In English Passer le menu Accueil Billard Bélier SNH Relativité Liens Auteur

Site de Régis Petit

Relativité

Image Relativite : Geodesique

Préambule ( Paragraphe Début / Suivant )

Ce chapitre donne les formules fondamentales de la Relativité Restreinte et de la Relativité Générale avec une présentation des outils mathématiques accessible aux non-initiés.

A travers le paragraphe Définitions, nous montrerons également que bien des "mystères" de l'espace-temps ne sont pas fondés et résultent de certaines maladresses qui ne facilitent pas la compréhension de la Relativité. On peut citer :

  1. Points de vue différents :
    Par exemple, le concept de Temps est utilisé différemment (sans être contradictoire) par les auteurs. Pour les matheux, le temps se réduit à une variable purement opératoire. Pour les physiciens, le temps représente au contraire un temps physique qui est le temps réel mesuré au moyen d'horloges localisées spatialement et susceptibles de se synchroniser en échangeant des signaux lumineux.
  2. Manque de rigueur dans l'utilisation des mots :
    Par exemple, Temps et Durée sont parfois confondus, la durée étant l'intervalle de temps séparant deux événements. De même pour Temps propre et Temps apparent qui sont deux temps distincts mesurés dans des conditions différentes. De même pour temps physique et temps biologique qui sont aussi deux temps distincts.
  3. Interprétation erronée :
    Beaucoup d'auteurs ne rappellent qu'une partie des conditions d'applicabilité des formules. Les résultats publiés héritent alors d'un statut général alors qu'ils sont conditionnés à un certain domaine d'applicabilité. Par exemple, en Relativité Générale, beaucoup de formules concernent un espace vide avec constante cosmologique nulle, ce qui est rarement rappelé par les auteurs.
  4. Simplification excessive d'écriture :
    Certains auteurs allègent l'écriture des formules en éliminant certaines constantes (par exemple : vitesse de la lumière (c) ou constante de gravitation universelle (G) mises à 1). La vérification de l'homogénéité des formules n'est plus possible et peut faire place à des erreurs dans l'application numérique de ces formules.
  5. Présentation insuffisamment pédagogique :
    Peu d'auteurs placent la démonstration des formules (souvent longue) après leur énoncé, idéalement dans un encart déporté.
    De même, peu d'auteurs produisent, en complément du texte, des exemples et des schémas illustratifs (interprétations géométriques par exemple).

Sommaire de ce chapitre ( Paragraphe Précédent / Suivant )

  1. Qu'est-ce que la Relativité ?
  2. Relativité Restreinte
    1. Historique
    2. Transformation de Lorentz-Poincaré
    3. Démonstration
  3. Relativité Générale
    1. Historique
    2. Les équations d'Einstein
    3. Résolution des équations d'Einstein
    4. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild
    5. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
    6. Décalages spectraux
  4. Définitions
  5. Bibliographie

1. Qu'est-ce que la Relativité ? ( Paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Qu'est-ce que la Relativite ?

"A l'échelle humaine, la vitesse de la lumière est prodigieusement grande (environ 300 000 km/s). Lorsqu'une source lumineuse quelconque nous envoie un signal, la lumière nous apporte une information quasi-instantanée. Nous croyons voir l'espace à un instant donné. Le temps nous semble absolu, séparé de l'espace." [AND Théorie - Partie 1]

Imaginons deux observateurs O et O', en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, qui veulent régler leurs montres par échange de signaux optiques. Supposons que les deux montres soient synchronisées, par un moyen quelconque, de façon qu'elles indiquent la même heure à un même instant initial (t = t' = 0). A cet instant initial, chaque observateur émet un signal vers l'autre. Quel temps indique alors chaque montre quand chaque observateur reçoit le signal de l'autre ? Il est évident que ce n'est pas le même temps.
Et Poincaré explique : "La durée de la transmission n'est pas la même dans les deux sens puisque l'observateur O, par exemple, marche au devant de la propagation optique émanée de O', tandis que l'observateur O' fuit devant la propagation émanée de O. Les montres marqueront ce qu'on peut appeler le temps local de chaque observateur, de sorte que l'une d'elles retardera sur l'autre. Peu importe puisque nous avons aucun moyen de nous en apercevoir..." [POI L'Etat, p.311]
Le temps indiqué serait le même pour les deux observateurs uniquement dans le cas d'observateurs fixes l'un par rapport à l'autre ou dans l'hypothèse de pensée d'une lumière ayant une vitesse infinie.

"L'univers instantané n'est pas observable. Il apparaît comme un Espace-temps où chaque objet observé est vu en un point de l'espace et en un point du temps qui n'est pas le même pour tous les points de l'espace." [AND Théorie - Partie 1]

2. Relativité Restreinte ( Paragraphe Précédent / Suivant )

2.1. Historique ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

Image Relativite : GalileoImage Relativite : NewtImage Relativite : Maxwell
Image Relativite : Michelson et MorleyImage Relativite : PoincareImage Relativite : Einstein

Jusqu'à la fin du 19e siècle, la mécanique classique, fondée par Galilée et Newton, constituait une base incontestée de la physique.
En 1887, un physicien américain, Albert Michelson, et son collègue Edward Morley, montrèrent que la vitesse de la lumière ne vérifiait pas la loi galiléenne d'addition des vitesses. La vitesse de la lumière dans le vide était au contraire indépendante du mouvement de la source émettrice.
A la fin du 19e siècle, une seconde énigme vient perturber les certitudes des savants. Les fameuses Equations du britannique James Clerk Maxwell, qui décrivent la totalité des phénomèmes de l'électromagnétisme, n'ont plus la même forme lorsqu'on les transpose d'un système de référence dans un autre par translation uniforme.
Le principe galiléen ne devrait-il pas être, sinon abandonné, tout au moins réadapté ?
En 1905, Jules Henri Poincaré pose les bases fondamentales de la Relativité Restreinte qui efface d'un seul coup toutes les angoisses des physiciens concernant ces deux énigmes [POIN L'Etat].
En 1905 également, Albert Einstein publie sa théorie de la Relativité Restreinte [EIN Zur_Elektrodynamik].

2.2. Transformation de Lorentz-Poincaré ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Referentiels

On considère deux référentiels R et R' en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse V parallèle aux axes x et x' (voir Figure ci-dessus).
Les deux référentiels ont leur origine O et O' qui coincident au temps t = 0.
Soit un point ou événement quelconque M de coordonnées spatio-temporelles (x, y, z, t) dans R et (x', y', z', t') dans R'.

La transformation de Galilée faisant passer de R à R' s'écrit classiquement :

(G1) x' = x - V t
(G2) t' = t

La transformation de Lorentz-Poincaré introduit une nouvelle entité pour décrire les phénomènes physiques : l'Espace-temps, et s'écrit :

(L1) x' = gamma (x - V t)
(L2) t' = gamma (t - B x)
(L3) gamma = 1 / (1 - V2/c2)1/2, appelé "facteur de Lorentz"
(L4) B = V / c2

c est une constante (constante de structure de l'espace-temps) qui s'apparente à une vitesse limite et qui apparaît au cours de la démonstration des équations (L). La constante c est prise égale à la plus grande vitesse mesurée actuellement qui est celle des phénomènes électromagnétiques dans le vide, en l'occurence la vitesse de la lumière dans le vide.

Lorsque la vitesse V a une direction quelconque par rapport à l'axe x, la transformation de Lorentz-Poincaré s'écrit de façon plus générale (en notant r = (x, y, z) et r' = (x', y', z')) :

(LL1) r' = r + (gamma - 1) (V.r / V2) V - gamma V t
(LL2) t' = gamma (t - V.r / c2)
(LL3) gamma = 1 / (1 - V2/c2)1/2

A noter quelques conclusions surprenantes parmi d'autres :
- Si deux particules lumineuses s'éloignent l'une de l'autre, leur vitesse relative est encore égale à c et non pas 2c (loi de composition des vitesses. Voir ci-dessous).
- La vitesse de la lumière étant ralentie dans des milieux divers selon leur indice n de réfraction, il est possible d'accélérer des particules qui vont plus vite que la lumière dans ce même milieu.
- La Relativité Restreinte n'interdit pas d'étudier le point de vue d'observateurs accélérés.

2.3. Démonstration ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

En 1975, Jean-Marc Lévy-Leblong publie un article sur la Relativité Restreinte présenté sous forme moderne déduite uniquement des propriétés de l'espace et du temps (postulats de Poincaré), sans recours à l'électromagnétisme [LEV One_more]. Le postulat d'Einstein sur l'invariance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels apparaît alors comme une simple conséquence de la transformation de Lorentz-Poincaré décrivant la Relativité Restreinte.
En 2001, Jean Hladik publie, avec l'un de ses collègues Michel Chrysos, le premier ouvrage sur la Relativité Restreinte présenté sous cette forme moderne [HLA Pour_comprendre].
En s'inspirant des ouvrages listés en Bibliographie ci-dessous, nous présentons ici une démonstration élégante et rigoureuse de la transformation de Lorentz-Poincaré, basée uniquement sur les quatre postulats de Poincaré.

Démonstration :

Postulat n°1 : L'espace est homogène et isotrope
L'espace a les mêmes propriétés en tout point et en toute direction. Autrement dit, l'espace est invariant par translation et rotation.
Postulat n°2 : Le temps est homogène
Le temps est identique en tout point d'un même référentiel. Toutes les horloges fixes d'un référentiel donné doivent être strictement réglées à une même heure. Autrement dit, le temps est invariant par translation.
Postulat n°3 (Principe de relativité restreinte) : Les lois des phénomèmes physiques doivent être les mêmes, soit pour un observateur fixe, soit pour un observateur entraîné dans un mouvement de translation uniforme.
La forme des équations qui décrivent les phénomènes mécaniques est invariante par changement de référentiel par translation uniforme.
Postulat n°4 : La causalité doit être respectée
Lorsqu'un phénomème A est la cause d'un phénomème B, alors A doit avoir lieu avant B dans tout référentiel.

Les postulats d'homogénéité de l'espace et du temps induisent que la transformation cherchée est linéaire, donc de la forme suivante :
    (Ha) x' = C(V) x + D(V) t
    (Hb) t' = E(V) t + F(V) x
les quatre fonctions C, D, E et F étant à déterminer.
Au point particulier M = O' nous devons avoir : x' = 0 et x = V t
Les équations (H) s'écrivent alors :
    (C1a) x' = gamma (x - V t)
    (C1b) t' = gamma (A t - B x)
Les inconnues à trouver deviennent gamma, A et B, toutes trois fonction uniquement de V, soit : gamma = gamma(V) ; A = A(V) ; B = B(V).

