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Relativité

Préambule ( Paragraphe Début / Suivant )

Ce chapitre donne les formules fondamentales de la Relativité Restreinte et de la Relativité Générale.
A travers le paragraphe Définitions, nous montrerons également que bien des "mystères" de l'espace-temps sont dus à un manque de rigueur dans l'utilisation des mots ou des concepts, ou à l'application de formules en dehors de leur domaine d'applicabilité, ou à des incompréhensions de lecture dues à des simplifications excessives d'écriture.
En particulier :
- Confusion entre Temps et Durée, la durée étant l'intervalle de temps séparant deux événements.
- Confusion entre Temps propre et Temps apparent qui sont deux temps distincts mesurés dans des conditions différentes.
- Utilisations différentes (sans être contradictoires) du concept de Temps qui se réduit à un variable purement opératoire pour la plupart des mathématiciens et au contraire représente un temps physique pour la plupart des physiciens (temps réel mesuré au moyen d'horloges localisées spatialement et susceptibles de se synchroniser en échangeant des signaux lumineux).
- Application erronée des Equations de Lorentz-Poincaré à des référentiels qui ne sont pas en mouvement de translation uniforme l'un par rapport à l'autre.
- Allègement excessif de l'écriture des formules par élimination de certaines constantes (par exemple : vitesse de la lumière (c) ou constante de gravitation universelle (G) mises à 1) qui empêche la vérification de l'homogénéité des formules et ne sécurise pas leurs applications numériques.

Sommaire de ce chapitre ( Paragraphe Précédent / Suivant )

  1. Qu'est-ce que la Relativité ?
  2. Relativité Restreinte
    1. Historique
    2. Transformation de Lorentz-Poincaré
    3. Démonstration
  3. Relativité Générale
    1. Historique
    2. Les équations d'Einstein
    3. Résolution des équations d'Einstein
    4. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild
    5. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
    6. Décalages spectraux
  4. Définitions
  5. Bibliographie

1. Qu'est-ce que la Relativité ? ( Paragraphe Précédent / Suivant )

"A l'échelle humaine, la vitesse de la lumière est prodigieusement grande (environ 300 000 km/s). Lorsqu'une source lumineuse quelconque nous envoie un signal, la lumière nous apporte une information quasi-instantanée. Nous croyons voir l'espace à un instant donné. Le temps nous semble absolu, séparé de l'espace." [AND Théorie - Partie 1]

Imaginons deux observateurs O et O', en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, qui veulent régler leurs montres par échange de signaux optiques. Supposons par ailleurs que les deux montres soient synchronisées, par un moyen quelconque, de façon qu'elles indiquent la même heure à un même instant initial t = t' = 0. A cet instant initial, chaque observateur émet alors un signal vers l'autre. Quel temps indique alors chaque montre quand chaque observateur reçoit le signal de l'autre ? Il est évident que ce n'est pas le même temps.
En effet, "la durée de la transmission n'est pas la même dans les deux sens puisque l'observateur O, par exemple, marche au devant de la propagation optique émanée de O', tandis que l'observateur O' fuit devant la propagation émanée de O. Les montres marqueront le temps local de chaque observateur, de sorte que l'une d'elles semblera retarder sur l'autre." [POI L'Etat]
Le temps indiqué serait le même pour les deux observateurs uniquement dans le cas d'observateurs fixes l'un par rapport à l'autre ou dans l'hypothèse de pensée d'une lumière ayant une vitesse infinie.

"L'univers instantané n'est pas observable. Il apparaît comme un Espace-temps où chaque objet observé est vu en un point de l'espace et en un point du temps qui n'est pas le même pour tous les points de l'espace." [AND Théorie - Partie 1]

2. Relativité Restreinte ( Paragraphe Précédent / Suivant )

2.1. Historique ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

"Jusqu'à la fin du 19e siècle, la mécanique classique, fondée par Galilée et Newton, constituait une base incontestée de la physique.
En 1887, un physicien américain, Albert Michelson, et son collègue Edward Morley, montrèrent que la vitesse de la lumière ne vérifiait pas la loi galiléenne d'addition des vitesses. La vitesse de la lumière dans le vide était au contraire indépendante du mouvement de la source émettrice.
A la fin du 19e siècle, une seconde énigme vient perturber les certitudes des savants. Les fameuses Equations du britannique James Maxwell, qui décrivent la totalité des phénomèmes de l'électromagnétisme, n'ont plus la même forme lorsqu'on les transpose d'un système de référence dans un autre par translation uniforme.
Le principe galiléen ne devrait-il pas être, sinon abandonné, tout au moins réadapté ?
En 1905, Henri Poincaré pose les bases fondamentales de la Relativité Restreinte qui efface d'un seul coup toutes les angoisses des physiciens concernant ces deux énigmes.
En 1915, Albert Einstein élabore la Relativité Générale avec l'aide de divers mathématiciens, pour prendre en compte notamment la gravitation relativiste." [HLA Pour_comprendre]

Aujourd'hui, il reste un dernier défi à relever : l'unification de la Relativité Générale et de la Théorie quantique afin de rendre cohérent gravitation à l'échelle macroscopique et interaction gravitationnelle à l'échelle microscopique, où entre en jeu le caractère quantique des particules élémentaires.

2.2. Transformation de Lorentz-Poincaré ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Referentiels

On considère un référentiel R' en translation uniforme à la vitesse V par rapport à un référentiel R (voir Figure ci-dessus).
Les deux référentiels ont leur origine O et O' qui coincident au temps t = 0.
Soit un point quelconque M d'abcisses x' dans R' et x dans R.

La transformation de Galilée faisant passer de R à R' s'écrit classiquement :
    (G1) x' = x - V t
    (G2) t' = t

La tranformation de Lorentz-Poincaré introduit une nouvelle entité pour décrire les phénomènes physiques : l'Espace-temps, et s'écrit :
    (L1) x' = gamma (x - V t)
    (L2) t' = gamma (t - B x)
    (L3) gamma = 1 / (1 - V2/c2)1/2, appelé "facteur de Lorentz"
    (L4) B = V / c2
c est une constante (constante de structure de l'espace-temps) qui s'apparente à une vitesse limite et qui apparaît au cours de la démonstration des équations (L). La constante c est prise égale à la plus grande vitesse mesurée actuellement qui est celle des phénomènes électromagnétiques dans le vide, en l'occurence la vitesse de la lumière dans le vide.
A noter que la vitesse de la lumière étant ralentie dans des milieux divers selon leur indice n de réfraction, il est possible d'accélérer des particules qui vont plus vite que la lumière dans ce même milieu.
A noter également que si deux particules lumineuses s'éloignent l'une de l'autre, leur vitesse relative est encore égale à c et non pas 2c (loi de composition des vitesses. Voir ci-dessous).

2.3. Démonstration ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

En 1975, Jean-Marc Lévy-Leblong publie un article sur la Relativité Restreinte présenté sous forme moderne déduite uniquement des propriétés de l'espace et du temps (postulats de Poincaré), sans recours à l'électromagnétisme [LEV One_more]. Le postulat d'Einstein sur l'invariance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels apparaît alors comme une simple conséquence de la transformation de Lorentz-Poincaré décrivant la Relativité Restreinte.
En 2001, Jean Hladik publie, avec l'un de ses collègues Michel Chrysos, le premier ouvrage sur la Relativité Restreinte présenté sous cette forme moderne [HLA Pour_comprendre].
En s'inspirant des ouvrages listés en Bibliographie ci-dessous, nous présentons ici une démonstration élégante et rigoureuse de la transformation de Lorentz-Poincaré, basée uniquement sur les quatre postulats de Poincaré.

Postulat n°1 : L'espace est homogène et isotrope
L'espace a les mêmes propriétés en tout point et en toute direction. Autrement dit, l'espace est invariant par translation et rotation.
Postulat n°2 : Le temps est homogène
Le temps est identique en tout point d'un même référentiel. Toutes les horloges fixes d'un référentiel donné doivent être strictement réglées à une même heure. Autrement dit, le temps est invariant par translation.
Postulat n°3 (Principe de relativité) : Les lois des phénomèmes physiques doivent être les mêmes, soit pour un observateur fixe, soit pour un observateur entraîné dans un mouvement de translation uniforme.
Autrement dit, la forme des équations qui décrivent les phénomènes mécaniques est invariante par changement de référentiel par translation uniforme.
Postulat n°4 : La causalité doit être respectée
Lorsqu'un phénomème A est la cause d'un phénomème B, alors A doit avoir lieu avant B dans tout référentiel.

Les postulats d'homogénéité de l'espace et du temps induisent que la transformation cherchée est linéaire, donc de la forme suivante :
    (Ha) x' = C(V) x + D(V) t
    (Hb) t' = E(V) t + F(V) x
les quatre fonctions C, D, E et F étant à déterminer.
Au point particulier M = O' nous devons avoir : x' = 0 et x = V t
Les équations (H) s'écrivent alors :
    (C1a) x' = gamma (x - V t)
    (C1b) t' = gamma (A t - B x)
Les inconnues à trouver deviennent gamma, A et B, toutes trois fonction uniquement de V, soit : gamma = gamma(V) ; A = A(V) ; B = B(V).

Quand V = 0, on doit avoir : x' = x et t' = t, correspondant à la transformation identité. On en déduit que :
    (C2) gamma(0) = 1

Le postulat d'isotropie de l'espace induit que la forme des équations est invariante par réflexion (x -> -x ; x' -> -x' ; V -> -V) correspondant au passage du référentiel " -R " au référentiel " -R' ". On en déduit que :
    (C3a) gamma(V) = gamma(-V)
    (C3b) A(V) = A(-V)
    (C3c) B(V) = - B(-V)

Le postulat d'invariance de forme induit que la forme des équations est invariante par transformation inverse (x' <-> x ; t' <-> t ; V <-> -V) correspondant à l'échange des référentiels R et R'. On en déduit que :
    (C4a) x = gamma(-V) (x' + V t')
    (C4b) t = gamma(-V) (A(-V) t' - B(-V) x')
Compte-tenu des relations (C1)(C3), on en déduit que :
    (C5a) A = 1
    (C5b) gamma2 (1 - V B) = 1
Il reste donc à déterminer l'inconnue B.

Le postulat d'invariance de forme induit que la forme des équations est invariante par composition des transformations (R -> R') et (R' -> R"). Compte-tenu de la relation générale (C5a), on en déduit que :
    (C6a) x" = gamma(U) (x' - U t')
    (C6b) t" = gamma(U) (t' - B(U) x')
U est la vitesse de translation uniforme de R" par rapport à R'
On pose W comme vitesse de translation uniforme de R" par rapport à R.
Compte-tenu de la relation (C1), on en déduit que :
    (C7a) W = (V + U) / (1 + U B)
    (C7b) B(U) / U = B / V
La relation (C7a) est la loi de composition des vitesses.
La relation (C7b) montre que B est de la forme :
    (C8) B(V) = b V
où b est une constante quelconque (négative, nulle ou positive).
Compte-tenu de la relation particulière (C2), la relation (C5b) s'écrit alors :
    (C9) gamma2 = 1 / ( 1 - b V2) avec gamma > 0
Compte-tenu des relations (C8)(C9), les équations (C1) s'écrivent alors :
    (C10a) x' = (x - V t) / (1 - b V2)1/2
    (C10b) t' = (t - b V x) / (1 - b V2)1/2
    (C10c) b V2 < 1
Il reste donc à déterminer l'inconnue b.

Soit M1 et M2 deux points quelconques du référentiel R.
Compte-tenu de la relation (C10b), on en déduit que :
    (t2' - t1')/(t2 - t1) = ( 1 - b V ((x2 - x1)/(t2 - t1)) ) / (1 - b V2)1/2

Le postulat de causalité induit que le signe de l'intervalle de temps (t2 - t1) dans R ne doit pas changer lors du passage en (t2' - t1') dans R'. Cela s'écrit :
    (C11) b V (x2 - x1)/(t2 - t1) < 1
Si b est négatif, cette relation n'est pas vérifiée pour toutes valeurs de V, (x2 - x1) et (t2 - t1). Le postulat de causalité n'est donc pas respecté pour le cas b < 0.
Si b est positif ou nul, on peut l'écrire sous la forme suivante :
    (C12) b = 1 / u2 > 0 où u est une constante positive homogène à une vitesse.
La relation (C10c) s'écrit alors :
    (C13) V / u < 1
La constante u s'apparente donc à une vitesse limite. On en déduit que, quelles que soient les valeurs de (x2 - x1) et (t2 - t1) :
    (C14) ( (x2 - x1)/(t2 - t1) ) / u < 1
Compte-tenu des relations (C12)(C13)(C14), la relation (C11) est donc vérifiée. Le postulat de causalité est donc respecté pour le cas b ≥ 0.
A noter que certains auteurs, dont J. HLADIK, arrivent à cette même conclusion (b ≥ 0) sans utiliser le postulat de causalité.

