espace Dual (E*) vers le corps des nombres réels (R).
Si ω1, ... ,ωp et v1, ... ,vq désignent respectivement des Formes linéaires ω de l'espace dual E* et des vecteurs v de l'espace E (de dimension n), alors tout tenseur de type (p, q) est une application T(ω1, ... ,ωp, v1, ... ,vq) de E*p x Eq dans R, qui est linéaire par rapport à chacun de ses m arguments (m = p + q).
Pour tout scalaire λ et argument a, on a les identités suivantes :

T(ω1, ... ,λ a + a', ... ,vq) = λ T(ω1, ... ,a , ... ,vq) + T(ω1, ... ,a', ... ,vq)

Dans les livres anciens, un tenseur est défini non pas comme une application multilinéaire mais comme un tableau de "nombres" T i1... ip j1... jq qui se transforme suivant la loi générale de transformation lors d'un Changement de base.

Exemples de tenseur :
- Exemple simple dans un espace vectoriel E de dimension 3 (les opérateurs . et x désignant respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel) :
    L'application T qui fait correspondre au triplet de vecteurs (u, v, w) le scalaire : 5 u.(v x 2 w) est un tenseur d'ordre 3.
    L'application A qui fait correspondre au triplet de vecteurs (u, v, w) le scalaire : 5 u.(v + 2 w) n'est pas un tenseur. Elle n'est pas linéaire par rapport à ses second et troisième arguments.
- Un scalaire s est un tenseur de type (0, 0).
- Un vecteur v est un tenseur de type (1, 0).
- Une Forme linéaire ω est un tenseur de type (0, 1).
- Le Tenseur métrique g et le Tenseur électromagnétique F sont des tenseurs de type (0, 2).
- Le Tenseur de courbure Rijkl est un tenseur de type (1, 3).
- Le Tenseur de Levi-Civita Ε est un tenseur de type (0, 4).

Composantes d'un tenseur [GOU, Relativité Restreinte, p.474, 475] :
En vertu de la multilinéarité de T, les np + q composantes de T s'expriment en fonction des vecteurs de la base {ej} et des éléments de la base Duale {ei} comme suit :

T i1... ip j1... jq = T(ei1, ... ,eip, ej1, ... ,ejq)
et on a la relation générale :
T(ω1, ... ,ωp, v1, ... ,vq) = T i1... ip j1... jq    (ω1)i1... (ωp)ip    (v1)j1... (vq)jq

Tenseur d'Einstein

Image Relativite : Einstein

Le tenseur d'Einstein (Sab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab) mesure la déformation locale de la chronogéométrie de l'Espace-temps et représente sa courbure en un point donné. C'est un Tenseur d'ordre 2, Symétrique et à Divergence nulle (Sab;a = 0).
Ses composantes sont données dans L'équation d'Einstein.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.

Démonstration de la Divergence nulle du Tenseur d'Einstein [GOU, Relativité générale, p.111][BOU, Relativité générale, chap. XI, p.21] : Sab;a = 0

La seconde identité de Bianchi s'écrit :
    (D1) Rijkl;m + Rijlm;k + Rijmk;l = 0
En contractant cette identité sur les indices i et k, et en utilisant la définition du Tenseur de Ricci (Rij = Rkikj), on obtient :
    (D2) Rjl;m + Rkjlm;k + Rkjmk;l = 0
En utilisant la propriété d'Antisymétrie du Tenseur de courbure (Rijkl = -Rijlk) et à nouveau la définition du Tenseur de Ricci, le dernier terme s'écrit :
    (D3) Rkjmk;l = -Rkjkm;l = -Rjm;l
Compte-tenu de la Divergence nulle du Tenseur métrique (gjl;m = gjl;k = gjl;l = 0), la relation (D2) contractée avec gjl devient :
    (D4) (gjl Rjl);m + (gjl Rkjlm);k - (gjl Rjm);l = 0
La partie entre parenthèses du premier terme est la Courbure scalaire : R = gjl Rjl
La partie entre parenthèses du second terme se simplifie comme suit :
    (D5) gjl Rkjlm = gjl (gpk Rpjlm) = -gjl (gpk Rjplm) = -gpk (gjl Rjplm) = -gpk Rlplm = -gpk Rpm
La relation (D4) devient :
    (D6) R;m - (gpk Rpm);k - (gjl Rjm);l = 0
Compte-tenu de la Divergence nulle du Tenseur métrique (gpk;k = gjl;l = 0), la relation (D6) devient :
    (D7) R;m - gpk Rpm;k - gjl Rjm;l = 0
Les indices p et k étant muets, les deux derniers termes sont identiques et la relation (D7) devient :
    (D8) R;m - 2 gjl Rjm;l = R;m - 2 (gjl Rjm);l = 0
Compte-tenu de la propriété du Symbole de Kronecker (R;m = δlm R;l = (δlm R);l), la relation (D8) devient :
    (D9) (δlm R);l - 2 (gjl Rjm);l = (δlm R - 2 Rlm);l = 0
La relation (D9) contractée avec gbm devient :
    (D10) gbmlm R - 2 Rlm);l = ( (gbm δlm) R - 2 (gbm Rlm) );l = (glb R - 2 Rlb);l = -2 (Rab - (1/2) gab R);a = 0
Compte-tenu de l'expression du Tenseur d'Einstein (Sab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab) et de la Divergence nulle du Tenseur métrique (gab;a = 0), la relation (D10) devient finalement :
    (D11) Sab;a = 0