Quand V = 0, on doit avoir : x' = x et t' = t, correspondant à la transformation identité. On en déduit que :
    (C2) gamma(0) = 1

Le postulat d'isotropie de l'espace induit que la forme des équations est invariante par réflexion (x -> -x ; x' -> -x' ; V -> -V) correspondant au passage du référentiel " -R " au référentiel " -R' ". On en déduit que :
    (C3a) gamma(V) = gamma(-V)
    (C3b) A(V) = A(-V)
    (C3c) B(V) = - B(-V)

Le postulat d'invariance de forme induit que la forme des équations est invariante par transformation inverse (x' <-> x ; t' <-> t ; V <-> -V) correspondant à l'échange des référentiels R et R'. On en déduit que :
    (C4a) x = gamma(-V) (x' + V t')
    (C4b) t = gamma(-V) (A(-V) t' - B(-V) x')
Compte-tenu des relations (C1)(C3), on en déduit que :
    (C5a) A = 1
    (C5b) gamma2 (1 - V B) = 1
Il reste donc à déterminer l'inconnue B.

Le postulat d'invariance de forme induit que la forme des équations est invariante par composition des transformations (R -> R') et (R' -> R"). Compte-tenu de la relation générale (C5a), on en déduit que :
    (C6a) x" = gamma(U) (x' - U t')
    (C6b) t" = gamma(U) (t' - B(U) x')
U est la vitesse de translation uniforme de R" par rapport à R'
On pose W comme vitesse de translation uniforme de R" par rapport à R.
Compte-tenu de la relation (C1), on en déduit que :
    (C7a) W = (V + U) / (1 + U B)
    (C7b) B(U) / U = B / V
La relation (C7a) est la loi de composition des vitesses.
La relation (C7b) montre que B est de la forme :
    (C8) B(V) = b V
où b est une constante quelconque (négative, nulle ou positive).
Compte-tenu de la relation particulière (C2), la relation (C5b) s'écrit alors :
    (C9) gamma2 = 1 / ( 1 - b V2) avec gamma > 0
Compte-tenu des relations (C8)(C9), les équations (C1) s'écrivent alors :
    (C10a) x' = (x - V t) / (1 - b V2)1/2
    (C10b) t' = (t - b V x) / (1 - b V2)1/2
    (C10c) b V2 < 1
Il reste donc à déterminer l'inconnue b.

Soit M1 et M2 deux points quelconques du référentiel R.
Compte-tenu de la relation (C10b), on en déduit que :
    (t2' - t1')/(t2 - t1) = ( 1 - b V ((x2 - x1)/(t2 - t1)) ) / (1 - b V2)1/2

Le postulat de causalité induit que le signe de l'intervalle de temps (t2 - t1) dans R ne doit pas changer lors du passage en (t2' - t1') dans R'. Cela s'écrit :
    (C11) b V (x2 - x1)/(t2 - t1) < 1
Si b est négatif, cette relation n'est pas vérifiée pour toutes valeurs de V, (x2 - x1) et (t2 - t1). Le postulat de causalité n'est donc pas respecté pour le cas b < 0.
Si b est positif ou nul, on peut l'écrire sous la forme suivante :
    (C12) b = 1 / u2 > 0 où u est une constante positive homogène à une vitesse.
La relation (C10c) s'écrit alors :
    (C13) V / u < 1
La constante u s'apparente donc à une vitesse limite. On en déduit que, quelles que soient les valeurs de (x2 - x1) et (t2 - t1) :
    (C14) ( (x2 - x1)/(t2 - t1) ) / u < 1
Compte-tenu des relations (C12)(C13)(C14), la relation (C11) est donc vérifiée. Le postulat de causalité est donc respecté pour le cas b ≥ 0.
A noter que certains auteurs, dont J. HLADIK, arrivent à cette même conclusion (b ≥ 0) sans utiliser le postulat de causalité.

En pratique, la limite mathématique u est prise pertinemment égale à la vitesse c de la lumière dans le vide.

3. Relativité Générale ( Paragraphe Précédent / Suivant )

3.1. Historique ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

Image Relativite : Einstein

La Relativité Restreinte s'applique uniquement aux référentiels en translation uniforme et dans un Espace-temps où les effets gravitationnels sont complètement négligés.
En 1915, Albert Einstein élabore la Relativité Générale avec l'aide de divers mathématiciens [EIN Die_Grundlage]. Il repense complètement la notion de gravitation Newtonienne, laquelle, se propageant instantanément, n'est plus compatible avec l'existence d'une vitesse limite. Il postule également que toutes les lois de la Nature doivent avoir la même forme dans tous les référentiels, quel que soit leur état de mouvement (uniforme ou accéléré).
Aujourd'hui, il reste un dernier défi à relever : l'unification de la Relativité Générale et de la Théorie quantique afin de rendre cohérent la gravitation à l'échelle macroscopique et l'interaction gravitationnelle à l'échelle microscopique faisant intervenir le caractère quantique des particules élémentaires.

3.2. Les équations d'Einstein ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Courbure

Les équations fondamentales de la Relativité Générale, appelées Equations d'Einstein ou Equations du champ de gravitation, relient une déformation locale de la géométrie de l'Espace-temps à la présence de tensions locales (voir Figure ci-dessus).
Ces équations peuvent être vues comme une généralisation de la loi d'élasticité de Hooke en milieu continu peu déformé, pour laquelle la déformation d'une structure élastique est proportionnelle à la tension qui s'exerce sur cette structure.

Les équations d'Einstein s'écrivent :

(E1) Eab = KHI Tab
avec : Eab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab

A noter que certains auteurs présentent ces équations avec le signe "moins" devant Λ au lieu du signe "plus".

Eab est le Tenseur d'Einstein qui mesure la déformation locale de la géométrie de l'espace-temps. Il n'y a plus de forces de gravitation en Relativité Générale puisque cette déformation de l'espace-temps en tient lieu. Ce Tenseur a pour propriété remarquable d'avoir une Divergence nulle.

Tab est le Tenseur Energie-impulsion qui décrit en un point de l'espace-temps l'énergie et l'impulsion associée à la matière, ou à tout autre forme de champ non gravitationnel comme par exemple le champ électromagnétique. Ce Tenseur dépend de la pression p et de la densité ρ du milieu physique qui emplit l'espace. Ce Tenseur est construit de telle manière que sa Divergence nulle exprime la conservation locale de l'impulsion et de l'énergie.

a et b sont les indices des différents Tenseurs, avec a et b allant de 0 à 3.

KHI est le coefficient de couplage gravitationnel. Il vaut : KHI = 8 π G / c4 (en kg-1.m-1.s2). Ce coefficient a été choisi de façon à vérifier l'équation de Poisson de la gravitation Newtonienne comme cas particulier des équations d'Einstein (voir Limite Newtonienne). KHI représente une élasticité de l'espace-temps extraordinairement petite (égale à environ 2,1 10-43 kg-1.m-1.s2).

G est la constante de gravitation universelle (G = 6,6726 10-11 kg-1.m3.s-2).

c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 2,99792458 108 m.s-1).

gab est le Tenseur métrique, solution des équations d'Einstein. Les 16 composantes gab de ce Tenseur sont appelées potentiels de gravitation.

Rab est le Tenseur de Ricci, obtenu par Contraction du Tenseur de courbure.

R est la Courbure scalaire, obtenue par Contraction du Tenseur de Ricci

Λ est la constante cosmologique de dimension m-2 et pouvant être négative, nulle ou positive. Elle ne fut introduite par Einstein que ultérieurement lors d'applications à la cosmologie. Le problème du mouvement des planètes, considérées comme des particules dans un espace vide autour du soleil (Métrique de Schwarzschild), se résoud en prenant Λ = 0 et Tab = 0. Alors qu'en cosmologie, pour déterminer le modèle d'univers (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), on prend a priori une valeur Λ non nulle et on considère l'espace universel comme empli d'un véritable gaz de galaxies de densité ρ et de pression p = 0 (Modèle cosmologique standard).


Equations équivalentes :
En contractant les équations d'Einstein par le Tenseur métrique inverse gab, la Courbure scalaire R est liée au Tenseur Energie-impulsion Tab par la relation :
    (E2) R = -KHI T + 4 Λ
où T est la trace du Tenseur Energie-impulsion : T = gab Tab = Taa
En reportant cette relation dans les équations d'Einstein (E1), on trouve les équations équivalentes suivantes :

(E3) Rab = KHI (Tab - (1/2) gab T) + Λ gab

Dans le cas particulier où Tab = 0 (espace vide) et Λ = 0, le Tenseur de Ricci Rab est nul.
A noter que le Tenseur de Ricci peut être nul sans que le Tenseur de courbure ne le soit (cas d'un champ de gravitation dans le vide avec Λ = 0).


Propriétés des équations d'Einstein :

Les équations d'Einstein satisfont aux contraintes suivantes :

Postulat : les équations ne se démontrent pas à partir de principes plus fondamentaux. C'est là tout le génie d'Einstein de les avoir postuler.

Principe d'équivalence (équivalence locale entre champ de gravitation et champ d'accélération) : les équations respectent le Principe d'équivalence.

Principe de relativité générale (invariance des lois physiques dans tout changement de référentiel) : les équations sont Covariantes et gardent donc la même forme dans tout changement de coordonnées. C'est là toute l'extraordinaire puissance du formalisme tensoriel : une fois écrite sous forme tensorielle (selon des critères de Tensorialité), une loi physique possède nécessairement une forme indépendante du système de coordonnées.

Tenseurs conservatifs : les membres des équations sont tous deux conservatifs (Divergence nulle) de façon à respecter le principe de conservation locale de l'impulsion et de l'énergie.

Courbure nulle à l'infini : Les équations induisent une gravitation nulle, donc une courbure nulle, lorsque les coordonnées tendent vers l'infini (loin de toute masse attractive). L'Espace-temps devient l'espace-temps plat de la Relativité Restreinte avec sa Métrique de Minkowski.

Gravitation Newtonienne : Les équations ont pour cas particulier l'Equation de Poisson de la Limite Newtonienne.

Simplicité : Bien que la Relativité Générale ne soit pas la seule théorie relativiste, c'est la plus simple qui soit en cohérence avec les données expérimentales. Cependant, il reste un certain nombre de questions ouvertes : la plus fondamentale est de réussir à formuler une théorie complète et cohérente de la gravitation quantique.

3.3. Résolution des équations d'Einstein ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Metriques

Les composantes du tenseur d'Einstein Eab sont fonction uniquement des potentiels de gravitation gab et de leurs dérivées première et seconde. Ces composantes sont linéaires par rapport aux dérivées secondes et font intervenir les Symboles de Christoffel fonction de ces gab.
La résolution de ces équations différentielles couplées du second ordre est extrêmement ardue.
La symétrie des Tenseurs Rab, gab et Tab réduit à 10 le nombre d'équations distinctes et les 4 conditions de Divergence nulle les ramènent à 6 équations indépendantes.
De leur côté, par symétrie, 10 seulement des gab sont distincts et, dans un quadri-espace, on peut choisir en chaque point arbitrairement les valeurs de 4 d'entre eux, ce qui réduit à 6 également le nombre des fonctions gab à déterminer.

Plusieurs Métriques relativistes sont ensuite disponibles en Relativité Générale (voir Figure ci-dessus).
La Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (F) est utilisée en cosmologie pour décrire l'évolution de l'univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang.
La Métrique de Schwarzschild (S1, S2...) décrit la géométrie autour des masses (M1, M2...).
La Métrique de Minkowski (K) décrit la géométrie loin des masses importantes, sur la partie asymptotiquement plate des métriques précédentes, selon un Espace-temps euclidien tangent de la Relativité Restreinte.