En pratique, la limite mathématique u est prise pertinemment égale à la vitesse c de la lumière dans le vide.

3. Relativité Générale ( Paragraphe Précédent / Suivant )

3.1. Historique ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

La Relativité Restreinte s'applique uniquement aux référentiels en translation uniforme et dans un Espace-temps où les effets gravitationnels sont complètement négligés, comme si la matière n'existait pas.
Einstein va repenser la notion de gravitation Newtonienne, laquelle, se propageant instantanément, n'est plus compatible avec l'existence d'une vitesse limite.
Il va également postuler que toutes les lois de la Nature doivent avoir la même forme dans tous les référentiels, quel que soit leur état de mouvement (uniforme ou accéléré).
La Relativité Générale était née.

3.2. Les équations d'Einstein ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Courbure

Les équations fondamentales de la Relativité Générale, appelées Equations d'Einstein ou Equations du champ de gravitation, relient une déformation locale de la géométrie de l'Espace-temps à la présence de tensions locales (voir Figure ci-dessus).
Ces équations peuvent être vues comme une généralisation de la loi d'élasticité de Hooke en milieu continu peu déformé, pour laquelle la déformation d'une structure élastique est proportionnelle à la tension qui s'exerce sur cette structure.
Les équations d'Einstein s'écrivent :

    (E1) Eab = KHI Tab
    avec : Eab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab

A noter que certains auteurs présentent ces équations avec le signe "moins" devant Λ au lieu du signe "plus".

Eab est le Tenseur d'Einstein qui mesure la déformation locale de la géométrie de l'espace-temps et qui représente sa courbure en un point donné. Il n'y a plus de forces de gravitation en Relativité Générale puisque cette courbure de l'espace-temps en tient lieu. Ce tenseur a pour propriété remarquable d'avoir une Divergence nulle.

Tab est le Tenseur Energie-impulsion qui décrit en un point de l'espace-temps l'énergie et l'impulsion associée à la matière, ou à tout autre forme de champ non gravitationnel comme par exemple le champ électromagnétique. Ce tenseur dépend de la pression p et de la densité ρ du milieu physique qui emplit l'espace. Ce tenseur est construit de telle manière que sa Divergence nulle exprime la conservation locale de l'impulsion et de l'énergie.

a et b sont les indices des différents tenseurs, avec a et b allant de 0 à 3.

KHI est le coefficient de couplage. Il vaut : KHI = 8 π G / c4 (en m-1.kg-1.s2). Ce coefficient a été choisi de façon à vérifier l'équation de Poisson de la gravitation Newtonienne comme cas particulier des équations d'Einstein. Voir Limite Newtonienne.

G est la constante de gravitation universelle (G = 6,6726 10-11 m3.kg-1.s-2).

c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 2,99792458 108 m.s-1).

gab est le Tenseur métrique, solution des équations d'Einstein. Les 16 composantes gab de ce tenseur sont appelées potentiels de gravitation.

Rab est le Tenseur de Ricci, obtenu par Contraction du Tenseur de courbure.

R est la Courbure de Ricci (ou courbure scalaire), obtenu par Contraction du Tenseur de Ricci

Λ est la constante cosmologique de dimension m-2 et pouvant être négative, nulle ou positive. Elle ne fut introduite par Einstein que ultérieurement lors d'applications à la cosmologie. Le problème du mouvement des planètes, considérées comme des particules dans un espace vide autour du soleil (Métrique de Schwarzschild), se résoud en prenant Λ = 0 et Tab = 0. Alors qu'en cosmologie, pour déterminer le modèle d'univers (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), on prend a priori une valeur Λ non nulle et on considère l'espace universel comme empli d'un véritable gaz de galaxies de densité ρ et de pression p = 0 (Modèle cosmologique standard).

Les équations d'Einstein (E1) s'expriment par une équation tensorielle de type A = 0. On démontre que ses composantes gardent la même forme dans tout changement de coordonnées. L'utilisation du formalisme tensoriel permet ainsi à toute loi physique, exprimée avec les équations d'Einstein, de rester invariante dans tout changement de référentiel (principe de relativité générale). C'est là toute l'extraordinaire puissance du calcul tensoriel.
Quant aux équations d'Einstein elles-mêmes, elles ne se démontrent pas à partir de principes plus fondamentaux. C'est là tout le génie d'Einstein de les avoir postuler.

En contractant les équations d'Einstein par le Tenseur métrique inverse gab, la Courbure de Ricci R est liée au Tenseur Energie-impulsion Tab par la relation :
    (E2) R = -KHI T + 4 Λ
où T est la trace du Tenseur Energie-impulsion : T = gab Tab = Taa
En reportant cette relation dans les équations d'Einstein (E1), on trouve les équations équivalentes suivantes :
    (E3) Rab = KHI (Tab - (1/2) gab T) + Λ gab
A noter que le tenseur Rab est nul dans le cas particulier où Λ = 0 et Tab = 0

3.3. Résolution des équations d'Einstein ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Les composantes du tenseur d'Einstein Eab sont fonction uniquement des potentiels de gravitation gab et de leurs dérivées première et seconde. Ces composantes sont linéaires par rapport aux dérivées secondes et font intervenir les Symboles de Christoffel fonction de ces gab.
La résolution de ces équations différentielles couplées du second ordre est extrêmement ardue.
La symétrie des tenseurs Rab, gab et Tab réduit à 10 le nombre d'équations distinctes et les 4 conditions de Divergence nulle les ramènent à 6 équations indépendantes.
De leur côté, par symétrie, 10 seulement des gab sont distincts et, dans un quadri-espace, on peut choisir en chaque point arbitrairement les valeurs de 4 d'entre eux, ce qui réduit à 6 également le nombre des fonctions gab à déterminer.

Image Relativite : Metriques

Plusieurs Métriques relativistes sont ensuite disponibles en Relativité Générale (voir Figure ci-dessus).
La Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (F) est utilisée en cosmologie pour décrire l'évolution de l'univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang.
La Métrique de Schwarzschild (S1, S2...) décrit la géométrie autour des masses (M1, M2...).
La Métrique de Minkowski (K) décrit la géométrie loin des masses importantes, sur la partie asymptotiquement plate des métriques précédentes, selon un Espace-temps euclidien tangent de la Relativité Restreinte.

3.4. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

En faisant l'hypothèse que le champ gravitationnel des corps est statique et à symétrie centrale (Métrique de Schwarzschild), comme c'est le cas pour le Soleil et de nombreux astres, alors les potentiels de gravitation gab s'expriment en coordonnées sphériques (r, θ, φ) en fonction de deux paramètres μ et α fonctions uniquement de r.
Ces gab permettent de calculer les composantes du Tenseur de Ricci (Rab) puis, par Contraction, la Courbure de Ricci (R). Voir calculs détaillés ci-après.

Dans le cas particulier d'une constante cosmologique nulle (Λ = 0) et d'un champ de gravitation dans le vide (c'est-à-dire pour un Tenseur Energie-impulsion (Tab) nul), alors les équations d'Einstein se réduisent à un système de deux équations différentielles des fonctions μ et α. Leur intégration donne les expressions de μ et α. Voir calculs détaillés ci-après.
Finalement, la Métrique de Schwarzschild ds2 se détermine complètement comme suit :
    g00 = -(1 - r*/r)
    g11 = 1/(1 - r*/r)
    g22 = r2
    g33 = r2 sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
où r* est une constante appelée rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel.

Dans le cas particulier d'un champ de gravitation créé par une masse M centrale symétrique, on a : r* = 2 G M / c2, obtenu en comparant le g00 de Schwarzschild avec le g00 de l'approximation Newtonienne. Voir Limite Newtonienne.
Les valeurs particulières r = 0 et r = r*, qui rendent infini les coefficients g00 et g11, délimitent une région singulière qui se trouve en pratique située profondément à l'intérieur de la masse M, ce qui n'est pas gênant pour les planètes, étoiles ordinaires et étoiles à neutrons.
Pour les trous noirs, la singularité r = r* peut être éliminée par un choix convenable du système de coordonnées. En revanche, la singularité r = 0 est une singularité du Tenseur métrique g qui marque la limite de la description des trous noirs par la Relativité Générale et nécessite sans doute de recourir à une théorie quantique de la gravitation qui n'existe pas encore vraiment à ce jour.
Lorsque r tend vers l'infini, les coefficients gab se réduisent aux composantes de la Métrique de Minkowski exprimée en coordonnées sphériques. L'espace-temps décrit par la métrique de Schwarzschild est donc asymptotiquement plat.

Pour finir, on écrit et on résoud les équations de Géodésiques qui décrivent alors le mouvement des systèmes matériels et des photons dans l'espace considéré. Lorsque leur masse m est petite devant la masse M du corps central de la métrique de Schwarzschild, on démontre que leurs trajectoires (orbites) sont planes et deviennent des ellipses quand r tend vers l'infini.


Calcul détaillé des composantes gab, Rab, R, Eab, α et μ [GOUR Relativité Générale] :

Dans le cas d'un champ gravitationnel statique et à symétrie centrale (Métrique de Schwarzschild), les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont les suivants :
    g00 = -e2 μ
    g11 = e2 α
    g22 = r2
    g33 = (r2) sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
    où μ et α sont des fonctions uniquement de r.
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    g00 = -e-2 μ
    g11 = e-2 α
    g22 = 1/r2
    g33 = (1/r2) sin-2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
    Γ001 = Γ010 = μ'
    Γ100 = e2 (μ - α) μ' ; Γ111 = α' ; Γ122 = -r e-2 α ; Γ133 = -r sin2[θ] e-2 α
    Γ212 = Γ221 = 1/r ; Γ233 = -cos[θ] sin[θ]
    Γ313 = Γ331 = 1/r ; Γ323 = Γ332 = 1/ tan[θ]
    où μ' = dμ/dr et α' = dα/dr
    Les autres symboles de Christoffel sont tous nuls.

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
    R00 = e2 (μ - α) ( μ" + (μ')2 - μ' α' + 2 μ'/r )
    R11 = -μ" - (μ')2 + μ' α' + 2 α'/r
    R22 = e-2 α ( r (α' - μ') - 1 ) + 1
    R33 = sin2[θ] R22
    Les autres composantes Rij sont toutes nulles.

La Courbure de Ricci s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
    R = 2 e-2 α ( -μ" - (μ')2 + μ' α' + 2 (α' - μ')/r + (e2 α - 1)/r2 )

Dans le cas Λ = 0, le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Eab = Rab - (1/2) gab R
    E00 = (1/r2) e2 (μ - α) (2 r α' + e2 α - 1 )
    E11 = (1/r2) (2 r μ' - e2 α + 1 )
    E22 = r2 e-2 α ( μ" + (μ')2 - μ' α' + (μ'- α')/r )
    E33 = sin2[θ] E22
    Les autres composantes Eij sont toutes nulles.
Les équations d'Einstein s'écrivent alors par la relation : Eab = KHI Tab
    E00 = KHI T00
    E11 = KHI T11
    E22 = KHI T22
    E33 = KHI T33
    0 = KHI Tij pour i et j pris différents entre 0 et 3

Dans le cas Tab = 0, les équations d'Einstein se réduisent alors aux 3 équations suivantes :
    2 r α' + e2 α - 1 = 0
    2 r μ' - e2 α + 1 = 0
    μ" + (μ')2 - μ' α' + (μ'- α')/r = 0
La première équation s'intègre en :
    α = -(1/2) ln[ 1 - r*/r]
où r* est une constante.
En reportant cette valeur de α dans la seconde équation, cette dernière s'intègre en :
    μ = (1/2) ln[ 1 - r*/r] + b0
où b0 est une constante.
La nullité du champ de gravitation à l'infini (de manière à assurer une métrique asymptotiquement plate avec μ = 0 quand r tend vers l'infini) nécessite que : b0 = 0.
En reportant ces valeurs de α et μ dans la troisième équation, cette dernière est toujours satisfaite.
Finalement, on trouve :
    g00 = -(1 - r*/r)
    g11 = 1 / (1 - r*/r)

3.5. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image F1 Relativite : Modeles selon equations de Friedmann