Tenseur de courbure (ou de Riemann-Christoffel)

Image Relativite : RiemannImage Relativite : Christoffel

Figures ci-dessus de gauche à droite : Georg Friedrich Bernhard Riemann et Elwin Bruno Christoffel

Le tenseur de courbure est un Tenseur d'ordre 4. C'est la mesure la plus complète possible de la déformation locale d'un Espace-temps courbe. Il comporte 44 = 256 composantes.
Selon les Conventions de signe classiques (MTW), et en utilisant la Convention de dérivée partielle, ses composantes ont pour expression :

Rijkl = Γijl,k - Γijk,l + Γimk Γmjl - Γiml Γmjk

où Γijk sont les Symboles de Christoffel.

Le nombre de composantes indépendantes du tenseur de courbure est égal à 20 (au lieu de 256).
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.
L'Espace-temps est dit "plat" quand le tenseur de courbure est nul.

Attention : Contrairement aux Conventions de signe classiques (MTW), certains auteurs définissent le Tenseur de courbure par l'opposé du Tenseur de courbure ci-dessus [GOU, Relativité générale, p.110].

Propriétés :
Rijkl est Antisymétrique par rapport aux deux derniers indices : Rijkl = -Rijlk
Rijkl est Antisymétrique par rapport aux deux premiers et deux derniers indices : Rijkl = -Rjikl = -Rijlk
Rijkl est Symétrique par rapport aux deux paires d'indices extrêmes : Rijkl = Rklij = Rjilk
    où : Rijkl = gim Rmjkl
Première identité de Bianchi : Rijkl + Riklj + Riljk = 0, également écrit sous forme condensée : Ri[jkl] = 0
Seconde identité de Bianchi : Rijkl;m + Rijlm;k + Rijmk;l = 0, également écrit sous forme condensée : Rij[kl;m] = 0
Identité de Ricci :
    Pour tout vecteur v Contravariant, on a : Rijkl vj = vi;l;k - vi;k;l
    Ainsi, le tenseur de courbure mesure la non-commutativité des doubles Dérivées covariantes [GOU, Relativité générale, p.109].
Autre identité [SEN, Relativité générale, p.62] :
    Pour tout Tenseur T doublement Contravariant, on a : Rijkl Tjm + Rmjkl Tij = Tim;l;k - Tim;k;l

Tenseur de Levi-Civita

Image Relativite : Levi-Civita

Le tenseur de Levi-Civita Ε est un Tenseur d'ordre 4 qui s'écrit, pour tout quadruplet de vecteurs (u, v, w, z), sous la forme suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.20, 21, 482 à 487] :

Ε(u, v, w, z) = μ (-g)1/2 εijkl ui vj wk zl
μ = 1 ou -1 selon que la base est respectivement Directe ou indirecte
g = Déterminant de la matrice gij associée au Tenseur métrique g
εijkl = Symbole de Levi-Civita à 4 indices


Ses 256 composantes dans une base quelconque {ei} sont les suivantes :