3.4. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Schwarzshild

En faisant l'hypothèse que le champ gravitationnel des corps est statique et à symétrie centrale (Métrique de Schwarzschild), comme c'est le cas pour le Soleil et de nombreux astres, alors les potentiels de gravitation gab s'expriment en coordonnées sphériques (r, θ, φ) en fonction de deux paramètres μ et α fonctions uniquement de r.
Ces gab permettent de calculer les composantes du Tenseur de Ricci (Rab) puis, par Contraction, la Courbure scalaire (R). Voir calculs détaillés ci-après.

Dans le cas particulier d'un champ de gravitation dans le vide (c'est-à-dire pour un Tenseur Energie-impulsion (Tab) nul) et d'une constante cosmologique nulle (Λ = 0), alors les équations d'Einstein se réduisent à un système de deux équations différentielles des fonctions μ et α. Leur intégration donne les expressions de μ et α. Voir calculs détaillés ci-après.
Finalement, la Métrique de Schwarzschild ds2 se détermine complètement comme suit :

g00 = -(1 - r*/r)
g11 = 1/(1 - r*/r)
g22 = r2
g33 = r2 sin2[θ]
gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

où r* est une constante appelée rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel.

Dans le cas particulier d'un champ de gravitation créé par une masse M centrale symétrique, on a : r* = 2 G M / c2, obtenu en comparant le g00 de Schwarzschild avec le g00 de l'approximation Newtonienne. Voir Limite Newtonienne.
Les valeurs particulières r = 0 et r = r*, qui rendent infini les coefficients g00 et g11, délimitent une région singulière qui se trouve en pratique située profondément à l'intérieur de la masse M, ce qui n'est pas gênant pour les planètes, étoiles ordinaires et étoiles à neutrons.
Pour les trous noirs, la singularité r = r* peut être éliminée par un choix convenable du système de coordonnées. En revanche, la singularité r = 0 est une singularité du Tenseur métrique g qui marque la limite de la description des trous noirs par la Relativité Générale et nécessite sans doute de recourir à une théorie quantique de la gravitation qui n'existe pas encore vraiment à ce jour.
Lorsque r tend vers l'infini, les coefficients gab se réduisent aux composantes de la Métrique de Minkowski exprimée en coordonnées sphériques. L'espace-temps décrit par la métrique de Schwarzschild est donc asymptotiquement plat.

Pour finir, on écrit et on résoud les équations de Géodésiques qui décrivent le mouvement des particules libres dans l'espace considéré, c'est-à-dire lorsque ces particules (systèmes matériels ou photons) ne sont pas soumises à une force externe autre que la gravitation dans le cadre de la Relativité Générale. Lorsque leur masse m est petite devant la masse M du corps central de la métrique de Schwarzschild, on démontre que leurs trajectoires (orbites) sont planes et deviennent des ellipses quand r tend vers l'infini.

Calcul détaillé des composantes gab, Rab, R, Eab, α et μ [GOU Relativité_Générale, p.117] :

Dans le cas d'un champ gravitationnel statique et à symétrie centrale (Métrique de Schwarzschild), les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont les suivants :
    g00 = -e2 μ
    g11 = e2 α
    g22 = r2
    g33 = (r2) sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
    où μ et α sont des fonctions uniquement de r.
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    g00 = -e-2 μ
    g11 = e-2 α
    g22 = 1/r2
    g33 = (1/r2) sin-2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
    Γ001 = Γ010 = μ'
    Γ100 = e2 (μ - α) μ' ; Γ111 = α' ; Γ122 = -r e-2 α ; Γ133 = -r sin2[θ] e-2 α
    Γ212 = Γ221 = 1/r ; Γ233 = -cos[θ] sin[θ]
    Γ313 = Γ331 = 1/r ; Γ323 = Γ332 = 1/ tan[θ]
    où μ' = dμ/dr et α' = dα/dr
    Les autres symboles de Christoffel sont tous nuls.

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
    R00 = e2 (μ - α) ( μ" + (μ')2 - μ' α' + 2 μ'/r )
    R11 = -μ" - (μ')2 + μ' α' + 2 α'/r
    R22 = e-2 α ( r (α' - μ') - 1 ) + 1
    R33 = sin2[θ] R22
    Les autres composantes Rij sont toutes nulles.

La Courbure scalaire s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
    R = 2 e-2 α ( -μ" - (μ')2 + μ' α' + 2 (α' - μ')/r + (e2 α - 1)/r2 )

Dans le cas Λ = 0, le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Eab = Rab - (1/2) gab R
    E00 = (1/r2) e2 (μ - α) (2 r α' + e2 α - 1 )
    E11 = (1/r2) (2 r μ' - e2 α + 1 )
    E22 = r2 e-2 α ( μ" + (μ')2 - μ' α' + (μ'- α')/r )
    E33 = sin2[θ] E22
    Les autres composantes Eij sont toutes nulles.
Les équations d'Einstein s'écrivent alors par la relation : Eab = KHI Tab
    E00 = KHI T00
    E11 = KHI T11
    E22 = KHI T22
    E33 = KHI T33
    0 = KHI Tij pour i et j pris différents entre 0 et 3

Dans le cas Tab = 0, les équations d'Einstein se réduisent alors aux 3 équations suivantes :
    2 r α' + e2 α - 1 = 0
    2 r μ' - e2 α + 1 = 0
    μ" + (μ')2 - μ' α' + (μ'- α')/r = 0
La première équation s'intègre en :
    α = -(1/2) ln[ 1 - r*/r]
où r* est une constante.
En reportant cette valeur de α dans la seconde équation, cette dernière s'intègre en :
    μ = (1/2) ln[ 1 - r*/r] + b0
où b0 est une constante.
La nullité du champ de gravitation à l'infini (de manière à assurer une métrique asymptotiquement plate avec μ = 0 quand r tend vers l'infini) nécessite que : b0 = 0.
En reportant ces valeurs de α et μ dans la troisième équation, cette dernière est toujours satisfaite.
Finalement, on trouve :
    g00 = -(1 - r*/r)
    g11 = 1 / (1 - r*/r)

3.5. Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Image Relativite : Lemaitre-FriedmannImage Relativite : Robertson-Walker

En faisant l'hypothèse que l'espace-temps est spatialement homogène et isotrope (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), alors les potentiels de gravitation gab s'expriment en coordonnées sphériques (r, θ, φ) en fonction de deux paramètres k (constante) et a (fonction de t uniquement).
Ces gab permettent de calculer les composantes du Tenseur de Ricci (Rab) puis, par Contraction, la Courbure scalaire (R).
En faisant ensuite le choix d'un modèle Fluide Parfait pour le Tenseur Energie-impulsion (Tab), on calcule ses composantes en fonction de la pression p et de la densité ρ du milieu physique qui emplit l'espace.
Les équations d'Einstein se réduisent alors à un système de deux équations différentielles des fonctions a(t), ρ(t) et p(t), appelées équations de Friedmann :
    (F1) (a'/a)2 + k (c/a)2 = (1/3) ρ KHI c4 + (1/3) Λ c2
    (F2) a"/a = -(1/6) (ρ + 3 p/c2) KHI c4 + (1/3) Λ c2
On complète le système en se donnant une équation d'état du fluide cosmique de type p = p(ρ). Un exemple d'équation d'état souvent utilisé est : p(t) = w ρ(t) c2 où w est une constante qui vaut -1 (vide quantique), 0 (pression nulle) ou 1/3 (radiation électromagnétique).
Cette équation d'état, associée aux deux équations (F1) et (F2), donne une relation remarquable liant ρ(t) et a(t) :
    (Q0) ρ(t) a(t)3(1 + w) = ρ0 a03(1 + w) = constante
    où ρ0 et a0 sont deux constantes (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
Le système se réduit alors à une seule équation différentielle de la fonction a(t) (voir calculs détaillés ci-après) :

(Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
(Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) KHI c4 = constante
(Q1b) B = (1/3) Λ c2

Cette équation différentielle s'intègre analytiquement pour w = -1, 0 ou 1/3 (avec Λ et k quelconques), ce qui détermine complètement a(t) et la métrique ds2 comme suit :

g00 = -1
g11 = a(t)2 (1 - k r2)-1
g22 = a(t)2 r2
g33 = a(t)2 r2 sin2[θ]
gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

La première équation de Friedmann (F1) est présentée souvent sous la forme condensée :
    k (c/a)2 / H(t)2 = Ω + Ωv - 1
    avec :
H(t) = paramètre de Hubble (de dimension s-1) = a'/a qui rend compte de l'expansion de l'univers. Voir Loi de Hubble.
Ω(t) = paramètre de densité (sans dimension) = (8/3) π G ρ(t) / H(t)2
Ωv(t) = constante cosmologique réduite (sans dimension) = (1/3) Λ c2 / H(t)2
q(t) = paramètre de décélération (sans dimension) = -a a"/ (a')2 = -1 - H'(t)/H(t)2
Il semblerait que la valeur actuelle du paramètre de décélération soit négative (a" > 0), le ralentissement dû à l'attraction de la matière étant totalement compensé par l'accélération dû à une hypothétique énergie noire. Voir Modèle cosmologique standard.

La seconde équation de Friedmann (F2) s'écrit également sous la forme :
    (Q2) a"/a = -F a-3(1 + w) + B
    (Q2a) F = (1/2) (1 + 3 w) A
A noter que la relation (Q2) s'obtient également immédiatement par dérivation de la relation (Q1).

Image F1 Relativite : Modeles selon equations de Friedmann

Dans le cas standard où ρ > 0 et w > (-1/3), on déduit alors des relations (Q1) et (Q2) l'allure générale des courbes a(t) pour Λ et k quelconques (voir Figure 1 ci-dessus et Démonstration ci-après).
Toutes ces courbes, sauf deux, représentent des modèles avec Big Bang pour lesquels a(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0 :
- La courbe C1 relative au cas (Λ < 0), ou au cas (Λ = 0) et (k > 0), correspond à un modèle fermé (expansion décélérée suivie d'une contraction accélérée survenant après le point maximum M1).
- La courbe C2 relative au cas (Λ = 0) et (k ≤ 0) correspond à un modèle ouvert (expansion décélérée).
- La courbe C4 relative au cas (Λ > 0) et (k ≤ 0), ou au cas (Λ > ΛF) et (k > 0), correspond à un modèle ouvert à point d'inflexion I (expansion décélérée suivie d'une expansion accélérée). Le sous-cas (Λ > 0) et (k = 0) correspond au Modèle cosmologique standard quand la pression est nulle (w = 0).
- Les courbes C5, et C1 à nouveau, sont relatives au cas (0 < Λ < ΛF) et (k > 0). Elles correspondent à deux comportements possibles : un modèle ouvert de type non Big Bang (contraction décélérée suivie d'une expansion accélérée survenant après le point minimum M2), et un modèle fermé avec un point maximum M1.
- Les courbes C3, et C4 à nouveau, sont relatives au cas singulier (Λ = ΛF) et (k > 0). Elles correspondent à deux comportements possibles : un modèle statique (Univers statique d'Einstein), et un modèle ouvert avec un point d'inflexion particulier qui est aussi un point à tangente horizontale.
A noter que ces courbes représentent un sous-ensemble de courbes répertoriées par Harrison [HAR Classification].