En faisant l'hypothèse que l'espace-temps est spatialement homogène et isotrope (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), alors les potentiels de gravitation gab s'expriment en coordonnées sphériques (r, θ, φ) en fonction de deux paramètres k (constante) et a (fonction de t uniquement).
Ces gab permettent de calculer les composantes du Tenseur de Ricci (Rab) puis, par Contraction, la Courbure de Ricci (R).
En faisant ensuite le choix d'un modèle Fluide Parfait pour le Tenseur Energie-impulsion (Tab), on calcule ses composantes en fonction de la pression p et de la densité ρ du milieu physique qui emplit l'espace.
Les équations d'Einstein se réduisent alors à un système de deux équations différentielles des fonctions a(t), ρ(t) et p(t), appelées équations de Friedmann :
    (F1) (a'/a)2 + k (c/a)2 = (1/3) ρ KHI c4 + (1/3) Λ c2
    (F2) a"/a = -(1/6) (ρ + 3 p/c2) KHI c4 + (1/3) Λ c2
On complète le système en se donnant une équation d'état du fluide cosmique de type p = p(ρ). Un exemple d'équation d'état souvent utilisé est : p(t) = w ρ(t) c2 où w est une constante qui vaut -1 (vide quantique), 0 (pression nulle) ou 1/3 (radiation électromagnétique).
Cette équation d'état, associée aux deux équations (F1) et (F2), donne une relation remarquable liant ρ(t) et a(t) :
    (Q0) ρ(t) a(t)3(1 + w) = ρ0 a03(1 + w) = constante
    où ρ0 et a0 sont deux constantes (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
Le système se réduit alors à une seule équation différentielle de la fonction a(t) (voir calculs détaillés ci-après) :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) KHI c4 = constante
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2
Cette équation différentielle s'intègre analytiquement pour w = 0 ou 1/3 (avec Λ et k quelconques), ce qui détermine complètement a(t) et la métrique ds2 comme suit :
    g00 = -1
    g11 = a(t)2 (1 - k r2)-1
    g22 = a(t)2 r2
    g33 = a(t)2 r2 sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

La première équation de Friedmann (F1) est présentée souvent sous la forme condensée :
    k (c/a)2 / H(t)2 = Ω + Ωv - 1
    avec :
H(t) = paramètre de Hubble (de dimension s-1) = a'/a qui rend compte de l'expansion de l'univers. Voir Loi de Hubble.
Ω(t) = paramètre de densité (sans dimension) = (8/3) π G ρ(t) / H(t)2
Ωv(t) = constante cosmologique réduite (sans dimension) = (1/3) Λ c2 / H(t)2
q(t) = paramètre de décélération (sans dimension) = -a a"/ (a')2 = -1 - H'(t)/H(t)2
Il semblerait que la valeur actuelle du paramètre de décélération soit négative (a" > 0), le ralentissement dû à l'attraction de la matière étant totalement compensé par l'accélération dû à une hypothétique énergie noire. Voir Modèle cosmologique standard.

La seconde équation de Friedmann (F2) s'écrit également sous la forme :
    (Q2) a"/a = -F a-3(1 + w) + B
    (Q2a) F = (1/2) (1 + 3 w) A
A noter que la relation (Q2) s'obtient également immédiatement par dérivation de la relation (Q1).

Dans le cas standard où ρ > 0 et w > (-1/3), on déduit alors des relations (Q1) et (Q2) l'allure générale des courbes a(t) pour Λ et k quelconques (voir Figure 1 ci-dessus et Démonstration ci-après).
Toutes ces courbes, sauf deux, représentent des modèles avec Big Bang pour lesquels a(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0 :
- La courbe C1 relative au cas (Λ < 0), ou au cas (Λ = 0) et (k > 0), correspond à un modèle fermé (expansion décélérée suivie d'une contraction accélérée survenant après le point maximum M1).
- La courbe C2 relative au cas (Λ = 0) et (k ≤ 0) correspond à un modèle ouvert (expansion décélérée).
- La courbe C4 relative au cas (Λ > 0) et (k ≤ 0), ou au cas (Λ > ΛF) et (k > 0), correspond à un modèle ouvert à point d'inflexion I (expansion décélérée suivie d'une expansion accélérée). Le sous-cas (Λ > 0) et (k = 0) correspond au Modèle cosmologique standard quand la pression est nulle (w = 0).
- Les courbes C5, et C1 à nouveau, sont relatives au cas (0 < Λ < ΛF) et (k > 0). Elles correspondent à deux comportements possibles : un modèle ouvert de type non Big Bang (contraction décélérée suivie d'une expansion accélérée survenant après le point minimum M2), et un modèle fermé avec un point maximum M1.
- Les courbes C3, et C4 à nouveau, sont relatives au cas singulier (Λ = ΛF) et (k > 0). Elles correspondent à deux comportements possibles : un modèle statique (Univers statique d'Einstein), et un modèle ouvert avec un point d'inflexion particulier qui est aussi un point à tangente horizontale.
A noter que ces courbes représentent un sous-ensemble de courbes répertoriées par Harrison [HAR "Classification"].

ΛF est la constante cosmologique singulière de Friedmann qui s'écrit [KHA "Some exact solutions"] :
    ΛF = 3 (k/m)m ( (1/n) A c-2 )-n
    n = 2/(1 + 3 w) > 0
    m = n + 1
ΛF est relié au facteur d'échelle singulier aF comme suit :
    ΛF = 3 (k/m) aF-2
    aF2/n = (A c-2)(m/n)(1/k)
En exprimant la constante A en ce point d'inflexion particulier tel que ρ0 = ρF et a0 = aF, on obtient les expressions de ΛE et de aE de l'Univers statique d'Einstein (avec k = 1) :
    ΛE = (1/n) ρE KHI c2 = (1/2)(1 + 3 w) ρE KHI c2
    aE-2 = (1/3)(m/n)(1/k) ρE KHI c2 = (1/2)(1/k)(1 + w) ρE KHI c2


Certaines solutions particulièrement simples pour a(t) sont présentées ci-dessous (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
Hormis les deux premières solutions, les autres sont presque toutes des modèles avec Big Bang présentées selon les valeurs des paramètres w, puis Λ puis k.

1. Univers statique d'Einstein
C'est le modèle cosmologique statique avec : a(t) = aE ; ρ(t) = ρE ; p(t) = pE
où aE, ρE et pE sont des constantes.
La seconde équation de Friedmann (F2) devient alors : Λ = ΛE
avec : ΛE = (1/2)(ρE + 3 pE/c2) KHI c2
ΛE est la constante cosmologique singulière d'Einstein qui caractérise un univers statique.
A noter qu'en dehors du vide (ρE = pE = 0), une solution statique ne peut exister qu'avec une constante cosmologique non nulle.
En reportant cette valeur de Λ dans la première équation de Friedmann (F1), on obtient :
    k /aE2 = (1/2)(ρE + pE/c2) KHI c2
Si le fluide cosmique satisfait à la condition d'énergie faible au sens strict, alors on a : ρE + pE/c2 > 0 et donc nécessairement : k > 0, donc : k = 1
La courbe a(t) est une constante (voir courbe C3 en Figure 1 ci-dessus) :
    a(t) = aE = ( (1/2)(ρE + pE/c2) KHI c2 )-1/2

2. Espace-temps de De Sitter
C'est le modèle cosmologique du vide (ρ = p = 0) avec Λ > 0 et k = 0 (courbure plate).
La première équation de Friedmann (F1) devient alors : (a'/a)2 = (H0)2
    avec H0 = B1/2 = c (Λ / 3)1/2
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = a0 eH0 (t - t0)
    où a0 et t0 sont des constantes.
La courbe a(t) est de type exponentielle et n'est pas un modèle avec Big Bang.

Image F2 Relativite : Modeles de Friedmann

3. Modèle de Friedmann avec courbure ouverte
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = -1 (courbure ouverte)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 + c2
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre sous forme d'une équation paramétrique :
    a(t) = D (cosh[m] - 1)
    t - ti = (D/c) (sinh[m] - m)
    avec D = (1/2) A c-2 et paramètre m > 0
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Le terme (t - ti) s'exprime plus simplement en fonction de (a) sous la forme :
    t - ti = (D/c) ( ((a/D)(2 + (a/D)))1/2 - ln[ (1 + (a/D)) + ((a/D)(2 + (a/D)))1/2 ] )
La courbe a(t) est de type hyperbolique (voir Figure 2 ci-dessus pour k = -1).

4. Modèle de Friedmann avec courbure plate (ou Espace-temps d'Einstein-De Sitter)
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = ( (1/j) A1/2 (t - ti) )j
    avec j = 2/3
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
La courbe a(t) est une fonction puissance (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 0).

5. Modèle de Friedmann avec courbure fermée
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = 1 (courbure fermée)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 - c2
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre sous forme d'une équation paramétrique :
    a(t) = D (1 - cos[m])
    t - ti = (D/c) (m - sin[m])
    avec D = (1/2) A c-2 et paramètre m variant de 0 à 2 π
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Le terme (t - ti) s'exprime plus simplement en fonction de (a) sous la forme :
    Pour t - ti < π (D/c) : t - ti = (D/c) ( Arccos[1 - (a/D)] - ((a/D)(2 - (a/D)))1/2 )
    Pour t - ti > π (D/c) : t - ti = 2 π (D/c) - (expression (t - ti) du cas précédent)
La courbe a(t) est une cycloïde (point d'un cercle roulant sur une droite). Elle est symétrique par rapport à la valeur t - ti = π (D/c) (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 1).
On notera que la courbe va du "Big Bang" (t - ti = 0) au "Big Crunch" (t - ti = 2 π (D/c)) en passant par une phase d'expansion (a' > 0) puis par une phase de contraction (a' < 0).

6. Modèle sans pression (w = 0) avec Λ non nul
La solution exacte de ce modèle est donnée par [KHA "Some exact solutions"].

7. Modèle sans pression (w = 0) avec Λ non nul et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 + B a2
    avec A = A(w = 0) et B donnés par les relations (Q1a) et (Q1b)
Cette équation s'intègre en :
    si Λ < 0 : a(t) = (-A/B)1/3 sin2/3[ (3/2) (-B)1/2 (t - ti) ]
    si Λ > 0 : a(t) = (A/B)1/3 sinh2/3[ (3/2) B1/2 (t - ti) ]
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Si Λ < 0, la courbe a(t) est similaire à la courbe fermée du modèle de Friedmann (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 1).
Si Λ > 0, la courbe a(t) comporte deux phases d'expansion successives (a' > 0). La première phase est similaire à la courbe ouverte du modèle de Friedmann (voir Figure 2 ci-dessus pour k = -1) avec décélération (a" < 0) mais menant à un point d'inflexion I (a" = 0). La seconde phase est à nouveau une courbe ouverte mais avec accélération (a" > 0) (voir courbe C4 en Figure 1 ci-dessus).

8. Modèle pour radiations électromagnétiques (w = 1/3) avec Λ non nul
La solution exacte de ce modèle est donnée par [KHA "Some exact solutions"].

9. Modèle pour radiations électromagnétiques (w = 1/3) avec Λ = 0
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 + k c2 = A a-2
    avec A = A(w = 1/3) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    Pour k = -1 : a(t) = E c ( (1 + (1/E)(t - ti))2 - 1 )1/2
    Pour k = 0 : a(t) = (4 A)1/4 (t - ti)1/2
    Pour k = 1 : a(t) = E c ( 1 - (1 - (1/E)(t - ti))2 )1/2
    avec E = (A)1/2 c-2
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Les courbes a(t) sont similaires aux courbes du modèle de Friedmann (voir Figure 2 ci-dessus pour k = -1, 0 et 1).

10. Modèle avec w > (-1/3), Λ = 0 et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-(1 + 3 w)
    avec A = A(w) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = ( (1/j) A1/2 (t - ti) )j
    avec j = (2/3) (1 + w)-1 < 1
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
La courbe a(t) est une fonction puissance ayant une branche parabolique selon l'axe des temps quand t temps vers l'infini (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 0).