En composantes covariantes : Εijkl = μ (-g)1/2 εijkl
En composantes contravariantes : Εijkl = -μ (-g)-1/2 εijkl


Propriétés :
- Ε est Antisymétrique (ou alterné) : la quantité Ε(u, v, w, z) vaut 0 lorsque deux de ses arguments sont égaux. Par exemple : Ε(u, v, u, w) = 0
- Dans toute Base orthonormée et Directe : Ε(u, v, w, z) = det(u, v, w, z)
- Ε n'a en fait qu'une seule composante indépendante Ε0123 = μ (-g)1/2
- La quantité (Εijkl Εijkl) est égale à -24
- Si ei sont les vecteurs de base : Ε(e0, e1, e2, e3) = μ (-g)1/2
- Dans toute Base orthonormée : Ε(e0, e1, e2, e3) = μ

Tenseur de Ricci

Image Relativite : Ricci-Curbastro

Le tenseur de Ricci (Rab) est un Tenseur Symétrique d'ordre 2 obtenu par Contraction du Tenseur de courbure. C'est donc un Tenseur qui mesure la déformation locale de l'Espace-temps mais de façon incomplète.

Selon les Conventions de signe classiques (MTW), il s'obtient par Contraction du Tenseur de courbure sur les premier et troisième indices. En utilisant la Convention de dérivée partielle, ses composantes sont les suivantes :

Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik

où Γijk sont les Symboles de Christoffel.

En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.
Attention : le Tenseur de Ricci peut être nul sans que le Tenseur de courbure ne le soit.

Attention : Contrairement aux Conventions de signe classiques (MTW), certains auteurs contractent le Tenseur de courbure sur les premier et quatrième indices, ce qui revient à définir l'opposé du Tenseur de Ricci.

Tenseur électromagnétique (ou tenseur de Maxwell ou tenseur de Faraday)

Les notations sont celles du paragraphe Equations de Maxwell
En Relativité Restreinte, la force de Lorentz (F_LORENTZ = q (E + v x B)) s'écrit sous une forme tensorielle dont les composantes sont les suivantes [GOU, Relativité Restreinte, p.538] :

fi_LORENTZ = q Fij uj

f_LORENTZ est la Quadri-force de Lorentz et u la Quadri-vitesse de la particule.

Fij est le tenseur électromagnétique. C'est un tenseur Antisymétrique d'ordre 2.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-1.V ou C-1.N ou kg.m.s-3.A-1.
Dans le Référentiel local de l'Observateur, et en prenant la convention de Signature (-, +, +, +), ces composantes s'écrivent [GOU, Relativité Restreinte, p.541] comme suit :

Fij = -δ0i Ej + Ei δ0j + c ε0kij Bk
    ou sous forme matricielle :
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = -F0i = Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

avec :
Ei = composantes spatiales du champ électrique E
Bi = composantes spatiales du champ magnétique B
δij = Symbole de Kronecker
εijkl = Symbole de Levi-Civita à 4 indices

Par élévation d'indice (voir Opérateurs élémentaires sur les tenseurs), on obtient les composantes des Tenseurs Fij et Fij sous la forme suivante [GOU, Relativité Restreinte, p.543] :

Fij = gik_MINK Fjk
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = F0i = Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

Fij = gil_MINK Fjl
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = -F0i = -Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

gij_MINK sont les composantes inverses de la Métrique de Minkowski.

Tenseur Energie-Impulsion

Le tenseur Energie-Impulsion (Tab) peut prendre des formes très variées selon la distribution de matière ou d'énergie. En exemple : le tenseur du fluide parfait ou celui de l'électromagnétisme.
Ses composantes ont la signification suivante [GOU, Relativité Générale, p.112] :

T00 : densité d'énergie mesurée par l'Observateur
Ti0 = T0i pour i > 0 : (-c) fois la composante i de la densité de l'impulsion relativiste (densité de quantité de mouvement) ou (-1/c) fois la composante i du flux d'énergie (vecteur de Poynting φ pour un champ électromagnétique), mesurée par l'Observateur
Tij pour i et j > 0 : composantes spatiales du tenseur des contraintes (Sij) mesuré par l'Observateur