ΛF est la constante cosmologique singulière de Friedmann qui s'écrit [KHA Some_exact_solutions] :
    ΛF = 3 (k/m)m ( (1/n) A c-2 )-n
    n = 2/(1 + 3 w) > 0
    m = n + 1
ΛF est relié au facteur d'échelle singulier aF comme suit :
    ΛF = 3 (k/m) aF-2
    aF2/n = (A c-2)(m/n)(1/k)
En exprimant la constante A en ce point d'inflexion particulier tel que ρ0 = ρF et a0 = aF, on obtient les expressions de ΛE et de aE de l'Univers statique d'Einstein (avec k = 1) :
    ΛE = (1/n) ρE KHI c2 = (1/2)(1 + 3 w) ρE KHI c2
    aE-2 = (1/3)(m/n)(1/k) ρE KHI c2 = (1/2)(1/k)(1 + w) ρE KHI c2


Certaines solutions particulièrement simples pour a(t) sont présentées ci-dessous (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
Hormis les deux premières solutions, les autres sont presque toutes des modèles avec Big Bang présentées selon les valeurs des paramètres w, puis Λ puis k.

1. Univers statique d'Einstein
C'est le modèle cosmologique statique avec : a(t) = aE ; ρ(t) = ρE ; p(t) = pE
où aE, ρE et pE sont des constantes.
La seconde équation de Friedmann (F2) devient alors : Λ = ΛE
avec : ΛE = (1/2)(ρE + 3 pE/c2) KHI c2
ΛE est la constante cosmologique singulière d'Einstein qui caractérise un univers statique.
A noter qu'en dehors du vide (ρE = pE = 0), une solution statique ne peut exister qu'avec une constante cosmologique non nulle.
En reportant cette valeur de Λ dans la première équation de Friedmann (F1), on obtient :
    k /aE2 = (1/2)(ρE + pE/c2) KHI c2
Si le fluide cosmique satisfait à la condition d'énergie faible au sens strict, alors on a : ρE + pE/c2 > 0 et donc nécessairement : k > 0, donc : k = 1
La courbe a(t) est une constante (voir courbe C3 en Figure 1 ci-dessus) :
    a(t) = aE = ( (1/2)(ρE + pE/c2) KHI c2 )-1/2

2. Espace-temps de De Sitter
C'est le modèle cosmologique du vide (ρ = p = 0) avec Λ > 0 et k = 0 (courbure plate).
La première équation de Friedmann (F1) devient alors : (a'/a)2 = (H0)2
    avec H0 = B1/2 = c (Λ / 3)1/2
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = a0 eH0 (t - t0)
    où a0 et t0 sont des constantes.
La courbe a(t) est de type exponentielle et n'est pas un modèle avec Big Bang.

Image F2 Relativite : Modeles de Friedmann

3. Modèle de Friedmann avec courbure ouverte
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = -1 (courbure ouverte)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 + c2
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre sous forme d'une équation paramétrique :
    a(t) = D (cosh[m] - 1)
    t - ti = (D/c) (sinh[m] - m)
    avec D = (1/2) A c-2 et paramètre m > 0
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Le terme (t - ti) s'exprime plus simplement en fonction de (a) sous la forme :
    t - ti = (D/c) ( ((a/D)(2 + (a/D)))1/2 - ln[ (1 + (a/D)) + ((a/D)(2 + (a/D)))1/2 ] )
La courbe a(t) est de type hyperbolique (voir Figure 2 ci-dessus pour k = -1).

4. Modèle de Friedmann avec courbure plate (ou Espace-temps d'Einstein-De Sitter)
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = ( (1/j) A1/2 (t - ti) )j
    avec j = 2/3
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
La courbe a(t) est une fonction puissance (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 0).

5. Modèle de Friedmann avec courbure fermée
C'est le modèle cosmologique sans pression (w = 0) avec Λ = 0 et k = 1 (courbure fermée)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 - c2
    avec A = A(w = 0) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre sous forme d'une équation paramétrique :
    a(t) = D (1 - cos[m])
    t - ti = (D/c) (m - sin[m])
    avec D = (1/2) A c-2 et paramètre m variant de 0 à 2 π
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Le terme (t - ti) s'exprime plus simplement en fonction de (a) sous la forme :
    Pour t - ti < π (D/c) : t - ti = (D/c) ( Arccos[1 - (a/D)] - ((a/D)(2 - (a/D)))1/2 )
    Pour t - ti > π (D/c) : t - ti = 2 π (D/c) - (expression (t - ti) du cas précédent)
La courbe a(t) est une cycloïde (point d'un cercle roulant sur une droite). Elle est symétrique par rapport à la valeur t - ti = π (D/c) (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 1).
On notera que la courbe va du "Big Bang" (t - ti = 0) au "Big Crunch" (t - ti = 2 π (D/c)) en passant par une phase d'expansion (a' > 0) puis par une phase de contraction (a' < 0).

6. Modèle sans pression (w = 0) avec Λ non nul
La solution exacte de ce modèle est donnée par [KHA Some_exact_solutions].

7. Modèle sans pression (w = 0) avec Λ non nul et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-1 + B a2
    avec A = A(w = 0) et B donnés par les relations (Q1a) et (Q1b)
Cette équation s'intègre en :
    si Λ < 0 : a(t) = (-A/B)1/3 sin2/3[ (3/2) (-B)1/2 (t - ti) ]
    si Λ > 0 : a(t) = (A/B)1/3 sinh2/3[ (3/2) B1/2 (t - ti) ]
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Si Λ < 0, la courbe a(t) est similaire à la courbe fermée du modèle de Friedmann (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 1).
Si Λ > 0, la courbe a(t) comporte deux phases d'expansion successives (a' > 0). La première phase est similaire à la courbe ouverte du modèle de Friedmann (voir Figure 2 ci-dessus pour k = -1) avec décélération (a" < 0) mais menant à un point d'inflexion I (a" = 0). La seconde phase est à nouveau une courbe ouverte mais avec accélération (a" > 0) (voir courbe C4 en Figure 1 ci-dessus).

8. Modèle pour radiations électromagnétiques (w = 1/3) avec Λ non nul
La solution exacte de ce modèle est donnée par [KHA Some_exact_solutions].

9. Modèle pour radiations électromagnétiques (w = 1/3) avec Λ = 0
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 + k c2 = A a-2
    avec A = A(w = 1/3) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    Pour k = -1 : a(t) = E c ( (1 + (1/E)(t - ti))2 - 1 )1/2
    Pour k = 0 : a(t) = (4 A)1/4 (t - ti)1/2
    Pour k = 1 : a(t) = E c ( 1 - (1 - (1/E)(t - ti))2 )1/2
    avec E = (A)1/2 c-2
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
Les courbes a(t) sont similaires aux courbes du modèle de Friedmann (voir Figure 2 ci-dessus pour k = -1, 0 et 1).

10. Modèle avec w > (-1/3), Λ = 0 et k = 0 (courbure plate)
En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle (Q1), on trouve :
    a'2 = A a-(1 + 3 w)
    avec A = A(w) selon la relation (Q1a)
Cette équation s'intègre en :
    a(t) = ( (1/j) A1/2 (t - ti) )j
    avec j = (2/3) (1 + w)-1 < 1
    où a0, ρ0 > 0 et ti sont des constantes, ti étant généralement fixée à 0 par un choix d'origine de la coordonnée t.
La courbe a(t) est une fonction puissance ayant une branche parabolique selon l'axe des temps quand t temps vers l'infini (voir Figure 2 ci-dessus pour k = 0).

Démonstration de l'allure générale des courbes a(t) selon équations de Friedmann :

Les équations de Friedmann (F1) et (F2) s'écrivent sous la forme :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q2) a"/a = -F a-3(1 + w) + B
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) KHI c4
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2
    (Q2a) F = (1/2) (1 + 3 w) A
Dans le cas standard où ρ > 0 et w > (-1/3), A est positif et on déduit que :
1. Quand a tend vers 0, la relation (Q1) induit que la quantité (a') tend vers l'infini correspondant à l'explosion primordiale de l'univers (théorie du Big Bang).
2. Quand a tend vers l'infini, la relation (Q1) induit que :
    (Q3) Si Λ est non nul, B est non nul et la quantité (a')2 se comporte comme la quantité (B a2) lorsque B est positif.
    (Q4) Si Λ est nul, la quantité (a')2 se comporte comme la quantité (-k c2) lorsque k est négatif et comme la quantité (A a-(1 + 3 w)) lorsque k est nul.
3. Quand a' est nul :
    (Q5) la relation (Q1) n'est vérifiée que pour les combinaisons de valeurs (Λ, k, w, A) suivantes :
    Λ < 0
    (Λ = 0) et (k > 0)
    (0 < Λ < ΛF) et (k > 0)
    (Λ = ΛF) et (k > 0)
    avec : ΛF = 3 (k/m)m ( (1/n) A c-2 )-n
    n = 2/(1 + 3 w) > 0
    m = n + 1

D'où les résultats suivants illustrés par les courbes C1 à C5 en Figure 1 ci-dessus :
4. Si Λ est négatif :
    4.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est toujours négative. L'évolution de a(t) est décélérée, sans point d'inflexion (a" = 0).
    4.2. B est négatif. La relation (Q5) induit que a(t) atteint un maximum (a' = 0 ; point M1 sur courbe C1) pour lequel : (-B) a3(1 + w) + k c2 a(1 + 3 w) - A = 0
5. Si Λ est nul :
    5.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est toujours négative. L'évolution de a(t) est décélérée, sans point d'inflexion (a" = 0).
    5.2. Si k est négatif, la relation (Q4) induit que a(t) tend vers la ligne droite a(t) = c (-k)1/2 t quand a tend vers l'infini (courbe C2).
    5.3. Si k est nul, la relation (Q4) induit que a(t) tend vers la courbe a(t) = ((1/j) A1/2 t)j avec j = ( (2/3) (1 + w)-1 ) quand a tend vers l'infini (courbe C2).
    5.4. Si k est positif, la relation (Q5) induit que a(t) atteint un maximum (a' = 0 ; point M1 sur courbe C1) pour lequel : a(1 + 3 w) = (1/k) A c-2
6. Si Λ est positif, B est positif :
    6.1. La relation (Q2) induit que la quantité (a") est d'abord négative (évolution décélérée) puis devient positive (évolution accélérée) après passage par un point d'inflexion (a" = 0 ; point I sur courbe C4) pour lequel : aI 3(1 + w) = F/B.
    6.2. La relation (Q3) induit que a(t) tend vers la courbe exponentielle a(t) = exp[ B1/2 t ] quand a tend vers l'infini.
    6.3. Cas singulier : lorsque Λ est égal à ΛF, avec k positif, la relation (Q5) induit que la courbe a(t) possède un point à tangente horizontale (a' = 0) qui coincide avec le point d'inflexion I. Ce modèle possède deux types de comportement possible : un modèle statique (Univers statique d'Einstein) pour lequel a(t) = constante (courbe C3), et un modèle ouvert à point d'inflexion pour lequel a' = a" = 0 au point aI = aF (courbe C4).
    6.4. Lorsque Λ est inférieur à ΛF, avec k positif, la relation (Q5) induit que la courbe a(t) possède deux extremum (a' = 0 ; points M1 et M2) pour lequels : B a3(1 + w) - k c2 a(1 + 3 w) + A = 0. Ce modèle possède deux types de comportement possible : un modèle fermé (a" < 0) avec un maximum en M1 (courbe C1), et un modèle ouvert (a" > 0) avec un minimum en M2 (courbe C5), les points d'inflexion respectifs I1 et I2 étant fictifs et rejetés dans la bande interdite (a1 < a < a2). A noter que le modèle ouvert n'est pas un modèle avec Big Bang.