Démonstration de l'allure générale des courbes a(t) selon équations de Friedmann :

Les équations de Friedmann (F1) et (F2) s'écrivent sous la forme :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q2) a"/a = -F a-3(1 + w) + B
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) KHI c4
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2
    (Q2a) F = (1/2) (1 + 3 w) A
Dans le cas standard où ρ > 0 et w > (-1/3), A est positif et on déduit que :
1. Quand a tend vers 0, la relation (Q1) induit que la quantité (a') tend vers l'infini correspondant à l'explosion primordiale de l'univers (théorie du Big Bang).
2. Quand a tend vers l'infini, la relation (Q1) induit que :
    (Q3) Si Λ est non nul, B est non nul et la quantité (a')2 se comporte comme la quantité (B a2) lorsque B est positif.
    (Q4) Si Λ est nul, la quantité (a')2 se comporte comme la quantité (-k c2) lorsque k est négatif et comme la quantité (A a-(1 + 3 w)) lorsque k est nul.
3. Quand a' est nul :
    (Q5) la relation (Q1) n'est vérifiée que pour les combinaisons de valeurs (Λ, k, w, A) suivantes :
    Λ < 0
    (Λ = 0) et (k > 0)
    (0 < Λ < ΛF) et (k > 0)
    (Λ = ΛF) et (k > 0)
    avec : ΛF = 3 (k/m)m ( (1/n) A c-2 )-n
    n = 2/(1 + 3 w) > 0
    m = n + 1

D'où les résultats suivants illustrés par les courbes C1 à C5 en Figure 1 ci-dessus :
4. Si Λ est négatif :
    4.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est toujours négative. L'évolution de a(t) est décélérée, sans point d'inflexion (a" = 0).
    4.2. B est négatif. La relation (Q5) induit que a(t) atteint un maximum (a' = 0 ; point M1 sur courbe C1) pour lequel : (-B) a3(1 + w) + k c2 a(1 + 3 w) - A = 0
5. Si Λ est nul :
    5.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est toujours négative. L'évolution de a(t) est décélérée, sans point d'inflexion (a" = 0).
    5.2. Si k est négatif, la relation (Q4) induit que a(t) tend vers la ligne droite a(t) = c (-k)1/2 t quand a tend vers l'infini (courbe C2).
    5.3. Si k est nul, la relation (Q4) induit que a(t) tend vers la courbe a(t) = ((1/j) A1/2 t)j avec j = ( (2/3) (1 + w)-1 ) quand a tend vers l'infini (courbe C2).
    5.4. Si k est positif, la relation (Q5) induit que a(t) atteint un maximum (a' = 0 ; point M1 sur courbe C1) pour lequel : a(1 + 3 w) = (1/k) A c-2
6. Si Λ est positif, B est positif :
    6.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est d'abord négative (évolution décélérée) puis devient positive (évolution accélérée) après passage par un point d'inflexion (a" = 0 ; point I sur courbe C4) pour lequel : aI 3(1 + w) = F/B.
    6.2. La relation (Q3) induit que a(t) tend vers la courbe exponentielle a(t) = exp[ B1/2 t ] quand a tend vers l'infini.
    6.3. Cas singulier : lorsque Λ est égal à ΛF, avec k positif, la relation (Q5) induit que la courbe a(t) possède un point à tangente horizontale (a' = 0) qui coincide avec le point d'inflexion I. Ce modèle possède deux types de comportement possible : un modèle statique (Univers statique d'Einstein) pour lequel a(t) = constante (courbe C3), et un modèle ouvert à point d'inflexion pour lequel a' = a" = 0 au point aI = aF (courbe C4).
    6.4. Lorsque Λ est inférieur à ΛF, avec k positif, la relation (Q5) induit que la courbe a(t) possède deux extremum (a' = 0 ; points M1 et M2) pour lequels : B a3(1 + w) - k c2 a(1 + 3 w) + A = 0. Ce modèle possède deux types de comportement possible : un modèle fermé (a" < 0) avec un maximum en M1 (courbe C1), et un modèle ouvert (a" > 0) avec un minimum en M2 (courbe C5), les points d'inflexion respectifs I1 et I2 étant fictifs et rejetés dans la bande interdite (a1 < a < a2). A noter que le modèle ouvert n'est pas un modèle avec Big Bang.


Calcul détaillé des composantes gab, Rab, R, Eab, Tab et a(t) [GOUR Relativité Générale] :

Dans le cas d'un espace-temps spatialement homogène et isotrope (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont les suivants :
    g00 = -1
    g11 = a2 (1 - k r2)-1
    g22 = a2 r2
    g33 = a2 r2 sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
    où k est une constante (0, 1 ou -1) et a une fonction de t uniquement.
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    g00 = -1
    g11 = a-2 (1 - k r2)
    g22 = a-2 (1/r2)
    g33 = a-2 (1/r2) sin-2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
    Γ011 = a a' (1/c)/(1 - k r2) ; Γ022 = a a' r2 (1/c) ; Γ033 = a a' r2 (1/c) sin2[θ]
    Γ101 = Γ110 = a' (1/c)(1/a) ; Γ111 = k r / (1 - k r2) ; Γ122 = -r (1 - k r2) ; Γ133 = -r (1 - k r2) sin2[θ]
    Γ202 = Γ220 = a' (1/c)(1/a) ; Γ212 = Γ221 = 1/r ; Γ233 = -cos[θ] sin[θ]
    Γ303 = Γ330 = a' (1/c)(1/a) ; Γ313 = Γ331 = 1/r ; Γ323 = Γ332 = 1/ tan[θ]
    où a' = d(a)/dt
    Les autres symboles de Christoffel sont tous nuls.

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
    R00 = -3 a" (1/a)(1/c2)
    R11 = (a a" + 2 a'2 + 2 k c2)(1/c2)/(1 - k r2)
    R22 = (a a" + 2 a'2 + 2 k c2) (r/c)2
    R33 = sin2[θ] R22
    Les autres composantes Rij sont toutes nulles.

La Courbure de Ricci s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
    R = 6 (1/c2)(b + a"/a)
    avec b = (a'/a)2 + k (c/a)2

Le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Eab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab
    E00 = R00 + (R/2) - Λ
    E11 = ( (2b + a"/a)/c2 - 3 (b + a"/a)/c2 + Λ ) a2 /(1 - k r2)
    E22 = E11 r2 (1 - k r2)
    E33 = E22 sin2[θ]
    Les autres composantes Eij sont toutes nulles.

Pour un Fluide Parfait de densité ρ et de pression p, le Tenseur Energie-impulsion s'obtient ensuite par la relation : Tij = (c2 ρ + p) ui uj + p gij
L'hypothèse d'isotropie spatiale induit que l'observateur est co-mobile avec le fluide.
L'hypothèse d'homogénéité spatiale induit également que ρ et p sont des quantités fonction de t uniquement.
D'où l'expression de Tij :
    T00 = ρ c2
    T11 = p a2 /(1 - k r2)
    T22 = T11 r2 (1 - k r2)
    T33 = T22 sin2[θ]
    Les autres composantes Tij sont toutes nulles.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors par la relation : Eab = KHI Tab
    E00 = KHI T00
    E11 = KHI T11
    E22 = KHI T22
    E33 = KHI T33
    0 = Eij = KHI Tij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les équations d'Einstein se réduisent alors aux 2 équations suivantes :
    b = (1/3) ρ KHI c4 + (1/3) Λ c2
    (1/2) b + a"/a = (1/2) Λ c2 - (1/2) p KHI c2
En reportant la première équation dans la seconde, on obtient les équations de Friedmann :
    (F1) (a'/a)2 + k (c/a)2 = (1/3) ρ KHI c4 + (1/3) Λ c2
    (F2) a"/a = -(1/6) (ρ + 3 p/c2) KHI c4 + (1/3) Λ c2
En dérivant la première équation par rapport à t et en remplaçant a" dans la seconde, on obtient la relation simple suivante :
    dρ/dt = -3 (a'/a)(ρ + p/c2)
Dans le cas d'une équation d'état du fluide cosmique de type : p(t) = w ρ(t) c2, cette relation devient :
    dρ/ρ = -3 (1 + w)(da/a)
qui s'intègre en :
    ρ(t) = ρ0 (a0 / a(t))3(1 + w)
    où ρ0 et a0 sont deux constantes (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
En reportant cette expression de ρ(t) dans la première équation de Friedmann (F1), on obtient une équation différentielle fonction de a(t) uniquement :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) KHI c4
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2

3.6. Décalages spectraux ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

La Relativité Générale explique avec succès trois types de décalages spectraux fondamentaux [AND Théorie - Partie 2] :

L'Effet Doppler-Fizeau qui induit un décalage spectral dû à un effet de vitesse de la source lumineuse par rapport à l'observateur.
Ce décalage est dirigé indifféremment vers le bleu ou le rouge suivant que la vitesse est une vitesse d'approche ou d'éloignement mais dont l'effet transversal est toujours dirigé vers le rouge.

L'Effet Einstein qui induit un décalage spectral d'origine gravitationnel dû à l'effet d'une masse proche de la source.
Un rayonnement émis dans un champ gravitationnel intense est observé avec un décalage qui est toujours dirigé vers le rouge.

La Loi de Hubble qui induit un décalage spectral cosmologique dû à un effet de distance de la source.
Ce décalage est toujours dirigé vers le rouge.

Pour expliquer ces phénomèmes très profonds de la physique, la Relativité Générale a dù passer par les généralisations successives de la notion d'Espace-temps :
- L'espace-temps euclidien pour interpréter l'Effet Doppler-Fizeau.
- L'espace-temps courbe pour interpréter l'Effet Einstein.
- L'espace-temps à courbure variable pour interpréter la Loi de Hubble.

4. Définitions ( Paragraphe Précédent / Suivant )

Notions utilisées dans ce chapitre, listées par ordre alphabétique :

Aberration de la lumière

Image Relativite : Aberration

L'aberration de la lumière est la différence entre les directions d'incidence d'un même rayon lumineux perçues par deux observateurs en mouvement relatif.
Dans le cas d'une source lumineuse S1 vue par un observateur S' en mouvement relatif (vitesse V) par rapport à S1, la lumière émanant de S1 semble provenir de S2 et non de S1 (voir Figure ci-dessus).
Dans le cas de la pluie tombant verticalement par rapport au sol, le piéton qui marche sous la pluie (vitesse V) doit incliner son parapluie vers l'avant s'il ne veut pas être mouillé.

Soit S un observateur d'un référentiel R et S' un observateur d'un référentiel R' en translation uniforme de vitesse V par rapport à R.
u est le vecteur unitaire de la propagation SS'.
Si la propagation u fait avec la vitesse V un angle θ dans R et θ' dans R', alors on a la relation :
    cos[θ'] = (cos[θ] - V/c) / (1 - cos[θ] V/c)
En utilisant la relation : tan2[θ/2] = (1 - cos[θ])/(1 + cos[θ]), on a la relation équivalente :
    tan[θ'/2] = ( (1 + V/c)/( 1 - V/c) )1/2 tan[θ/2]
On a donc toujours : θ' > θ, comme si la lumière reçue par l'observateur mobile se concentrait vers sa direction de déplacement.
Lorsque la propagation u est parallèle à la vitesse V dans le référentiel R (θ = 0 ou π), alors la formule se réduit à : cos[θ'] = 1 ou -1, ce qui induit : θ' = 0 ou π, et il n'y a pas d'effet d'aberration.
Lorsque u est perpendiculaire à V dans le référentiel R (θ = π/2), alors la formule se réduit à : cos[θ'] = -V/c, ce qui induit : θ' > π/2 (et le piéton doit incliner son parapluie vers l'avant).
Lorsque V est petit devant c, il n'y a pas d'effet d'aberration (θ' = θ).

Age de l'univers

L'âge de l'univers est la durée écoulée depuis le Big Bang. La meilleure approximation actuelle est donnée par : 1 / H0
où H0 est la constante de Hubble (voir Loi de Hubble),
ce qui donne un âge d'environ 13 milliards d'années.