C'est un Tenseur d'ordre 2, Symétrique et construit de telle manière que sa Divergence nulle (Tab;a = 0) exprime, en mécanique des milieux continus, les deux lois de conservation de l'impulsion et de l'énergie (3 équations pour le vecteur impulsion et une équation pour l'énergie).
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension kg.m-1.s-2

Tenseur Energie-Impulsion du champ ElectroMagnétique

Les notations sont celles du paragraphe Equations de Maxwell
Les composantes du tenseur Energie-Impulsion (Tij_EM) du champ ElectroMagnétique sont les suivantes [GOU, Relativité Restreinte, p.635] :

Tij_EM = ε0 (Fim Fmj - (1/4) gij Fkl Fkl)

Fij est le Tenseur électromagnétique.

En Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski), les calculs donnent en coordonnées cartésiennes [GOU, Relativité Restreinte, p.636] :
    T00_EM = densité d'énergie = (1/2) ε0 (E.E + c2 B.B)
    Ti0_EM = T0i_EM pour i > 0 correspondant à (-1/c) fois φ avec φ = vecteur de Poynting = (1/ μ0) E x B
    Tij_EM pour i et j > 0 correspondant à Sij = ε0 ( (1/2) (E.E + c2 B.B) δij - (Ei Ej + c2 Bi Bj) )
où δ est le Symbole de Kronecker.

Propriétés :
La trace T_EM du tenseur Tij_EM est nulle. On a en effet : T_EM = gij Tij_EM = ε0 (Fim gij Fmj - (1/4) gij gij Fkl Fkl) = ε0 (Fim Fim - (1/4) 4 Fkl Fkl) = 0

Tenseur Energie-Impulsion du Fluide Parfait

Un fluide est dit "parfait" quand on peut négliger les effets de viscosité et de conduction thermique, ce qui est le cas en cosmologie où l'expansion de l'univers est supposée adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur).
Les composantes du tenseur Energie-Impulsion (Tij_PF) du Fluide Parfait sont les suivantes [GOU, Relativité Générale, p.114] :

Tij_PF = (ρ c2 + p) ui uj + p gij

où :
ρ c2 et p représentent respectivement la densité d'énergie et la pression du fluide, toutes deux mesurées dans le référentiel du fluide.
u est le champ unitaire qui représente en chaque point la Quadri-vitesse d'une particule de fluide (avec ui = gik uk et uj = gjk uk).

Lorsque l'Observateur est co-mobile avec le fluide, les calculs donnent en coordonnées cartésiennes [GOU, Relativité Générale, p.114] :
    T00_PF = ρ c2
    Ti0_PF pour i > 0 = T0i_PF = 0
    Tij_PF pour i et j > 0 correspondant à Sij = p δij
où δ est le Symbole de Kronecker.

Le Fluide Parfait satisfait à la condition d'énergie faible lorsque : (ρ ≥ 0) et (ρ c2 + p ≥ 0), et à la condition d'énergie dominante lorsque : (ρ c2 ≥ |p|).

Tenseur métrique (ou fondamental)

Pour un espace vectoriel E de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on note le Produit scalaire de deux vecteurs de base sous la forme :

gij = ei.ej


Le tenseur métrique est le Tenseur gij d'ordre 2 ayant pour composantes ces gij. C'est une application bilinéaire de Signature donnée, qui fait correspondre au couple de vecteurs (u, v) le scalaire : u.v
gij est un Tenseur Symétrique et à Divergence nulle (gab;a = 0). Ses 16 composantes gij (pour i et j pris entre 0 et 3) sont appelées potentiels de gravitation. Ce sont des fonctions de x, y, z et t
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont sans dimension.

Le tenseur métrique inverse est le Tenseur gij tel que :

gij gjk = gik = δik

où δ est le Symbole de Kronecker.
La composante gij peut se calculer comme suit (règle de Cramer) :
gij = Cofacteur_ji / g
avec g = Déterminant de la matrice gij
Cofacteur_ij = (-1)i+j Mineur_ij
Mineur_ij = Déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j dans la matrice gij

Propriétés :
Dualité : gij = ei.ej
gij gij = n
gij;k = gij;k = 0
gij gij,k = -gij gij,k
g < 0 dans n'importe quelle base vectorielle [GOU, Relativité Restreinte, p.484].