Calcul détaillé des composantes gab, Rab, R, Eab, Tab et a(t) [GOU Relativité_Générale, p.195] :

Dans le cas d'un espace-temps spatialement homogène et isotrope (Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont les suivants :
    g00 = -1
    g11 = a2 (1 - k r2)-1
    g22 = a2 r2
    g33 = a2 r2 sin2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
    où k est une constante (0, 1 ou -1) et a une fonction de t uniquement.
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    g00 = -1
    g11 = a-2 (1 - k r2)
    g22 = a-2 (1/r2)
    g33 = a-2 (1/r2) sin-2[θ]
    gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
    Γ011 = a a' (1/c)/(1 - k r2) ; Γ022 = a a' r2 (1/c) ; Γ033 = a a' r2 (1/c) sin2[θ]
    Γ101 = Γ110 = a' (1/c)(1/a) ; Γ111 = k r / (1 - k r2) ; Γ122 = -r (1 - k r2) ; Γ133 = -r (1 - k r2) sin2[θ]
    Γ202 = Γ220 = a' (1/c)(1/a) ; Γ212 = Γ221 = 1/r ; Γ233 = -cos[θ] sin[θ]
    Γ303 = Γ330 = a' (1/c)(1/a) ; Γ313 = Γ331 = 1/r ; Γ323 = Γ332 = 1/ tan[θ]
    où a' = d(a)/dt
    Les autres symboles de Christoffel sont tous nuls.

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik
    R00 = -3 a" (1/a)(1/c2)
    R11 = (a a" + 2 a'2 + 2 k c2)(1/c2)/(1 - k r2)
    R22 = (a a" + 2 a'2 + 2 k c2) (r/c)2
    R33 = sin2[θ] R22
    Les autres composantes Rij sont toutes nulles.

La Courbure scalaire s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
    R = 6 (1/c2)(b + a"/a)
    avec b = (a'/a)2 + k (c/a)2

Le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Eab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab
    E00 = R00 + (R/2) - Λ
    E11 = ( (2b + a"/a)/c2 - 3 (b + a"/a)/c2 + Λ ) a2 /(1 - k r2)
    E22 = E11 r2 (1 - k r2)
    E33 = E22 sin2[θ]
    Les autres composantes Eij sont toutes nulles.

Pour un Fluide Parfait de densité ρ et de pression p, le Tenseur Energie-impulsion s'obtient ensuite par la relation : Tij = (c2 ρ + p) ui uj + p gij
L'hypothèse d'isotropie spatiale induit que l'observateur est co-mobile avec le fluide.
L'hypothèse d'homogénéité spatiale induit également que ρ et p sont des quantités fonction de t uniquement.
D'où l'expression de Tij :
    T00 = ρ c2
    T11 = p a2 /(1 - k r2)
    T22 = T11 r2 (1 - k r2)
    T33 = T22 sin2[θ]
    Les autres composantes Tij sont toutes nulles.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors par la relation : Eab = KHI Tab
    E00 = KHI T00
    E11 = KHI T11
    E22 = KHI T22
    E33 = KHI T33
    0 = Eij = KHI Tij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Les équations d'Einstein se réduisent alors aux 2 équations suivantes :
    b = (1/3) ρ KHI c4 + (1/3) Λ c2
    (1/2) b + a"/a = (1/2) Λ c2 - (1/2) p KHI c2
En reportant la première équation dans la seconde, on obtient les équations de Friedmann :
    (F1) (a'/a)2 + k (c/a)2 = (1/3) ρ KHI c4 + (1/3) Λ c2
    (F2) a"/a = -(1/6) (ρ + 3 p/c2) KHI c4 + (1/3) Λ c2
En dérivant la première équation par rapport à t et en remplaçant a" dans la seconde, on obtient la relation simple suivante :
    dρ/dt = -3 (a'/a)(ρ + p/c2)
Dans le cas d'une équation d'état du fluide cosmique de type : p(t) = w ρ(t) c2, cette relation devient :
    dρ/ρ = -3 (1 + w)(da/a)
qui s'intègre en :
    ρ(t) = ρ0 (a0 / a(t))3(1 + w)
    où ρ0 et a0 sont deux constantes (l'indice 0 correspondant généralement aux données actuelles).
En reportant cette expression de ρ(t) dans la première équation de Friedmann (F1), on obtient une équation différentielle fonction de a(t) uniquement :
    (Q1) (a')2 + k c2 = A a-(1 + 3 w) + B a2
    (Q1a) A = (1/3) ρ0 (a0)3(1 + w) KHI c4
    (Q1b) B = (1/3) Λ c2

3.6. Décalages spectraux ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

La Relativité Générale explique avec succès trois types de décalages spectraux fondamentaux [AND Théorie - Partie 2] :

L'Effet Doppler-Fizeau qui induit un décalage spectral dû à un effet de vitesse de la source lumineuse par rapport à l'observateur.
Ce décalage est dirigé indifféremment vers le bleu ou le rouge suivant que la vitesse est une vitesse d'approche ou d'éloignement mais dont l'effet transversal est toujours dirigé vers le rouge.

L'Effet Einstein qui induit un décalage spectral d'origine gravitationnel dû à l'effet d'une masse proche de la source.
Un rayonnement émis dans un champ gravitationnel intense est observé avec un décalage qui est toujours dirigé vers le rouge.

La Loi de Hubble qui induit un décalage spectral cosmologique dû à un effet de distance de la source.
Ce décalage est toujours dirigé vers le rouge.

Pour expliquer ces phénomèmes très profonds de la physique, la Relativité Générale a dù passer par les généralisations successives de la notion d'Espace-temps :
- L'espace-temps euclidien pour interpréter l'Effet Doppler-Fizeau.
- L'espace-temps courbe pour interpréter l'Effet Einstein.
- L'espace-temps à courbure variable pour interpréter la Loi de Hubble.

4. Définitions ( Paragraphe Précédent / Suivant )

Notions utilisées dans ce chapitre, listées par ordre alphabétique :

Aberration de la lumière

Image Relativite : Aberration

L'aberration de la lumière est la différence entre les directions d'incidence d'un même rayon lumineux perçues par deux observateurs en mouvement relatif.
Dans le cas d'une source lumineuse S1 vue par un observateur S' en mouvement relatif (vitesse V) par rapport à S1, la lumière émanant de S1 semble provenir de S2 et non de S1 (voir Figure ci-dessus).
Dans le cas de la pluie tombant verticalement par rapport au sol, le piéton qui marche sous la pluie (vitesse V) doit incliner son parapluie vers l'avant s'il ne veut pas être mouillé.

Soit S un observateur d'un référentiel R et S' un observateur d'un référentiel R' en translation uniforme de vitesse V par rapport à R.
u est le vecteur unitaire de la propagation SS'.
Si la propagation u fait avec la vitesse V un angle θ dans R et θ' dans R', alors on a la relation :

    cos[θ'] = (cos[θ] - V/c) / (1 - cos[θ] V/c)

En utilisant la relation : tan2[θ/2] = (1 - cos[θ])/(1 + cos[θ]), on a la relation équivalente :

tan[θ'/2] = ( (1 + V/c)/( 1 - V/c) )1/2 tan[θ/2]

On a donc toujours : θ' > θ, comme si la lumière reçue par l'observateur mobile se concentrait vers sa direction de déplacement.
Lorsque la propagation u est parallèle à la vitesse V dans le référentiel R (θ = 0 ou π), alors la formule se réduit à : cos[θ'] = 1 ou -1, ce qui induit : θ' = 0 ou π, et il n'y a pas d'effet d'aberration.
Lorsque u est perpendiculaire à V dans le référentiel R (θ = π/2), alors la formule se réduit à : cos[θ'] = -V/c, ce qui induit : θ' > π/2 (et le piéton doit incliner son parapluie vers l'avant).
Lorsque V est petit devant c, il n'y a pas d'effet d'aberration (θ' = θ).

Age de l'univers

L'âge de l'univers est la durée écoulée depuis le Big Bang. La meilleure approximation actuelle est donnée par : 1 / H0
où H0 est la constante de Hubble (voir Loi de Hubble),
ce qui donne un âge d'environ 13 milliards d'années.

Cône de lumière et Genre d'un vecteur

Image Relativite : Cone de lumiere

Le cône de lumière est une notion fondamentale de la Relativité Restreinte, permettant la distinction entre un événement passé, un événement futur et un événement inaccessible (dans le passé ou dans le futur). Si un signal lumineux part du point origine O pour aller au point M de coordonnées (x, y, z), alors le lieu des trajectoires des rayons lumineux issu de O dans l'Espace-temps sera un hypercône d'équation : c2 t2 = x2 + y2 + z2, appelé Cône de lumière (voir Figure ci-dessus, pour laquelle x représente de façon simplifiée les trois coordonnées spatiales x, y et z).

Un vecteur quelconque v de l'Espace-temps est dit :
- du genre temps lorsque le Produit scalaire v.v < 0. C'est le cas du vecteur tangent à la trajectoire d'une particule de masse non nulle. Deux événements de l'Espace-temps peuvent être reliés par une information allant à une vitesse inférieure à celle de la lumière.
- du genre lumière (ou vecteur lumière ou vecteur isotrope) lorsque le Produit scalaire v.v = 0 avec v0. C'est le cas du vecteur tangent à la trajectoire d'une particule de masse nulle (photon par exemple). Deux événements de l'Espace-temps peuvent être reliés par une information allant à la vitesse de la lumière.
- du genre espace lorsque le Produit scalaire v.v > 0. C'est le cas du vecteur ni genre temps ni genre lumière. Deux événements de l'Espace-temps ne peuvent pas être reliés par une information allant à la vitesse de la lumière.
Par définition, les vecteurs du genre temps, lumière et espace sont situés respectivement à l'intérieur, sur la surface et à l'extérieur du cône de lumière.