Contraction des indices

L'opération de contraction des indices d'une composante mixte d'un tenseur consiste à choisir deux indices, l'un covariant, l'autre contravariant, puis à les égaler et à sommer par rapport à cet indice deux fois répété.
Par exemple, pour un tenseur U d'ordre trois dont les composantes mixtes sont uijk, on obtient : wi = uikk = ui11 + ui22 + ... uinn
Les quantités wi ainsi obtenues, composantes contractées du tenseur U, forment les composantes d'un tenseur W d'ordre un.
A noter que l'opérateur "produit matriciel" est un cas particulier du produit tensoriel Uij * Vkl contracté sous la forme : wil = uik vkl

Convention de dérivée partielle

Afin d'alléger les expressions des dérivées des fonctions dépendant de n variables f(x1, x2... xn), on note les dérivées partielles sous les formes suivantes :
f,i = di(f) = d(f)/d(xi)
f,i,j = dij(f) = d2(f)/(dxi dxj)
Δf = Laplacien de f = div(grad(f)) = f,1,1 + f,2,2 + ... + f,n,n

Convention de sommation (dite "convention d'Einstein")

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), tout vecteur x de cet espace peut s'écrire : x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en = Somme_pour_k_allant_de_1_à_n [xk ek]
Afin d'alléger cette écriture, on utilise une convention de notation consistant à supprimer le symbole "Somme", ce qui s'écrit sous forme condensée : x = xk ek où l'indice k (appelé indice muet) varie toujours de 1 à n.
La sommation s'effectue sur les indices à condition toutefois qu'ils soient répétés respectivement en haut et en bas dans un même monôme.
Quand le symbole prime est utilisé pour distinguer deux bases distinctes d'un même espace vectoriel, on peut encore simplifier la notation en plaçant le symbole prime sur l'indice plutôt que sur le vecteur : x = x'k e'k = xk' ek'
Certains termes d'une somme peuvent comporter plusieurs indices. Par exemple, dans la somme akm bm, la sommation se fait sur l'indice m. L'indice k (appelé indice libre) caractérise alors un terme particulier.
Ainsi, l'équation ck = akm bm pour n = 3 représente le système d'équations :
c1 = a11 b1 + a12 b2 + a13 b3
c2 = a21 b1 + a22 b2 + a23 b3
c3 = a31 b1 + a32 b2 + a33 b3
Il n'y a pas ici de sommation sur l'indice k, celui-ci se trouvant seul dans le même monôme.
Lorsque le monôme comporte plusieurs indices muets, la sommation se fait à la fois sur tous ces indices. Par exemple, akm bm ck pour n = 4 représente une somme de 16 termes :
akm bm ck = a11 b1 c1 + a12 b2 c1 + a13 b3 c1 + a14 b4 c1 + ... + a21 b1 c2 + ... + a44 b4 c4

Courbure de Ricci (ou courbure scalaire)

La courbure de Ricci est un nombre (R) de dimension m-2 obtenu par Contraction du Tenseur de Ricci sous la forme :
R = gij Rij = Rii

Covariance et contravariance

Image Relativite : Covariance et contravariance

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on appelle composantes contravariantes d'un vecteur x les nombres xi tels que : x = xi ei, et composantes covariantes les nombres xj tels que : xj = x.ej (voir Figure ci-dessus).
L'appellation contravariante (resp. covariante) vient du fait que ces composantes se transforment, lors d'un changement de base, de manière contraire (resp. identique) à celle des vecteurs de base.
Les composantes contravariantes sont notées avec des indices supérieurs.
Les composantes covariantes sont notées avec des indices inférieurs.
On a les relations suivantes :
xj = xi gij
xi = xj gij
x.y = gij xi yi
Lorsque les indices varient de 0 à 3, on emploie souvent les lettres grecques (telles que α ou μ) plutôt que les lettres latines (telles que i ou j).
A noter que lorsque la base est orthonormée, il n'y a pas de différence entre composantes covariantes et contravariantes d'un Tenseur.

Dérivée covariante (ou gradient)

Pour tout tenseur U d'ordre 2 de composantes uij, sa dérivée covariante Grad(U) est le tenseur d'ordre 3 de composantes suivantes :
uij;k = uij,k + ulj Γilk + uil Γjlk
où Γijk sont les Symboles de Christoffel.

Divergence

Pour tout tenseur U d'ordre 2 de composantes uij, sa divergence Div(U) est le tenseur d'ordre 1 obtenu en Contractant un des indices de la Dérivée covariante avec l'indice de dérivation. Ses composantes sont les suivantes :
uij;j = uij,j + ulj Γilj + uil Γjlj
où Γijk sont les Symboles de Christoffel.

Effet Doppler (ou Doppler-Fizeau)

L'effet Doppler est le changement de fréquence d'un phénomène périodique induit par le mouvement de l'émetteur par rapport au récepteur. Dans le cas des ondes sonores par exemple, le son émis par une voiture qui s'approche est plus aigu que celui émis lorsqu'elle s'éloigne.
Prenons le cas général en Relativité Restreinte d'une onde lumineuse se propageant à la vitesse d'onde c.
Si f est la fréquence de l'onde perçue par un observateur S d'un référentiel R, alors tout observateur S' d'un référentiel R' en translation uniforme de vitesse V par rapport à R percevra cette même onde à la fréquence f' suivante.
u est le vecteur unitaire de la propagation SS' (voir Figure ci-dessus appelée "Aberration").

(D1) Effet Doppler longitudinal (u parallèle à V) :
    f' = f gamma (1 - (V.u)/c)
Lorsque V est petit devant c, on retrouve les formules approximatives non relativistes :
    f' = f (1 - (Vr.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse Vr = V) et émetteur immobile par rapport au milieu de la propagation
    f' = f / (1 - (Ve.u)/c) pour des récepteur immobile et émetteur mobile (vitesse Ve = -V) par rapport au milieu de la propagation
    f' = f (1 - (Vr.u)/c) / (1 - (Ve.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse Vr) et émetteur mobile (vitesse Ve) par rapport au milieu de la propagation (vitesse relative Vr - Ve = V).

(D2) Effet Doppler transversal à l'émission (u perpendiculaire à V dans R) :
    f' = f gamma
(D3) Effet Doppler transversal à la réception (u perpendiculaire à V dans R') :
    f' = f gamma-1

(D4) Effet Doppler (formule générale) :
Si la propagation u de la lumière fait avec la vitesse V un angle θ dans R ou θ' dans R', alors on a la relation :
    f' = f gamma (1 - cos[θ] V/c) = f gamma-1 (1 + cos[θ'] V/c)-1
la relation entre les angles θ et θ' étant donnée par la formule d'Aberration.
Pour θ = θ' = 0° ou 180°, on retrouve la formule (D1) avec décalage vers le rouge ou vers le bleu selon que l'observateur de R' s'éloigne ou se rapproche de la source lumineuse de R.
Pour θ = 90°, on retrouve la formule (D2) avec décalage vers le bleu.
Pour θ' = 90°, on retrouve la formule (D3) avec décalage vers le rouge.
Lorsque V est petit devant c, on retrouve la formule approximative non relativiste :
    f' = f (1 - (Vr.u)/c) / (1 - (Ve.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse Vr) et émetteur mobile (vitesse Ve) par rapport au milieu de la propagation (vitesse relative Vr - Ve = V).

Démonstration partielle [ANN Electricité 2] :

Effet Doppler longitudinal (voir Figure dans Transformation de Lorentz-Poincaré) :
L'équation de l'onde lumineuse se propageant dans la direction Ox est la suivante pour l'observateur lié à R :
    s(x, t)= s0 cos[ 2 π f (t - x/c) ]
Pour l'observateur lié à R', elle devient s(x', t') en utilisant la transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
    (L1') x = gamma (x' + V t')
    (L2') t = gamma (t' + B x')
    (L3) gamma = 1 / (1 - V2/c2)1/2
    (L4) B = V / c2
D'où :
    s(x', t')= s0 cos[ 2 π f gamma (t'(1 - V/c) + x'(B - 1/c)) ]
La fréquence f' perçue est donc :
    f' = f gamma (1 - V/c)
L'Effet Doppler longitudinal est dit du premier ordre parce qu'il dépend de (1 - V/c). Il provoque une diminution de fréquence pour V > 0 (fuite de l'observateur par rapport à l'onde) et une augmentation dans le cas contraire.

Effet Doppler transversal à l'émission (voir Figure dans Transformation de Lorentz-Poincaré) :
L'équation de l'onde lumineuse se propageant dans la direction Oy est la suivante pour l'observateur lié à R :
    s(y, t)= s0 cos[ 2 π f (t - (y/c)) ]
Pour l'observateur lié à R', elle devient s(x', y', t') en utilisant la transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
    (L0') y = y'
    (L2') t = gamma (t' + B x')
D'où :
    s(x', y', t')= s0 cos[ 2 π f gamma (t' + B x' - gamma-1 (y'/c)) ]
La fréquence f' perçue est donc :
    f' = f gamma
L'Effet Doppler transversal est dit du second ordre.

Effet Einstein (ou décalage spectral gravitationnel)

La fréquence d'une source lumineuse produite dans un champ de gravitation est diminuée (donc décalée vers le rouge) quand elle est observée depuis un lieu où la gravitation est moindre. Il s'agit d'un pur effet de Relativité Générale et non d'un décalage par Effet Doppler.
En utilisant la Métrique de Schwarzschild centrée sur un corps massif (masse M) à symétrie sphérique, et dans le cas particulier d'une constante cosmologique nulle et d'un champ de gravitation dans le vide, la fréquence observée f' à la distance radiale r' est fonction de la fréquence produite f à la distance radiale r selon la loi :
f' = f ( (1 - r*/r)/(1 - r*/r') )1/2
où r* est le rayon gravitationnel (r* = 2 G M/c2).
Lorsque l'observateur est situé en un lieu de gravitation moindre que le lieu de la source (r' > r), on trouve (f' < f) correspondant à l'observation d'un décalage vers le rouge.

Equations d'Einstein

Voir Les équations d'Einstein

Equations de Friedmann

Voir Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Equations de Lorentz-Poincaré

Voir Transformation de Lorentz-Poincaré

Equations de Maxwell

Toute particule de charge q et de vitesse v, soumise à un champ électrique E et à un champ magnétique B, subit la force de Lorentz F_LORENTZ = q (E + v x B)

Les équations de James Clerk Maxwell précisent alors l'évolution des champs électromagnétiques E et B. Dans le vide, ils s'écrivent :
    div(E) = ρ / ε0
    rot(E) = - dB/dt
    div(B) = 0
    rot(B / μ0) = j + ε0 dE/dt
les deux densités ρ et j étant reliées par la relation de la conservation des charges : div(j) + dρ/dt = 0
E est le champ électrique (en m-1.V ou C-1.N ou m.kg.s-3.A-1)
B est le champ magnétique (en T ou kg.s-2.A-1)
j est la densité de courant (en m-2.A)
v est la vitesse de la particule (en m.s-1)
q est la charge électrique (en C ou s.A)
ρ est la densité de charge électrique (en m-3.s.A)
μ0 est la perméabilité du vide : μ0 = 4 π 10-7 m.kg.A-2.s-2
ε0 est la permittivité diélectrique dans le vide : ε0 = 1 / (μ0 c2)
c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 2,99792458 108 m.s-1)
Les opérateurs vectoriels utilisés sont les suivants :
v1.v2 et v1 x v2 : produit scalaire et produit vectoriel de deux vecteurs quelconques v1 et v2.
div(v) et rot(v) : divergence et rotationnel du vecteur quelconque v.

On démontre (ardument) que ces équations sont invariantes par rapport aux équations de Lorentz-Poincaré.

Equation de Poisson

En gravitation universelle Newtonienne, le potentiel gravitationnel (non relativiste) ψ est relié à la masse volumique ρ du milieu physique par l'équation de Poisson :
    Δψ = 4 π G ρ
où Δ est l'opérateur Laplacien (voir Convention de dérivée partielle).
et G est la constante de gravitation universelle (G = 6,6726 10-11 m3.kg-1.s-2).

Démonstration
Si G est le champ de gravitation produit en un point O de masse m par une source sphérique S de masse M située à la distance r de O, on a les relations suivantes :
    F = m G
    G = -u G M / r2
    G = -grad(ψ)
    ψ = -G M / r
F = force de gravitation exercée en O
u = vecteur unitaire de la ligne SO
On démontre par ailleurs que le champ G est caractérisé par les deux lois :
    div(G) = -4 π G ρ
    rot(G) = 0
de façon analogue au champ électrique E par rapport au potentiel électrique V en l'absence de champ magnétique B :
    div(E) = ρ_charge / ε0
    rot(E) = 0
    ΔV = -ρ_charge / ε0
D'où le résultat :
    div(G) = div(-grad(ψ)) = -Δψ = -4 π G ρ

Espace-temps

L'espace-temps est un espace à quatre dimensions où le temps n'est plus une grandeur séparée, indépendante de l'espace, mais une variable jouant le même rôle que les variables spatiales. La notion de Simultanéité n'est plus universelle.
Dans cet espace-temps, un point ou événement x(x, y, z, t) est repéré par un vecteur x à quatre dimensions appelé quadrivecteur ou 4-vecteur dont les composantes sont notées :
- En coordonnées cartésiennes : x0 = ct ; x1 = x ; x2 = y ; x3 = z
- En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ =[0, 2 π]) : x0 = ct ; x1 = r ; x2 = θ ; x3 = φ

Genre d'un vecteur

Un vecteur quelconque v de l'Espace-temps est dit :
- du genre temps lorsque le Produit scalaire v.v < 0. C'est le cas du vecteur tangent à la trajectoire d'une particule de masse non nulle (trajectoire appelée "ligne d'univers"). Deux événements de l'Espace-temps peuvent être reliés par une information allant à une vitesse inférieure à celle de la lumière.
- du genre lumière (ou vecteur lumière ou vecteur isotrope) lorsque le Produit scalaire v.v = 0 avec v différent de 0. C'est le cas du vecteur tangent à la trajectoire d'une particule de masse nulle (photon par exemple). Deux événements de l'Espace-temps peuvent être reliés par une information allant à la vitesse de la lumière.
- du genre espace lorsque le Produit scalaire v.v > 0. C'est le cas du vecteur ni genre temps ni genre lumière. Deux événements de l'Espace-temps ne peuvent pas être reliés par une information allant à la vitesse de la lumière.