Démonstration de la relation : gij;k = 0

Attention : Cette démonstration, apparemment simple, est souvent fausse dans les ouvrages de Relativité, le Symbole de Christoffel Γijk n'étant pas un Tenseur.
gij;k = gij,k - glj Γlik - gli Γljk
       = gij,k - Γijk - Γjik
       = gij,k - (1/2) (gij,k + gjk,i - gik,j) - (1/2) (gji,k + gik,j - gjk,i)
       = gij,k - (1/2) (2 gij,k) = 0

Tensorialité (critères)

Tout objet mathématique vérifiant l'un des critères de tensorialité suivants est un Tenseur.
Critère n°1 : tout objet défini de façon intrinsèque en tant que forme multilinéaire (voir Tenseur).
Critère n°2 : tout tableau de nombres qui se transforme lors d'un Changement de base selon la loi générale de transformation.
Critère n°3 : tout résultat d'une Opération élémentaire ou d'une combinaison d'opérations élémentaires sur des Tenseurs (Somme, Produit... Dérivée covariante... Changement de base).

Trajectoire

Voir Ligne d'univers.

Transformation de Galilée

Image Relativite : Galilee

Voir Transformation de Lorentz-Poincaré

Transformation de Lorentz-Poincaré

Image Relativite : Poincare et Lorentz

Voir Transformation de Lorentz-Poincaré

Trou de ver

Image Relativite : Trou de ver

Un trou de ver est une solution de l'Equation d'Einstein dans laquelle le Tenseur Energie-Impulsion est particulier, permettant de créer un raccourci dans l'Espace-temps.
La matière qui remplit l'Espace-temps du trou de ver est une matière dite "exotique" (non constatée à ce jour) qui viole la condition d'énergie faible [GOU, Relativité Générale, p.259].

Trou noir

Image Relativite : Trou noir

Un trou noir est un objet céleste si compact que l'intensité de son champ gravitationnel empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s'en échapper.
Le trou noir statique (sans rotation) est décrit par la Métrique de Schwarzschild.
Le trou noir en rotation est décrit par la Métrique de Kerr qui généralise celle de Schwarzschild.

5. Bibliographie ( Paragraphe Précédent / Début )

Les auteurs cités dans cette page sont mentionnés entre crochets sous la forme [AUTEUR Titre Page].