Contraction des indices

L'opération de contraction des indices d'une composante mixte d'un Tenseur consiste à choisir deux indices, l'un covariant, l'autre contra-variant, puis à les égaler et à sommer par rapport à cet indice deux fois répété.
Par exemple, pour un tenseur U d'ordre 3 dont les composantes mixtes sont Uijk, on obtient : Wi = Uikk = Ui11 + Ui22 + ... Uinn
Les quantités Wi ainsi obtenues, composantes contractées du tenseur U, forment les composantes d'un tenseur W d'ordre 1.
A noter que l'opérateur "produit matriciel" est un cas particulier du produit tensoriel Uij * Vkl contracté sous la forme : Wil = Uik Vkl

Convention de dérivée partielle

Afin d'alléger les expressions des dérivées des fonctions dépendant de n variables f(x1, x2... xn), on note les dérivées partielles sous les formes suivantes :

f,i = di(f) = d(f)/d(xi)
f,i,j = dij(f) = d2(f)/(dxi dxj)
Δf = Laplacien de f = div(grad(f)) = f,1,1 + f,2,2 + ... + f,n,n

Convention de sommation (dite "convention d'Einstein")

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), tout vecteur x de cet espace peut s'écrire : x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en = Somme_pour_k_allant_de_1_à_n [xk ek]
Afin d'alléger cette écriture, on utilise une convention de notation consistant à supprimer le symbole "Somme", ce qui s'écrit sous forme condensée :

x = xk ek
où l'indice k (appelé indice muet) varie toujours de 1 à n.

La sommation s'effectue sur les indices à condition toutefois qu'ils soient répétés respectivement en haut et en bas dans un même monôme.
Quand le symbole prime est utilisé pour distinguer deux bases distinctes d'un même espace vectoriel, on peut encore simplifier la notation en plaçant le symbole prime sur l'indice plutôt que sur le vecteur : x = x'k e'k = xk' ek'
Certains termes d'une somme peuvent comporter plusieurs indices. Par exemple, dans la somme akm bm, la sommation se fait sur l'indice m. L'indice k (appelé indice libre) caractérise alors un terme particulier.
Ainsi, l'équation ck = akm bm pour n = 3 représente le système d'équations :
c1 = a11 b1 + a12 b2 + a13 b3
c2 = a21 b1 + a22 b2 + a23 b3
c3 = a31 b1 + a32 b2 + a33 b3
Il n'y a pas ici de sommation sur l'indice k, celui-ci se trouvant seul dans le même monôme.
Lorsque le monôme comporte plusieurs indices muets, la sommation se fait à la fois sur tous ces indices. Par exemple, akm bm ck pour n = 4 représente une somme de 16 termes :
akm bm ck = a11 b1 c1 + a12 b2 c1 + a13 b3 c1 + a14 b4 c1 + ... + a21 b1 c2 + ... + a44 b4 c4

Courbure

Image Relativite : Courbure

Le mot "courbure" a plusieurs significations en Relativité :

Tenseur de courbure (ou tenseur de Riemann-Christoffel) de l'Espace-temps, qui est un Tenseur d'ordre 4.

Tenseur de Ricci de l'espace-temps, qui est un Tenseur d'ordre 2.

Courbure scalaire R de l'espace-temps, qui est un Tenseur d'ordre 0 (scalaire).

Courbure k* des hypersurfaces spatiales (liée au paramètre de courbure spatiale k) qui est un scalaire utilisé dans la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. A ne pas confondre avec la Courbure scalaire R de l'espace-temps.

Les trois premières courbures dépendent uniquement des potentiels de gravitation gab et de leurs dérivées premières et secondes par rapport aux coordonnées. En Métrique de Minkowski, elles sont toutes nulles et correspondent à l'espace-temps plat de la Relativité Restreinte.

Courbure scalaire (ou invariant scalaire)

La courbure scalaire de l'espace-temps est un nombre (R) de dimension m-2 obtenu par Contraction du Tenseur de Ricci sous la forme :

R = gij Rij = Rii

Covariance d'une loi physique (ou principe de Relativité Générale)

Image Relativite : Covariance d'une loi physique

La covariance générale d'une loi physique n'a rien à voir avec la Covariance des composantes d'un tenseur. Le mot "covariance" ne se réfère pas à l'indice covariant d'un Tenseur mais indique seulement une écriture de la loi physique qui reste invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées (invariance par difféomorphisme) [AMI Initiation_aux_Tenseurs, p.18].
Lorsque la loi physique peut s'écrire sous la forme tensorielle : W = 0, ou ce qui revient au même : B = C avec W = B - C (W, B et C étant des Tenseurs de même type), alors tout changement de référentiel transforme cette équation sous la forme tensorielle : W' = 0
ce qui ne change pas la forme de la loi physique.
Si on prend pour exemple la loi de Newton : F = m γ, alors l'expression covariante de cette loi est en composantes contra-variantes [AMI Initiation_aux_Tenseurs, p.18] :
    Fi = m vi;t
avec : vi = dxi/dt
Le terme vi;t est la Dérivée covariante de la vitesse vi par rapport au temps t, laquelle vaut :
    vi;t = vi;k (dxk/dt) = vi,k (dxk/dt) + Γijk vj vk = dvi/dt + Γijk vj vk
où Γijk sont les Symboles de Christoffel.
A noter que les symboles de Christoffel ne sont tous nuls que dans le cas particulier de la Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski) avec coordonnées cartésiennes.
Si, de plus, la force F dérive d'un potentiel sous la forme : F = -grad(Φ), alors F peut s'écrire en composantes contra-variantes :

Fi = -gij dΦ/dxj = m ( d2xi/dt2 + Γijk (dxj/dt) (dxk/dt) )

où les gij sont les composantes contra-variantes du Tenseur métrique.
Sous cette forme tensorielle, la loi de Newton restera invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées (coordonnées sphériques par exemple).

Démonstration de la covariance :

Prenons l'exemple d'une loi physique écrite sous la forme de l'équation tensorielle : W = 0, W étant un Tenseur mixte d'ordre 2.
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k} et [B] = [A-1] la matrice de passage inverse.
Le changement de base transforme (voir Tenseur) les composantes Wij = 0 de cette équation en : W' ij = Bik Alj Wkl = 0
ce qui ne change pas la forme de la loi physique.

Covariance et contra-variance

Image Relativite : Covariance et contra-variance

Pour un espace vectoriel E de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on appelle (voir Figure ci-dessus) :

Composantes contra-variantes d'un vecteur x les nombres xi tels que : x = xi ei
Composantes covariantes les nombres xj tels que : xj = x.ej.

L'appellation contra-variante (resp. covariante) vient du fait que ces composantes se transforment, lors d'un changement de base, de manière inverse (resp. identique) à celle des vecteurs de base.
Les composantes contra-variantes sont notées avec des indices supérieurs.
Les composantes covariantes sont notées avec des indices inférieurs.
On a les relations suivantes :
xj = xi gij
xi = xj gij
x.y = gij xi yi
Lorsque les indices varient de 0 à 3, on emploie souvent les lettres grecques (telles que α ou μ) plutôt que les lettres latines (telles que i ou j).

A noter que les composantes covariantes xj peuvent se définir également dans une base Duale sous la forme : x = xj ej

où les ej sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel Dual E* (voir Figure ci-dessus).
Lorsque la base est orthonormée, il n'y a pas de différence entre composantes covariantes et contra-variantes.

Démonstration de l'appellation contra-variance (resp. covariance) :

On considère le changement de base {ei} = (e1, e2... en) vers la nouvelle base {e'k} = (e'1, e'2... e'n).
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k}.
Les éléments de [A] sont les Aik tels que : e'k = Aik ei
L'indice du haut est l'indice de ligne de la matrice. L'indice du bas est l'indice de colonne de la matrice.
Soit [B] = [A-1] la matrice de passage inverse de la base {e'k} à la base {ei} telle que : ei = Bik e'k
Pour les composantes contra-variantes, on a :
    x = xi ei
    x = x' k e'k = x' k (Aik ei) = (Aik x' k) ei)
    D'où : xi = Aik x' k
    Et donc : x' i = Bik xk
    Les composantes contra-variantes se transforment donc de manière inverse à celle des vecteurs de base (avec la matrice de passage inverse [B]).
Pour les composantes covariantes, on a :
    xj = x.ej
    x'k = x.e'k = x.(Ajk ej) = Ajk (x.ej) = Ajk xj
    Les composantes covariantes se transforment donc de manière identique à celle des vecteurs de base (avec la même matrice de passage [A]).

Dérivée covariante (ou gradient)

La dérivée covariante est l'expression générale de la dérivée qui reste invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées. Elle contribue à rendre Covariantes les lois physiques.
En utilisant la Convention de dérivée partielle et la Convention de sommation, pour tout Tenseur U d'ordre (n), sa dérivée covariante est le tenseur d'ordre (n + 1) de composantes suivantes (notées U ;l ou Dl U) :

Pour un scalaire : u;l = u,l
Pour un vecteur contra-variant : um;l = um,l + ur Γmrl
Pour un vecteur covariant : ui;l = ui,l - ur Γril
Pour un Tenseur d'ordre 2 contra-variant : Umn;l = Umn,l + (Urn Γmrl + Urm Γnrl)
Pour un Tenseur d'ordre 2 covariant : Uij;l = Uij,l - (Urj Γril + Uri Γrjl)
Pour un Tenseur d'ordre 2 mixte : Umi;l = Umi,l + Uri Γmrl - Umr Γril
...
Pour un Tenseur d'ordre 5 mixte : Umnijk;l = Umnijk,l + (Urnijk Γmrl + Urmijk Γnrl) - (Umnrjk Γril + Umnrik Γrjl + Umnrij Γrkl)

où Γijk sont les Symboles de Christoffel.

Dilatation des durées apparentes (ou Ralentissement des horloges mobiles)

Voir définition dans Temps et explication simple dans Qu'est-ce que la Relativité ?.

Divergence

La divergence d'un champ de vecteurs rend compte de la variation infinitésimale du volume (ou de la charge électrique) autour d'un point. La divergence d'un Tenseur généralise cette notion.
La divergence d'un tenseur U d'ordre (n) est le tenseur Div(U) d'ordre (n - 1) obtenu en Contractant un des indices de la Dérivée covariante avec l'indice de dérivation.
Pour un tenseur deux fois contra-variant, il y a deux divergences possibles : divergence à droite (composante Uij ;j) et divergence à gauche (composante Uij ;i). Les divergences ne sont égales que si le tenseur est symétrique ou antisymétrique.

Dual (espace, base ou vecteur)

Image Relativite : Base duale

L'espace dual E* d'un espace vectoriel E est l'espace des applications (ou formes) linéaires sur E.
Si E est de dimension n avec pour vecteurs de base l'ensemble {ei} = (e1, e2... en), alors l'ensemble des vecteurs de base de E* se note {ei} = (e1, e2... en) et vérifie les relations suivantes :

ei.ej = δij

où δ est le Symbole de Kronecker
Interprétation géométrique (voir Figure ci-dessus) : Le vecteur dual ei est orthogonal (par rapport au Produit scalaire) à tous les vecteurs ej d'indice j différent (ei.ej = 0) et possède un produit scalaire égal à 1 avec le vecteur ej de même indice (ei.ei = 1).
Tout vecteur x s'exprime donc dans chaque base sous la forme :
    x = xi ei
    x = xi ei
où xi et xi sont respectivement les composantes Covariantes et contra-variantes du vecteur x.

Démonstration des composantes covariantes :

La première forme implique que : x.ej = (xi ei).ej = xi δij = xj
qui est bien la définition des composantes covariantes xj du vecteur x.