Géodésiques

Les géodésiques décrivent le mouvement des particules libres, c'est-à-dire lorsqu'elles ne sont pas soumises à une force externe (autre que la gravitation dans le cadre de la Relativité Générale).
Pour une Métrique donnée, une géodésique est la courbe (ou trajectoire) de plus courte distance entre deux points donnés.
Le mouvement des systèmes matériels et des photons dans l'espace-temps est décrit par les équations tensorielles des géodésiques. Avec la Métrique relativiste, elles s'écrivent :
    (d2xi / dp2) + Γilk (dxk/dp) (dxl/dp) = 0
    où p est l'abscisse curviligne (ou paramètre affine) le long de la trajectoire
    et Γijk sont les symboles de Christoffel.
On peut choisir pour p le Temps propre τ de la particule satisfaisant à : ds2 = -c22
Si le Tenseur métrique g est connu (et donc Γ), cette équation constitue un système de 4 équations différentielles du second ordre pour les 4 fonctions xi. D'après le théorème de Cauchy, ce système admet une solution unique si on se fixe les conditions initiales suivantes :
    xi(0) = quatre constantes arbitraires
    (dxi/dp)(0) = ui0
    ui0 étant quatre constantes vérifiant : gij ui0 uj0 = -c2

En Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski) avec coordonnées cartésiennes, les coefficients gij sont tous constants, ce qui annule tous les symboles de Christoffel. Les équations des géodésiques se réduisent alors à : d2xi / dp2 = 0 dont les solutions sont les lignes droites ordinaires : xi(p) = ai(p) p + bi

Limite Newtonienne

L'Equation de Poisson de la gravitation Newtonienne (Δψ = 4 π G ρ) est un cas particulier des Equations d'Einstein qui correspond à un espace-temps isotrope spatialement, contenant un fluide parfait non relativiste (p << ρ c2), dans un champ gravitationnel faible (|ψ| << c2), et sans constante cosmologique (Λ = 0).
Cette limite Newtonienne fournit le coefficient de couplage (KHI = 8 π G/c4) utilisé dans les Equations d'Einstein ainsi que le rayon gravitationnel de Schwarzschild (r* = 2 G M c-2) utilisé dans la Métrique de Schwarzschild.

Démonstration (ardue) :
En champ gravitationnel faible, on peut toujours trouver un système de coordonnées (xi pour i = 0 à 3) = (ct, x, y, z) où les composantes de la métrique s'écrivent en prenant la convention de signe (- + + +) :
    (N1a) ds2 = -A2 c2dt2 + A-2 (dx2 + dy2 + dz2)
    (N1b) A = 1 + (ψ/c2)
où ψ désigne le potentiel gravitationnel Newtonien (ψ = -G M / r) satisfaisant : |ψ| << c2
On note o(B) la fonction "petit o de la quantité B au voisinage de 1" qui est la fonction négligeable de Landau.
Cette métrique s'écrit au premier ordre en ψ/c2 sous la forme équivalente suivante :
    (N2a) ds2 = -(1 + B + o(B2)) c2dt2 + (1 - B + o(B2)) (dx2 + dy2 + dz2)
    (N2b) B = 2 (ψ/c2) = -2 G M c-2 / r = B(r)
On notera les relations utiles suivantes :
    (N3a) r B,i = r dB/dxi = r (dB/dr)(dr/dxi) = -B (xi/r) = o(B)
    (N3b) r2 B,i,j = r2 d(B,i)/dxj = -xi r2 d(B r-2)/dxj = 3 B (xi/r) (xj/r) = o(B)
    (N3c) Théorème de Schwartz : B,i,j = B,j,i
    (N3d) B,i,0 = B,0 = 0

Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont alors les suivants :
    (P1a) g00 = -(1 + B + o(B2)) = -1 + o(B)
    (P1b) g11 = g22 = g33 = (1 - B + o(B2)) = 1 + o(B)
    (P1c) gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    (P2a) g00 = 1/g00 = -1 + o(B)
    (P2b) g11 = g22 = g33 = 1/g11 = 1 + o(B)
    (P2c) gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
On notera la relation utile suivante :
    (P3) r gii,k = -r B,k + o(B2)

Les Symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = Γikj = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
Compte-tenu de la relation (P2c), ces relations se simplifient en :
    (S1a) Γijk = Ki Gijk
    (S1b) Ki = (1/2) gii
    (S1c) Gijk = gik,j + gij,k - gjk,i
Quatre cas distincts sont à considérer selon les valeurs de i, j et k.
Compte-tenu des relations (P3)(P2b)(P1c), ces cas s'écrivent au premier ordre en B (sans le terme o(B2)) :
Cas 1 où (i = 0) et (j = 0)
    Exemples : (ijk) = (000), (001), (010)
    Gijk = g0k,0 + g00,k - g0k,0 = g00,k = -B,k
    Γ00k = Γ0k0 = (-1/2) g00 B,k
Cas 2 où (i <> 0) et (j = i)
    Exemples : (ijk) = (101), (110), (111)
    Gijk = gik,i + gii,k - gik,i = gii,k = -B,k
    Γiik = Γiki = (-1/2) g11 B,k
Cas 3 où (i <> j) et (j = k)
    Exemples : (ijk) = (011), (100)
    Gijk = gik,k + gik,k - gkk,i = -gkk,i = B,i
    Γikk = (1/2) gii B,i = (1/2) g11 B,i
Cas 4 où (i, j et k tous différents)
    Exemples : (ijk) = (012), (102)
    Gijk = gik,j + gij,k - gjk,i = 0
    Γijk = 0
Compte-tenu des relations (P2a)(P2b)(N3a)(N3b), on notera les relations utiles suivantes :
    (S2a) r Γijk = o(B)
    (S2b) r2 Γijk,l = o(B)
    (S2c) Γijk,0 = 0

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = (Γkij,k - Γkik,j) + (Γkkl Γlij - Γkjl Γlik)
Compte-tenu des relations (S2a)(S2b), ces relations se simplifient en :
    (T1) r2 Rij = r2 Rji = r2kij,k - Γkik,j) + o(B2)
D'où l'expression de chaque Rij au premier ordre en B :

Composante R00 :
Compte-tenu de la relation (S2c) et du Cas 3 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γk00,k = Γ000,0 + [Γk00,k]pour_k<>0 = 0 + Somme_pour_k<>0[(1/2) g11 B,k,k] = (1/2) g11 ΔB
S2 = Γk0k,0 = 0
R00 = S1 - S2 = (1/2) g11 ΔB = (1/2) ΔB

Composante Rii pour (i<>0) :
Compte-tenu de la relation (S2c) et des Cas 2, 3 et 1 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γkii,k = Γiii,i + Γ0ii,0 + [Γkii,k]pour_k<>i_et_k<>0 = (-1/2) g11 B,i,i + 0 + Somme_pour_k<>i_et_k<>0[(1/2) g11 B,k,k] = (-1/2) g11 (2 B,i,i - ΔB)
S2 = Γkik,i = Γ0i0,i + [Γkik,i]pour_k<>0 = (-1/2) g00 B,i,i + Somme_pour_k<>0[(-1/2) g11 B,i,i] = (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,i
Rii pour (i<>0) = S1 - S2 = (1/2) (g00 + g11) B,i,i + (1/2) g11 ΔB = (1/2) ΔB = R00

Composante Rij pour (i<>j) :
Compte-tenu des relations (S2c)(N3d)(N3c) et des Cas 4, 2 et 1 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γkij,k = S11 + S12
S11 = [Γkij,k]pour_k<>i_et_k<>j = 0 + 0
S12 = Γiij,i + Γjij,j
    Cas A : Si (i=0) et (j<>0) : S12 = Γ00j,0 + Γj0j,j = 0 + (-1/2) g11 B,0,j = 0
    Cas B : Si (i<>0) et (j=0) : S12 = Γii0,i + Γ0i0,0 = (-1/2) g11 B,0,i + 0 = 0
    Cas C : Si (i<>0) et (j<>0) : S12 = Γiij,i + Γjij,j = (-1/2) g11 B,j,i + (-1/2) g11 B,i,j = (-1/2) 2 g11 B,i,j
S1 = S11 + S12 = S12
S2 = Γkik,j = S21 + S22
S21 = Γ0i0,j = (-1/2) g00 B,i,j
S22 = [Γkik,j]pour_k<>0 = 3 (-1/2) g11 B,i,j
S2 = S21 + S22 = (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,j
Rij pour (i<>j) = S1 - S2 =
    Cas A : 0 - (-1/2) (g00 + 3 g11) B,0,j = 0
    Cas B : 0 - (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,0 = 0
    Cas C : (1/2) (g00 + g11) B,i,j = 0
Rij pour (i<>j) = 0 quel que soit le Cas A, B ou C.

La Courbure de Ricci s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
Compte-tenu de la relation (P2c), R se simplifie en :
    (C1) R = gii Rii
D'où l'expression de R au premier ordre en B :
R = g00 R00 + Somme_pour_i<>0[gii Rii] = g00 R00 + g11 (3 R00) = 2 R00 = ΔB

Le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Eab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab
En remplaçant dans cette relation les expressions trouvées pour gij, gij, Rij et R, on obtient au premier ordre en B :
E00 = R00 - (1/2) g00 R + Λ g00 = ΔB - Λ
Eii pour (i<>0) = Rii - (1/2) g11 R + Λ g11 = Λ
Eij pour (i<>j) = Rij - (1/2) gij R + Λ gij = 0

Le Tenseur Energie-impulsion du Fluide Parfait de densité ρ et de pression p, s'obtient ensuite par la relation : Tij = (c2 ρ + p) ui uj + p gij
Dans le cas d'un espace-temps isotrope spatialement contenant un fluide parfait non relativiste (p << ρ c2), alors Tij s'écrit :
    T00 = ρ c2
    Les autres composantes Tij sont toutes nulles.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors par la relation : Eab = KHI Tab et donnent au premier ordre en B :
    ΔB - Λ = E00 = KHI T00 = KHI ρ c2
    Λ = Eii pour (i<>0) = KHI Tii = 0
    0 = Eij pour (i<>j) = KHI Tij = 0
Compte-tenu de la relation (N2b), la première équation s'écrit :
    Δψ = (1/2) KHI ρ c4 + (1/2) Λ c2
Dans le cas où la constante cosmologique est nulle (Λ = 0), les dix équations d'Einstein se réduisent alors à une seule équation (Δψ = (1/2) KHI ρ c4). En choisissant un coefficient de couplage KHI égal à : KHI = 8 π G/c4, on retrouve alors l'équation de Poisson de la gravitation Newtonienne (Δψ = 4 π G ρ).
En comparant le g00 de la métrique de Schwarzschild (g00 = -(1 - r*/r)) avec le g00 de la limite Newtonienne (g00 = -(1 + B)), on obtient le rayon gravitationnel de Schwarzschild : r* = 2 G M c-2

Loi de Hubble

La loi de Edwin Powell Hubble énonce que les galaxies s'éloignent les unes des autres à une vitesse v d'expansion approximativement proportionnelle à leur distance d :
v = H(t) d
où H(t) est le paramètre de Hubble utilisé notamment dans les Equations de Friedmann.
La vitesse v n'est pas une vitesse physique. Elle traduit seulement la dilatation de l'Espace-temps qui provoque un mouvement d'ensemble des galaxies de l'univers. Ainsi, la Terre recule devant la lumière parce que l'espace-temps se dilate.
La valeur actuelle H(t) (appelée constante H0 de Hubble) vaut environ 70 (km/s)/Mpc, avec 1 pc = 1 parsec = 3,2616 années-lumière = 3,085677581 1016 m
Toute galaxie lointaine ayant même Temps propre que l'observateur (appelé temps cosmique), il n'y a pas d'effet de temps relatif (Effet Doppler-Fizeau) sur sa période de rayonnement mais un simple effet de retard différentiel sur la période du rayonnement reçu.
A ce mouvement d'ensemble se superposent les mouvements propres acquis par les galaxies du fait de leurs interactions gravitationnelles avec leurs voisines.

Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (ou métrique FLRW)

La Métrique de Alexander Alexandrowitsch Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker est une Métrique relativiste correspondant à un espace-temps spatialement homogène et isotrope.
En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ =[0, 2 π]), cette métrique s'écrit en prenant la convention de signe (- + + +) :
ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 (1 - k r2)-1 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )
où k est une constante appelée paramètre de courbure de l'espace qui peut être plate (k = 0), fermée (k = 1) ou ouverte (k = -1) ;
et a(t) une fonction de t uniquement, appelée facteur d'échelle ou rayon de l'univers (a(t) > 0).
La coordonnée r est sans dimension et le rayon (a) a la dimension d'une longueur.
Les potentiels de gravitation gij sont alors les suivants :
g00 = -1 ; g11 = a(t)2 (1 - k r2)-1 ; g22 = a(t)2 r2 ; g33 = a(t)2 r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Le signe de d(a)/dt renseigne sur l'évolution de l'univers : positif si expansion, négatif si contraction et nul si statique.
Les coordonnées (xi) décrivent alors des hypersurfaces spatiales de type espace euclidien (pour k = 0), sphérique ou elliptique (pour k = 1) et hyperbolique (pour k = -1).
Pour k = 0, on retrouve la Métrique de Minkowski : ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )

Démonstration [GOUR Relativité Générale] :
Un espace-temps spatialement homogène et isotrope est équivalent à un espace maximalement symétrique de dimension 3 (ou encore à courbure k* constante spatialement) avec trois types possibles d'espaces maximalement symétriques selon la valeur de k* (non démontré ici) :
Si k* = 0, l'espace est l'espace euclidien R3 de métrique :
    ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )
Si k* > 0, l'espace est l'hypersphère S3 de métrique :
    ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dΧ2 + sin2[Χ] (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )
Si k* < 0, l'espace est l'espace hyperbolique H3 de métrique :
    ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dρ2 + sinh2[ρ] (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )
avec Χ = [0, π] et ρ > 0
En posant r = sin[Χ] = sinh[ρ], ces trois métriques se mettent sous une forme commune :
ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 (1 - k r2)-1 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )
avec k = 0 pour l'espace euclidien, k = 1 pour l'hypersphère et k = -1 pour l'espace hyperbolique.
A noter que la courbure k* vaut alors : k* = 6 k a(t)-2

Métrique de Minkowski

La Métrique de Hermann Minkowski est une Métrique relativiste correspondant à l'espace-temps plat de la Relativité Restreinte. Cette métrique est solution des Equations d'Einstein sous les conditions Λ = 0 et Tab = 0 (vu que la Courbure de Ricci Rab est nulle).
Les coordonnées sont les suivantes en prenant la convention de signe (- + + +) :

En coordonnées cartésiennes : ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2
correspondant aux potentiels de gravitation gij tels que : g00 = -1 ; g11 = 1 ; g22 = 1 ; g33 = 1 ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3.
Cette métrique gij_MINK a les propriétés suivantes : gij = gji = gij = gji

En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ =[0, 2 π]) : ds2 = -c2dt2 + dr2 + r22 + r2 sin2[θ] dφ2
correspondant aux potentiels de gravitation gij tels que : g00 = -1 ; g11 = 1 ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3.

Métrique de Schwarzschild

La métrique de Karl Schwarzschild est une Métrique relativiste correspondant au champ gravitationnel statique et à symétrie centrale. C'est le cas du Soleil et de nombreux astres. Le corps central est à symétrie sphérique et sans être nécessairement statique (par exemple une étoile pulsante qui oscille radialement ou une étoile qui s'effondre en un trou noir en maintenant sa symétrie sphérique). Le champ gravitationnel doit être par contre statique, même s'il ne l'est pas dans la zone où se trouve la matière. A noter que le champ gravitationnel est nécessairement statique en symétrie sphérique et dans le vide (théorème de Birkhoff).
En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ =[0, 2 π]), cette métrique s'écrit en prenant la convention de signe (- + + +) :
ds2 = -e2 μ c2dt2 + e2 α dr2 + r22 + r2 sin2[θ] dφ2
où μ et α sont des fonctions uniquement de r.
Les potentiels de gravitation gij sont alors les suivants :
g00 = -e2 μ ; g11 = e2 α ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Démonstration [GOUR Relativité Générale] :
La symétrie centrale sphérique du champ permet d'écrire la métrique sous la forme suivante :
ds2 = -N2 c2dt2 + A2dr2 + B2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
où les composantes N, A et B sont des fonctions de r et de t.
La staticité du champ permet ensuite de supprimer la dépendance de t dans ces composantes.
Par ailleurs, on peut toujours choisir comme coordonnée r le rayon aréolaire des sphères d'invariance liées à la symétrie sphérique.
D'où les résultats :
N(r,t) = N(r) = eμ
A(r,t) = A(r) = eα
B(r,t) = B(r) = r

Métrique relativiste

Si (ds) est la distance (ou intervalle) entre deux événements infiniments voisins de l'Espace-temps, alors la métrique relativiste est le carré de cette distance et s'écrit : ds2 = gij dxi dxj
Dans l'Espace-temps courbe de la Relativité Générale, cette métrique s'écrit en coordonnées cartésiennes :
ds2 = g00 (c dt)2 + g01 (c dt) dx + g02 (c dt) dy + g03 (c dt) dz +
g10 dx (c dt) + g11 dx2 + g12 dx dy + g13 dx dz +
g20 dy (c dt) + g21 dy dx + g22 dy2 + g23 dy dz +
g30 dz (c dt) + g31 dz dx + g32 dz dy + g33 dz2
Les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.

Modèle cosmologique standard

Le modèle cosmologique qui décrit le mieux à l'heure actuelle l'histoire et le comportement de l'univers observable est le modèle standard de la cosmologie (ou modèle avec Big Bang ou modèle ΛCDM signifiant "Λ Cold Dark Matter").
Ce modèle représente un univers (voir courbe C4 en Figure 1 ci-dessus) :
- spatialement homogène et isotrope à grande échelle (donc aussi à courbure spatiale constante). Voir Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.
- rempli d'un fluide parfait de pression généralement nulle (gaz de galaxies correspondant à : w = 0) et de densité ρ composée de matière chaude (relativiste ou rayonnement) et matière froide (non relativiste).
- dont la courbure spatiale est nulle (k = 0).
- qui contiendrait, en plus de la matière ordinaire, de la matière noire (surplus de gravité dont les galaxies ont besoin pour ne pas se défaire durant leur rotation) et de l'énergie noire (force répulsive globale qui tend à accélérer l'expansion de l'univers et nécessitant : Λ > 0).
- issu d'une explosion primordiale telle que le facteur d'échelle a(t) tende vers 0 quand t tend vers 0 (modèle avec Big Bang).

Opérateurs sur les tenseurs

Soient U, V et W des Tenseurs d'ordre quelconque et de valence quelconque portant sur les indices i,j,k,l...
En utilisant la Convention de sommation, on définit les opérations suivantes sur ces tenseurs :
- Somme (Wijk = Uijk + Vijk) de composantes : wijk = uijk + vijk
- Produit par un scalaire s (Wijk = s Uijk) de composantes : wijk = s uijk
- Produit scalaire (W = Uij.Vij) de composante : w = uij vij
- Produit tensoriel (Wijkl = Uij * Vkl) de composantes : wijkl = uij vkl
- Dérivée covariante
- Divergence
- Elévation d'indice :
    Un indice inférieur peut être changé en un indice supérieur par multiplication avec le Tenseur métrique inverse gij. Exemples :
    uik = gij ujk
    uik = gil gkm ulm
- Abaissement d'indice :
    Un indice supérieur peut être changé en un indice inférieur par multiplication avec le Tenseur métrique gij. Exemples :
    uik = gij ujk
    ulm = gjl gkm ujk
    uklm = glp ukpm
- Contraction des indices

Produit scalaire et norme de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x et y s'écrit :
x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yi
où les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.

La norme ||x|| d'un vecteur x quelconque est la racine carrée de la valeur absolue du produit scalaire de x par lui-même :
||x|| = (|x.x|)1/2

Quadriaccélération

La quadriaccélération ou 4-accélération d'un point quelconque x de l'Espace-temps est le quadrivecteur a qui mesure la variation du champ de Quadrivitesses u le long de la trajectoire du point. Ce vecteur de dimension m-1 est défini par la relation suivante [GOUR Relativité Restreinte, p.38] :
a = (1/c) du/dτ = ai ei
où τ est le Temps propre du point.
et ei sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel de dimension 4.

On a les propriétés suivantes :
a est orthogonal à u : a.u = 0
a est soit le vecteur nul soit un vecteur du Genre espace : a.a ≥ 0

Quadrivitesse

La quadrivitesse ou 4-vitesse d'un point quelconque x de l'Espace-temps est l'unique quadrivecteur unitaire u qui est tangent à la trajectoire du point et dirigé vers le futur. Ce vecteur sans dimension est défini par la relation suivante [GOUR Relativité Restreinte, p.36] :
u = (1/c) dx/dτ = ui ei
où τ est le Temps propre du point
et ei sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel de dimension 4.

On a la propriété suivante :
u est un vecteur unitaire du Genre temps : u.u = -1

Simultanéité

En Relativité Restreinte, on démontre que deux événements situés en des lieux différents peuvent être simultanés dans un référentiel sans l'être dans un autre. La notion de simultanéité perd son caractère universel.
Démonstration :
Soit deux événements simultanés (x1, y1, z1, t1) et (x2, y2, z2, t2 = t1) dans le référentiel R. Dans le référentiel R' en translation uniforme par rapport à R, la durée (t'2 - t'1) entre ces deux mêmes événements s'écrit, compte-tenu des équations de Lorentz-Poincaré (L2) :
t'2 - t'1 = gamma ( (t2 - t1) - B (x2 - x1) ) = -gamma B (x2 - x1)
gamma et B étant donnés par les équations (L3) et (L4).
Lorsque les deux événements ne sont pas localisés aux mêmes points, la différence spatiale (x2 - x1) dans R n'est pas nulle. La différence temporelle (t'2 - t'1) dans R' n'est donc pas nulle malgré la simultanéité (t2 = t1) des deux événements dans R.

Symboles de Christoffel (ou de connexion)

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), les symboles de Christoffel Γijk représentent l'évolution des vecteurs de base en fonction de leur dérivée partielle.
En utilisant la Convention de dérivée partielle et la Convention de sommation, cela s'écrit : ej,k = Γijk ei
Γijk est symétrique par rapport aux indices inférieurs : Γijk = Γikj

Γijk peut s'exprimer en fonction des composantes gij du Tenseur métrique :
Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
Démonstration :
En dérivant gij = ei.ej par rapport à xk, on obtient :
gij,k = (ei,k).ej + ei.(ej,k) = (Γlik el).ej + ei.(Γljk el)
D'où le résultat :
gij,k = Γlik glj + Γljk gil
Une permutation circulaire des trois indices i, j, k donne alors les deux égalités suivantes :
gki,j = Γlkj gli + Γlij gkl
gjk,i = Γlji glk + Γlki gjl
Ce qui donne ensuite par combinaison linéaire :
gij,k + gki,j - gjk,i = 2 Γlkj gil
En multipliant les deux membres par gmi et en utilisant la relation gmi gil = δml, on obtient :
Γmkj = (1/2) gmi (gij,k + gki,j - gjk,i)
En renommant les indices (i en l et m en i), on obtient finalement :
Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)

Symbole de Kronecker

L'expression du symbole δ de Kronecker est la suivante :
δik = δik = δik = 1 si i = k et 0 sinon.