  1. AMIOT Pierre, Initiation aux Tenseurs, 2012.
  2. ANDRILLAT H., La théorie de la relativité générale, Partie 1 : les fondements, Bulletin de l'Union des Physiciens, N°760 Janvier 1994.
  3. ANDRILLAT H., La théorie de la relativité générale, Partie 2 : la méthode, Bulletin de l'Union des Physiciens, N°762 Mars 1994.
  4. ANNEQUIN R. et BOUTIGNY J., Electricité 2, Cours de sciences physiques, Vuibert, 1974.
  5. BARRAU A., GRAIN J., Relativité générale, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2016.
  6. BERGSON H., Durée et simultanéité - A propos de la théorie d'Einstein, PUF, 1968.
  7. BOUTELOUP P., Relativité générale, 1993.
  8. CHOSSAT M., Mathématiques de l'ingénieur, Collection Aide Mémoire Dunod, Bordas 1977.
  9. DENIS-PAPIN M., KAUFMANN A., Cours de calcul tensoriel appliqué (.pdf, 12 Mo), Albin Michel, 1953.
  10. DEVRED H., Un peu de physique...
        Chapitre Trajectoire d'une particule - Correspondance avec les notations de cette page Web : t = ct ; K = ε c-2 ; L = l c-1.
  11. EINSTEIN A., Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, Vol. 322, Band 17, p. 891-921, 1905.
  12. EINSTEIN A., Sur l'électrodynamique des corps en mouvement, traduction allemand-anglais sous le titre "On the Electrodynamics of Moving Bodies" de Meghnad Saha (Editions de l'Université de Calcutta en Inde, 1920). Puis traduction anglais-français par Cantons-de-l'Est en 2012.
  13. EINSTEIN A., Sur l'électrodynamique des corps en mouvement, traduction allemand-français de Maurice Solovine, Gauthier-Villars, 1925 puis 1965. Réimprimé aux Editions Jacques Gabay en 1994 puis 2005.
  14. EINSTEIN A., Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Inhalt, Annalen der Physik, Vol. 354, Band 49, p. 769-822, 1916. Publié originellement en novembre 1915 sous forme de quatre articles, Sitzungsberichte der Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften (Berlin).
  15. EINSTEIN A., Les fondements de la théorie de la relativité générale, traduction allemand-français de Maurice Solovine, Hermann, 1933. Réimprimé aux Editions Jacques Gabay en 2009.
  16. EINSTEIN A., Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ?, Annalen der Physik, Vol. 323, Band 18, p. 639-641, 1905.
  17. EISENSTAEDT J., Lumière et relativité, Les Cahiers Clairaut n°138, été 2012, CLEA.
  18. GOURGOULHON E., Relativité restreinte - Des particules à l'astrophysique, EDP Sciences et CNRS Editions, 2010. Sommaire.
  19. GOURGOULHON E., Relativité générale (.pdf, 11 Mo), Observatoire de Paris, Universités Paris 6, 7 et 11, Ecole Normale Supérieure, cours UE FC5, 2013-2014.
  20. HARRISON E.R., Cosmology - The science of Universe - Second edition (.pdf, 15 Mo) or Limited preview, Cambrigde University Press, 2000.
  21. HARRISON E.R., Classification of uniform cosmological models, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 137, p.69-79, 1967.
        Correspondence with notations of this Webpage : μ = 1 + w ; R = a ; t = ct ; G = G c-2 ; Cv = A c-2.
  22. HERMANN N., Etude de l'effet Gertsenshtein et génération d'ondes gravitationnelles stationnaires (.pdf, 2 Mo), thèse, Université de Namur, juin 2017.
  23. HLADIK J., Pour comprendre simplement la théorie de la Relativité, Ellipses, 2005.
  24. HLADIK J., Initiation à la Relativité restreinte et générale, Ellipses, 2013.
  25. KHARBEDIYA L.I., Some exact solutions of the Friedmann equations with the cosmological term, In Russian : Astron. Zh. Akad Nauk SSSR, Vol. 53, 1145-1152, 1976.
        English translation by R.B. Rodman in Soviet Astronomy of the American Institute of Physics, Vol. 20, N°6, p.647-650, Nov.-Dec. 1976.
        Correspondence with notations of this Webpage : case (r or d) = w (1/3 or 0) ; R = a ; t = ct ; R' = dR/(dt/R) = (1/c) a a' ; h = k ; A or B = 3 A c-2 ; μ = K ; ρr or ρd = ρ0 c-2 ; Λcr = ΛF.
  26. Les secrets de l'espace, Hors-série n°13 "Tout savoir sur l'univers", 2021.
  27. LEVY-LEBLONG J.M., One more derivation of the Lorentz transformation, American Journal of Physics, Vol. 44, N°3, March 1976.
  28. LUMINET J.P., Illuminations - Cosmos et esthétique, Odile Jacob, 2011.
  29. MARLEAU L., Mécanique et relativité restreinte (.pdf, 6.2 Mo), Université Laval, Québec, 1998-2018.
  30. MISNER C.W., THORNE K.S., WHEELER J.A., Gravitation (.pdf, 60 Mo), W.H. Freeman, 1973.
  31. POINCARE H., L'Etat actuel et l'Avenir de la physique mathématique (.pdf, 1.0 Mo), Bulletin des sciences mathématiques, Vol. 28, p. 302-324, 1904.
  32. ROUSSEAUX G., Sur la théorie de Riemann-Lorenz de l'électromagnétisme classique (.pdf, 180 Ko), Union des Professeurs de Physique et de Chimie, Le Bup n°868(2), Vol. 98, p. 41-56, 2004.
  33. SENECHAL D., Relativité générale, Université de Sherbrooke, mars 2020.
  34. SPAGNOU P., Einstein et la révolution relativiste, Bibnum Physique, Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 2014.
  35. UZAN J.P., Le temps en Relativité (.pdf, 800 Ko), Notes du séminaire ENSTA, 26 octobre 2006.
  36. ZIEGLER Y., Modélisation de la rotation de la terre et analyse conjointe des données du mouvement du pôle et de gravimétrie, 2017.


Copyright © 2005 Régis Petit.         CopyrightFrance.com        Dernière mise à jour de la page : 29 décembre 2023.