Effet Doppler (ou Doppler-Fizeau)

Image Relativite : Doppler et FizeauImage Relativite : Effet Doppler

L'effet Doppler est le changement de fréquence d'un phénomène périodique induit par le mouvement de l'émetteur par rapport au récepteur. Dans le cas des ondes sonores par exemple, le son émis par une voiture qui s'approche est plus aigu que celui émis lorsqu'elle s'éloigne.
Prenons le cas général en Relativité Restreinte d'une onde lumineuse se propageant à la vitesse d'onde c.
Si f est la fréquence de l'onde perçue par un observateur S d'un référentiel R, alors tout observateur S' d'un référentiel R' en translation uniforme de vitesse V par rapport à R percevra cette même onde à la fréquence f' suivante.
u est le vecteur unitaire de la propagation SS' (voir Figure ci-dessus appelée "Aberration").

(D1) Effet Doppler longitudinal (u parallèle à V) :
    f' = f gamma (1 - (V.u)/c)
Lorsque V est petit devant c, on retrouve les formules approximatives non relativistes :
    f' = f (1 - (Vr.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse Vr = V) et émetteur immobile par rapport au milieu de la propagation
    f' = f / (1 - (Ve.u)/c) pour des récepteur immobile et émetteur mobile (vitesse Ve = -V) par rapport au milieu de la propagation
    f' = f (1 - (Vr.u)/c) / (1 - (Ve.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse Vr) et émetteur mobile (vitesse Ve) par rapport au milieu de la propagation (vitesse relative Vr - Ve = V).

(D2) Effet Doppler transversal à l'émission (u perpendiculaire à V dans R) :
    f' = f gamma

(D3) Effet Doppler transversal à la réception (u perpendiculaire à V dans R') :
    f' = f gamma-1

(D4) Effet Doppler (formule générale) :
Si la propagation u de la lumière fait avec la vitesse V un angle θ dans R ou θ' dans R', alors on a la relation :

f' = f gamma (1 - cos[θ] V/c) = f gamma-1 (1 + cos[θ'] V/c)-1

la relation entre les angles θ et θ' étant donnée par la formule d'Aberration.
Pour θ = θ' = 0° ou 180°, on retrouve la formule (D1) avec décalage vers le rouge ou vers le bleu selon que l'observateur de R' s'éloigne ou se rapproche de la source lumineuse de R.
Pour θ = 90°, on retrouve la formule (D2) avec décalage vers le bleu.
Pour θ' = 90°, on retrouve la formule (D3) avec décalage vers le rouge.
Lorsque V est petit devant c, on retrouve la formule approximative non relativiste :
    f' = f (1 - (Vr.u)/c) / (1 - (Ve.u)/c) pour des récepteur mobile (vitesse Vr) et émetteur mobile (vitesse Ve) par rapport au milieu de la propagation (vitesse relative Vr - Ve = V).

Démonstration partielle [ANN Electricité_2] :

Effet Doppler longitudinal (voir Figure dans Transformation de Lorentz-Poincaré) :
L'équation de l'onde lumineuse se propageant dans la direction Ox est la suivante pour l'observateur lié à R :
    s(x, t)= s0 cos[ 2 π f (t - x/c) ]
Pour l'observateur lié à R', elle devient s(x', t') en utilisant la transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
    (L1') x = gamma (x' + V t')
    (L2') t = gamma (t' + B x')
    (L3) gamma = 1 / (1 - V2/c2)1/2
    (L4) B = V / c2
D'où :
    s(x', t')= s0 cos[ 2 π f gamma (t'(1 - V/c) + x'(B - 1/c)) ]
La fréquence f' perçue est donc :
    f' = f gamma (1 - V/c)
L'Effet Doppler longitudinal est dit du premier ordre parce qu'il dépend de (1 - V/c). Il provoque une diminution de fréquence pour V > 0 (fuite de l'observateur par rapport à l'onde) et une augmentation dans le cas contraire.

Effet Doppler transversal à l'émission (voir Figure dans Transformation de Lorentz-Poincaré) :
L'équation de l'onde lumineuse se propageant dans la direction Oy est la suivante pour l'observateur lié à R :
    s(y, t)= s0 cos[ 2 π f (t - (y/c)) ]
Pour l'observateur lié à R', elle devient s(x', y', t') en utilisant la transformation inverse de Lorentz-Poincaré :
    (L0') y = y'
    (L2') t = gamma (t' + B x')
D'où :
    s(x', y', t')= s0 cos[ 2 π f gamma (t' + B x' - gamma-1 (y'/c)) ]
La fréquence f' perçue est donc :
    f' = f gamma
L'Effet Doppler transversal est dit du second ordre.

Effet Einstein (ou décalage spectral gravitationnel ou effet Doppler gravitationnel)

Image Relativite : EinsteinImage Relativite : Effet Einstein

La fréquence d'une source lumineuse produite dans un champ de gravitation est diminuée (donc décalée vers le rouge) quand elle est observée depuis un lieu où la gravitation est moindre. Il s'agit d'un pur effet de Relativité Générale et non d'un décalage par Effet Doppler.
En utilisant la Métrique de Schwarzschild centrée sur un corps massif (masse M) à symétrie sphérique, et dans le cas particulier d'une constante cosmologique nulle et d'un champ de gravitation dans le vide, la fréquence observée f' à la distance radiale r' est fonction de la fréquence produite f à la distance radiale r selon la loi :

f' = f ( (1 - r*/r)/(1 - r*/r') )1/2

où r* est le rayon gravitationnel (r* = 2 G M/c2).
Lorsque l'observateur est situé en un lieu de gravitation moindre que le lieu de la source (r' > r), on trouve (f' < f) correspondant à l'observation d'un décalage vers le rouge.

Equations d'Einstein

Image Relativite : Einstein

Voir Les équations d'Einstein

Equations de Friedmann

Image Relativite : Friedmann

Voir Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Equations (ou transformation) de Lorentz-Poincaré

Image Relativite : Poincare et Lorentz

Hendrik Antoon Lorentz a donné une version imparfaite de ces équations en 1899 puis 1904. Jules Henri Poincaré a publié les équations correctes en 1905, en les baptisant du nom de Lorentz. Voir Transformation de Lorentz-Poincaré

Equations de Maxwell

Image Relativite : Maxwell

Toute particule de charge q et de vitesse v, soumise à un champ électrique E et à un champ magnétique B, subit la force de Lorentz F_LORENTZ = q (E + v x B)

Les équations de James Clerk Maxwell précisent alors l'évolution des champs électromagnétiques E et B. Dans le vide, ils s'écrivent :

div(E) = ρ / ε0
rot(E) = - dB/dt
div(B) = 0
rot(B / μ0) = j + ε0 dE/dt

les deux densités ρ et j étant reliées par la relation de la conservation des charges : div(j) + dρ/dt = 0
E est le champ électrique (en m-1.V ou C-1.N ou kg.m.s-3.A-1)
B est le champ magnétique (en T ou kg.s-2.A-1)
j est la densité de courant (en m-2.A)
v est la vitesse de la particule (en m.s-1)
q est la charge électrique (en C ou s.A)
ρ est la densité de charge électrique (en m-3.s.A)
μ0 est la perméabilité du vide : μ0 = 4 π 10-7 kg.m.A-2.s-2
ε0 est la permittivité diélectrique dans le vide : ε0 = 1 / (μ0 c2)
c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 2,99792458 108 m.s-1)
Les opérateurs vectoriels utilisés sont les suivants :
v1.v2 et v1 x v2 : produit scalaire et produit vectoriel de deux vecteurs quelconques v1 et v2.
div(v) et rot(v) : divergence et rotationnel du vecteur quelconque v.

On démontre (ardument) que ces équations sont invariantes par rapport aux Equations de Lorentz-Poincaré.

Equation de Poisson

Image Relativite : PoissonImage Relativite : Force de gravitation

L'équation de Poisson a été établie par le mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson.
En gravitation universelle Newtonienne, le potentiel gravitationnel (non relativiste) ψ est relié à la masse volumique ρ par l'équation de Poisson :

Δψ = 4 π G ρ

où Δ est l'opérateur Laplacien (voir Convention de dérivée partielle).
et G est la constante de gravitation universelle (G = 6,6726 10-11 kg-1.m3.s-2).
ψ est de dimension m2.s-2

Démonstration :

Si g est le champ de gravitation produit en un point O de masse m par une source sphérique S de masse M située à la distance r de O, on a les relations suivantes :
    F = m g
    g = -u G M / r2
    g = -grad(ψ)
    ψ = -G M / r
F = force de gravitation exercée en O
u = vecteur unitaire de la ligne SO
Le champ g est par ailleurs caractérisé par les deux lois :
    div(g) = -4 π G ρ
    rot(g) = -rot(grad(ψ)) = 0
de façon analogue au champ électrique E par rapport au potentiel électrique V en l'absence de champ magnétique B :
    div(E) = ρ_charge / ε0
    rot(E) = 0
La première loi (div(g) = -4 π G ρ) résulte du Théorème de Gauss (pour toute surface S fermée, de volume V et de normale sortante n : Somme_sur_S[ g.n dS ] = -4 π G M = Somme_sur_V[ -4 π G ρ dV ]) associé au Théorème de divergence (Somme_sur_S[ g.n dS ] = Somme_sur_V[ div(g) dV ]).
D'où le résultat :
    -4 π G ρ = div(g) = div(-grad(ψ)) = -Δψ

Espace-temps

L'espace-temps est un espace à quatre dimensions où le temps n'est plus une grandeur séparée, indépendante de l'espace, mais une variable jouant le même rôle que les variables spatiales. La notion de Simultanéité n'est plus universelle.
Dans cet espace-temps, un point ou événement x(x, y, z, t) est repéré par un vecteur x à quatre dimensions appelé quadri-vecteur ou 4-vecteur dont les composantes sont notées :

- En coordonnées cartésiennes : x0 = ct ; x1 = x ; x2 = y ; x3 = z
- En coordonnées sphériques (r > 0, colatitude θ = [0, π], longitude φ = [0, 2 π]) : x0 = ct ; x1 = r ; x2 = θ ; x3 = φ

A noter que r n'a pas de sens physique. D'un point de vue géométrique, r donne l'aire (A = 4 π r2) des sphères d'invariance liées à la symétrie sphérique (sphères avec t = constante et r = constante). La coordonnée r est parfois appelée rayon aréolaire [GOU Relativité_Générale, p.59].

Si ei sont les vecteurs de base de cet espace-temps, la base {ei} est dite orthonormale (par rapport au Produit scalaire g) lorsque [GOU Relativité_Générale, p.26] :
    g00 = e0.e0 = -1
    gii = ei.ei = 1 pour i = 1 à 3
    gij = ei.ej = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
La matrice [gij] de cette base particulière, notée [ηij], est appelée matrice de Minkowski et correspond à l'espace-temps de la Relativité Restreinte en coordonnées cartésiennes.

Géodésiques

Image Relativite : Geodesiques

Pour une Métrique relativiste donnée, une géodésique est la courbe (ou trajectoire) de plus courte distance entre deux points donnés.
Les géodésiques décrivent donc le mouvement des particules libres (systèmes matériels ou photons), c'est-à-dire lorsqu'elles ne sont pas soumises à une force externe autre que la gravitation dans le cadre de la Relativité Générale.
John Archibald Wheeler, spécialiste américain de la Relativité Générale, dit : "La matière dit à l'espace-temps de se courber et l'espace-temps dit à la matière comment se déplacer".