Symbole de Levi-Civita

L'expression du symbole ε de Levi-Civita est la suivante :
εijkl... = εijkl... =
    0 si deux indices ou plus (i,j,k,l...) sont égaux
    +1 si (i,j,k,l...) est une permutation paire de (1,2,3,4...)
    -1 si (i,j,k,l...) est une permutation impaire de (1,2,3,4...)
Quand deux indices quelconques, égaux ou non, sont interchangés, le symbole est multiplié par -1 :
ε...i...l... = -ε...l...i...
Pour 3 indices (i,j,k) on a :
    εijk = +1 pour 123 ou 231 ou 312
    εijk = -1 pour 132 ou 213 ou 321
Pour 4 indices (i,j,k,l) on a :
    εijkl = +1 pour 1234 ou 1342 ou 1423 ou 2143 ... ou 4321
    εijkl = -1 pour 1243 ou 1324 ou 1432 ou 2134 ... ou 4312
ε permet notamment d'exprimer certaines opérations vectorielles sous forme compacte :
- Produit vectoriel (w = u x v) de composantes : wi = εijk uj vk
- Rotationnel (w = rot(u)) de composantes : wi = εijk uk,j
- Déterminant (d = det(u,v,w)) de composante : d = εijk ui vj wk

Temps propre/apparent et Durée propre/apparente

Chaque corps de référence a son temps propre. Ce temps propre (ou vrai) est le temps (τ) mesuré dans le référentiel où le corps est immobile. A l'inverse, le temps apparent (ou impropre ou observé ou "mesuré" ou local ou relatif) est le temps (t) mesuré dans un référentiel mobile par rapport à ce référentiel propre.
Toutes les mesures sont réalisées par des horloges fixes dans leur référentiel et dont le mécanisme interne est généralement insensible au mouvement des référentiels. Une horloge atomique constitue une horloge idéale car le temps qu'elle fournit ne dépend quasiment pas des accélérations subies qui sont très faibles par rapport à l'accélération centripète d'un électron autour de son noyau atomique (de l'ordre de 1023 m.s-2).

En Relativité Restreinte, pour un référentiel donné, la durée propre (d0) est l'intervalle de temps qui sépare deux événements se produisant en un même lieu de ce référentiel. Dans tout autre référentiel, la durée est supérieure à la durée propre et s'appelle durée apparente (d). Certains auteurs parlent à ce propos de "dilatation des durées" ou de "ralentissement des horloges mobiles".

Le temps propre τ d'une particule matérielle le long de sa trajectoire est définie par la relation : dτ = (1/c) (-ds2)1/2
où ds2 est la Métrique relativiste.

Démonstration de la relation : d > d0 [ANN Electricité 2] :
Soient deux événements se produisant dans le référentiel R en un même lieu de coordonnées (x, y, z) mais à des instants différents t1 et t2. La durée (propre) les séparant est : d0 = t2 - t1.
Pour un observateur du référentiel R' en translation uniforme à la vitesse V par rapport à R, les événements se produisent aux instants t1' et t2' donnés par les équations de Lorentz-Poincaré (L2) :
t1' = gamma (t1 - B x)
t2' = gamma (t2 - B x)
et séparés par la durée (apparente) : d = t2' - t1' = gamma (t2 - t1) = d0 / (1 - V2/c2)1/2
D'où : d > d0

Tenseur

Le terme "tenseur" fut introduit par le physicien W. Voigt pour représenter les tensions dans un solide.
Un tenseur est une fonction des coordonnées de l'espace, défini dans un espace à n dimensions par nm composantes, où m est l'ordre du tenseur. Le tenseur d'ordre 0 est un scalaire et a une seule composante. Le tenseur d'ordre 1 est un vecteur à n composantes. Le tenseur d'ordre 2 est une matrice carrée à n2 composantes.
Tout tenseur possède également une valence ou type noté (h, q) où h est le nombre d'indices Contravariants (indiqués en position supérieure) et q le nombre d'indices Covariants (indiqués en position inférieure).
Pour un tenseur quelconque W, ses composantes peuvent être contravariantes (exemple : Wijk), covariantes (exemple : Wijk) ou mixtes (exemple : Wijk est un tenseur mixte d'ordre 3 avec un indice contravariant i et deux indices covariants j et k).

Le calcul tensoriel a pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et les résultats des développements mathématiques sont ainsi invariants par changement de référentiel.

Tenseur d'Einstein

Le tenseur d'Einstein (Eab) mesure la déformation locale de la chrono-géométrie de l'Espace-temps et représente sa courbure en un point donné. C'est un tenseur d'ordre deux, symétrique et à Divergence nulle (Eab;a = 0).
Ses composantes sont données dans Les équations d'Einstein.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.

Tenseur de courbure (ou de Riemann-Christoffel)

Le tenseur de courbure est un tenseur symétrique d'ordre quatre. En utilisant la Convention de dérivée partielle, ses composantes ont pour expression :
Rijkl = Γijl,k - Γijk,l + Γimk Γmjl - Γiml Γmjk
où Γijk sont les Symboles de Christoffel.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.
On a les propriétés suivantes :
Antisymétrie : Rijkl = -Rijlk
Permutation d'indices seuls : Rijkl = -Rjikl = -Rijlk
Permutation d'indices deux à deux : Rijkl = Rklij

Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci (Rab) est un tenseur symétrique d'ordre deux obtenu par Contraction du Tenseur de courbure sur les premier et troisième indices.
En utilisant la Convention de dérivée partielle, ses composantes sont les suivantes :
Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
où Γijk sont les Symboles de Christoffel.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.

Tenseur électromagnétique (ou tenseur de Maxwell ou tenseur de Faraday)

Les notations sont celles du paragraphe Equations de Maxwell
En Relativité Restreinte, la force de Lorentz (F_LORENTZ = q (E + v x B)) s'écrit sous une forme tensorielle dont les composantes sont les suivantes : Fi_LORENTZ = q Fij (vj /c)
Fij est le Tenseur électromagnétique. C'est un tenseur d'ordre 2.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-1.V ou C-1.N ou m.kg.s-3.A-1 et s'écrivent :
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = -F0i = Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1
Ei et Bi étant respectivement les composantes spatiales des champs électrique E et magnétique B.
Par élévation d'indice (voir Opérateurs sur les tenseurs), on obtient les composantes des tenseurs Fij et Fij sous la forme suivante [GOUR Relativité Restreinte, p.543] :

Fij = gik_MINK Fjk
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = F0i = Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

Fij = gil_MINK Fjl
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = -F0i = -Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

Tenseur Energie-Impulsion

Le tenseur Energie-Impulsion (Tab) peut prendre des formes très variées selon la distribution de matière ou d'énergie. En exemple : le tenseur du fluide parfait ou celui de l'électromagnétisme.
Ses composantes ont la signification suivante :
    T00 : densité d'énergie ou pression ou c2 fois la masse volumique
    Ti0 = T0i pour i > 0 : (-c) fois la composante i de la densité de l'impulsion relativiste (densité de quantité de mouvement) ou (-1/c) fois la composante i du flux d'énergie (vecteur de Poynting φ pour un champ électromagnétique)
    Tij pour i et j > 0 : composantes spatiales du tenseur des contraintes (Sij)
C'est un tenseur d'ordre deux, symétrique et construit de telle manière que sa Divergence nulle (Tab;a = 0) exprime, en mécanique des milieux continus, les deux lois de conservation de l'impulsion et de l'énergie (3 équations pour le vecteur impulsion et une équation pour l'énergie).
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-1.kg.s-2

Tenseur Energie-Impulsion du champ ElectroMagnétique

Les notations sont celles du paragraphe Equations de Maxwell
Les composantes du tenseur Energie-Impulsion (Tab_EM) du champ ElectroMagnétique sont les suivantes [GOUR Relativité Restreinte, p.635] :
    Tij_EM = ε0 (Fim Fmj - (1/4) gij Fkl Fkl)
    où Fij est le Tenseur électromagnétique.

En Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski), les calculs donnent en coordonnées cartésiennes [GOUR Relativité Restreinte, p.636] :
    T00_EM = densité d'énergie = (1/2) ε0 (E.E + c2 B.B)
    Ti0_EM = T0i_EM pour i > 0 correspondant à (-1/c) fois φ avec φ = vecteur de Poynting = (1/ μ0) E x B
    Tij_EM pour i et j > 0 correspondant à Sij = ε0 ( (1/2) (E.E + c2 B.B) δij - (Ei Ej + c2 Bi Bj) )
où δ est le Symbole de Kronecker.

Tenseur Energie-Impulsion du Fluide Parfait

Un fluide est dit "parfait" quand on peut négliger les effets de viscosité et de conduction thermique, ce qui est le cas en cosmologie.
Les composantes du tenseur Energie-Impulsion (Tab_PF) du Fluide Parfait sont les suivantes [GOUR Relativité Générale, p.114] :
    Tij_PF = (ρ c2 + p) ui uj + p gij
où :
c2 ρ et p représentent respectivement la densité d'énergie et la pression du fluide, toutes deux mesurées dans le référentiel du fluide.
u est le champ unitaire qui représente en chaque point la Quadrivitesse d'une particule de fluide (avec ui = gik uk et uj = gjk uk).

Lorsque l'observateur est co-mobile avec le fluide, les calculs donnent en coordonnées cartésiennes [GOUR Relativité Générale, p.114] :
    T00_PF = ρ c2
    Ti0_PF pour i > 0 = T0i_PF = 0
    Tij_PF pour i et j > 0 correspondant à Sij = p δij
où δ est le Symbole de Kronecker.

Le Fluide Parfait satisfait à la condition d'énergie faible lorsque : (ρ ≥ 0) et (ρ c2 ≥ -p), et à la condition d'énergie dominante lorsque : (ρ c2 ≥ |p|).

Tenseur métrique (ou fondamental)

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on note le Produit scalaire de deux vecteurs de base sous la forme : gij = ei.ej
Le tenseur métrique est le tenseur gij ayant pour composantes ces gij. C'est un tenseur d'ordre deux, symétrique et à Divergence nulle (gab;a = 0). Ses 16 composantes gij (pour i et j pris entre 0 et 3) sont appelées potentiels de gravitation. Ce sont des fonctions de x, y, z et t
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont sans dimension.

Le tenseur métrique inverse est le tenseur gij tel que : gij gjk = gik = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
La composante gij peut se calculer comme suit (règle de Cramer) :
gij = Cofacteur_ji / g
avec g = Déterminant de la matrice gij
Cofacteur_ij = (-1)i+j Mineur_ij
Mineur_ij = Déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j dans la matrice gij

On démontre les résultats suivants :
gij gij = n
gij;k = gij;k = 0
gij gij,k = -gij gij,k

5. Bibliographie ( Paragraphe Précédent / Début )

Les auteurs cités dans ce chapitre y sont mentionnés entre crochets sous la forme [AUTEUR Titre].

  1. ANDRILLAT H., La théorie de la relativité générale, Partie 1 : les fondements, Bulletin de l'Union des Physiciens, N°760 Janvier 1994.
  2. ANDRILLAT H., La théorie de la relativité générale, Partie 2 : la méthode, Bulletin de l'Union des Physiciens, N°762 Mars 1994.
  3. ANNEQUIN R. et BOUTIGNY J., Electricité 2, Cours de sciences physiques, Vuibert, 1974.
  4. GOURGOULHON E., Relativité restreinte - Des particules à l'astrophysique, EDP Sciences et CNRS Editions, 2010.
  5. GOURGOULHON E., Relativité générale, Observatoire de Paris, Universités Paris 6, 7 et 11, Ecole Normale Supérieure, cours UE FC5, 2013-2014.
  6. HARRISON E.R., Classification of uniform cosmological models, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 137, p.69-79, 1967. Correspondence with notations of this page : μ = 1 + w ; R = a ; t = ct ; G = G c-2 ; Cv = A c-2.
  7. HLADIK J., Pour comprendre simplement la théorie de la Relativité, Ellipses, 2005.
  8. HLADIK J., Initiation à la Relativité restreinte et générale, Ellipses, 2013.
  9. KHARBEDIYA L.I., Some exact solutions of the Friedmann equations with the cosmological term, In Russian : Astron. Zh. Akad Nauk SSSR, Vol. 53, 1145-1152, 1976. English translation by R.B. Rodman in Soviet Astronomy of the American Institute of Physics, Vol. 20, N°6, p.647-650, Nov.-Dec. 1976. Correspondence with notations of this page : case (r or d) = w (1/3 or 0) ; R = a ; t = ct ; h = k ; A or B = 3 A c-2 ; μ = KHI ; ρr or ρd = ρ0 c-2 ; Λcr = ΛF.
  10. LEVY-LEBLONG J.M., One more derivation of the Lorentz transformation, American Journal of Physics, Vol. 44, N°3, March 1976.
  11. POINCARE H., L'Etat actuel et l'Avenir de la physique mathématique, Bulletin des sciences mathématiques, Vol. 28, p. 302-324, 1904.


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