Les équations tensorielles des géodésiques s'écrivent comme suit :

(d2xi / dp2) + Γilk (dxk/dp) (dxl/dp) = 0

où p est l'abscisse curviligne (ou paramètre affine) le long de la trajectoire
et Γijk sont les symboles de Christoffel.
On peut choisir pour p le Temps propre τ de la particule satisfaisant à : ds2 = -c22
Si le Tenseur métrique g est connu (et donc Γ), cette équation constitue un système de 4 équations différentielles du second ordre pour les 4 fonctions xi. D'après le théorème de Cauchy, ce système admet une solution unique si on se fixe les conditions initiales suivantes :
    xi(0) = quatre constantes arbitraires
    (dxi/dp)(0) = ui0
    ui0 étant quatre constantes vérifiant : gij ui0 uj0 = -c2

En Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski) avec coordonnées cartésiennes, les coefficients gij sont tous constants, ce qui annule tous les symboles de Christoffel. Les équations des géodésiques se réduisent alors à : d2xi / dp2 = 0 dont les solutions sont les lignes droites ordinaires : xi(p) = ai(p) p + bi

Ligne d'univers (ou trajectoire spatio-temporelle)

Image Relativite : Cone de lumiere

La ligne d'univers (ou trajectoire spatio-temporelle) d'une particule matérielle est une courbe de l'Espace-temps (ou chemin séquentiel d'événements) correspondant à l'histoire de la particule.
Par définition, les lignes d'univers des particules matérielles sont toujours situées à l'intérieur du Cône de lumière en un point donné (voir Figure ci-dessus). Ce sont des courbes quelconques de Genre temps (voir Cône de lumière). Elles ne sont des Géodésiques que lorsque la particule matérielle n'est soumise à aucune autre interaction que celle induite par le champ gravitationnel.

Limite Newtonienne

Image Relativite : Newton

L'Equation de Poisson de la gravitation Newtonienne (Δψ = 4 π G ρ) est un cas particulier des Equations d'Einstein qui correspond à un espace-temps isotrope spatialement, contenant un fluide parfait non relativiste (p << ρ c2), dans un champ gravitationnel faible (|ψ| << c2), et sans constante cosmologique (Λ = 0).
Cette limite Newtonienne fournit le coefficient de couplage (KHI = 8 π G/c4) utilisé dans les Equations d'Einstein ainsi que le rayon gravitationnel de Schwarzschild (r* = 2 G M c-2) utilisé dans la Résolution des équations d'Einstein avec la Métrique de Schwarzschild.

Démonstration complète (portant sur les dix équations d'Einstein) :

En champ gravitationnel faible, on peut toujours trouver un système de coordonnées (xi pour i = 0 à 3) = (ct, x, y, z) où les composantes de la métrique s'écrivent en prenant la convention de signe (- + + +) :
    (N1a) ds2 = -A2 c2dt2 + A-2 (dx2 + dy2 + dz2)
    (N1b) A = 1 + (ψ/c2)
où ψ désigne le potentiel gravitationnel Newtonien (ψ = -G M / r) satisfaisant : |ψ| << c2
On note o(B) la fonction "petit o de la quantité B au voisinage de 1" qui est la fonction négligeable de Landau.
Cette métrique s'écrit au premier ordre en ψ/c2 sous la forme équivalente suivante :
    (N2a) ds2 = -(1 + B + o(B2)) c2dt2 + (1 - B + o(B2)) (dx2 + dy2 + dz2)
    (N2b) B = 2 (ψ/c2) = -2 G M c-2 / r = B(r)
On notera les relations utiles suivantes :
    (N3a) r B,i = r dB/dxi = r (dB/dr)(dr/dxi) = -B (xi/r) = o(B)
    (N3b) r2 B,i,j = r2 d(B,i)/dxj = -xi r2 d(B r-2)/dxj = 3 B (xi/r) (xj/r) = o(B)
    (N3c) Théorème de Schwartz : B,i,j = B,j,i
    (N3d) B,i,0 = B,0 = 0

Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique sont alors les suivants :
    (P1a) g00 = -(1 + B + o(B2)) = -1 + o(B)
    (P1b) g11 = g22 = g33 = (1 - B + o(B2)) = 1 + o(B)
    (P1c) gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
Les potentiels de gravitation gij du Tenseur métrique inverse sont alors les suivants tels que : gij gjk = δik
où δ est le Symbole de Kronecker.
    (P2a) g00 = 1/g00 = -1 + o(B)
    (P2b) g11 = g22 = g33 = 1/g11 = 1 + o(B)
    (P2c) gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3
On notera la relation utile suivante :
    (P3) r gii,k = -r B,k + o(B2)

Les Symboles de Christoffel Γijk s'écrivent ensuite par les relations : Γijk = Γikj = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)
Compte-tenu de la relation (P2c), ces relations se simplifient en :
    (S1a) Γijk = Ki Gijk
    (S1b) Ki = (1/2) gii
    (S1c) Gijk = gik,j + gij,k - gjk,i
Quatre cas distincts sont à considérer selon les valeurs de i, j et k.
Compte-tenu des relations (P3)(P2b)(P1c), ces cas s'écrivent au premier ordre en B (sans le terme o(B2)) :
Cas 1 où (i = 0) et (j = 0)
    Exemples : (ijk) = (000), (001), (010)
    Gijk = g0k,0 + g00,k - g0k,0 = g00,k = -B,k
    Γ00k = Γ0k0 = (-1/2) g00 B,k
Cas 2 où (i ≠ 0) et (j = i)
    Exemples : (ijk) = (101), (110), (111)
    Gijk = gik,i + gii,k - gik,i = gii,k = -B,k
    Γiik = Γiki = (-1/2) g11 B,k
Cas 3 où (i ≠ j) et (j = k)
    Exemples : (ijk) = (011), (100)
    Gijk = gik,k + gik,k - gkk,i = -gkk,i = B,i
    Γikk = (1/2) gii B,i = (1/2) g11 B,i
Cas 4 où (i, j et k tous différents)
    Exemples : (ijk) = (012), (102)
    Gijk = gik,j + gij,k - gjk,i = 0
    Γijk = 0
Compte-tenu des relations (P2a)(P2b)(N3a)(N3b), on notera les relations utiles suivantes :
    (S2a) r Γijk = o(B)
    (S2b) r2 Γijk,l = o(B)
    (S2c) Γijk,0 = 0

Les composantes Rij du Tenseur de Ricci s'écrivent ensuite par les relations : Rij = Rkikj = (Γkij,k - Γkik,j) + (Γkkl Γlij - Γkjl Γlik)
Compte-tenu des relations (S2a)(S2b), ces relations se simplifient en :
    (T1) r2 Rij = r2 Rji = r2kij,k - Γkik,j) + o(B2)
D'où l'expression de chaque Rij au premier ordre en B :

Composante R00 :
Compte-tenu de la relation (S2c) et du Cas 3 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γk00,k = Γ000,0 + [Γk00,k]pour_k≠0 = 0 + Somme_pour_k≠0[(1/2) g11 B,k,k] = (1/2) g11 ΔB
S2 = Γk0k,0 = 0
R00 = S1 - S2 = (1/2) g11 ΔB = (1/2) ΔB

Composante Rii pour (i≠0) :
Compte-tenu de la relation (S2c) et des Cas 2, 3 et 1 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γkii,k = Γiii,i + Γ0ii,0 + [Γkii,k]pour_k≠i_et_k≠0 = (-1/2) g11 B,i,i + 0 + Somme_pour_k≠i_et_k≠0[(1/2) g11 B,k,k] = (-1/2) g11 (2 B,i,i - ΔB)
S2 = Γkik,i = Γ0i0,i + [Γkik,i]pour_k≠0 = (-1/2) g00 B,i,i + Somme_pour_k≠0[(-1/2) g11 B,i,i] = (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,i
Rii pour (i≠0) = S1 - S2 = (1/2) (g00 + g11) B,i,i + (1/2) g11 ΔB = (1/2) ΔB = R00

Composante Rij pour (i≠j) :
Compte-tenu des relations (S2c)(N3d)(N3c) et des Cas 4, 2 et 1 ci-dessus, on obtient :
S1 = Γkij,k = S11 + S12
S11 = [Γkij,k]pour_k≠i_et_k≠j = 0 + 0
S12 = Γiij,i + Γjij,j
    Cas A : Si (i=0) et (j≠0) : S12 = Γ00j,0 + Γj0j,j = 0 + (-1/2) g11 B,0,j = 0
    Cas B : Si (i≠0) et (j=0) : S12 = Γii0,i + Γ0i0,0 = (-1/2) g11 B,0,i + 0 = 0
    Cas C : Si (i≠0) et (j≠0) : S12 = Γiij,i + Γjij,j = (-1/2) g11 B,j,i + (-1/2) g11 B,i,j = (-1/2) 2 g11 B,i,j
S1 = S11 + S12 = S12
S2 = Γkik,j = S21 + S22
S21 = Γ0i0,j = (-1/2) g00 B,i,j
S22 = [Γkik,j]pour_k≠0 = 3 (-1/2) g11 B,i,j
S2 = S21 + S22 = (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,j
Rij pour (i≠j) = S1 - S2 =
    Cas A : 0 - (-1/2) (g00 + 3 g11) B,0,j = 0
    Cas B : 0 - (-1/2) (g00 + 3 g11) B,i,0 = 0
    Cas C : (1/2) (g00 + g11) B,i,j = 0
Rij pour (i≠j) = 0 quel que soit le Cas A, B ou C.

La Courbure scalaire s'écrit ensuite par la relation : R = gij Rij
Compte-tenu de la relation (P2c), R se simplifie en :
    (C1) R = gii Rii
D'où l'expression de R au premier ordre en B :
R = g00 R00 + Somme_pour_i≠0[gii Rii] = g00 R00 + g11 (3 R00) = 2 R00 = ΔB

Le Tenseur d'Einstein s'obtient ensuite par la relation : Eab = Rab - (1/2) gab R + Λ gab
En remplaçant dans cette relation les expressions trouvées pour gij, gij, Rij et R, on obtient au premier ordre en B :
E00 = R00 - (1/2) g00 R + Λ g00 = ΔB - Λ
Eii pour (i≠0) = Rii - (1/2) g11 R + Λ g11 = Λ
Eij pour (i≠j) = Rij - (1/2) gij R + Λ gij = 0

Le Tenseur Energie-impulsion du Fluide Parfait de densité ρ et de pression p, s'obtient ensuite par la relation : Tij = (c2 ρ + p) ui uj + p gij
Dans le cas d'un espace-temps isotrope spatialement contenant un fluide parfait non relativiste (p << ρ c2), alors Tij s'écrit :
    T00 = ρ c2
    Les autres composantes Tij sont toutes nulles.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors par la relation : Eab = KHI Tab et donnent au premier ordre en B :
    ΔB - Λ = E00 = KHI T00 = KHI ρ c2
    Λ = Eii pour (i≠0) = KHI Tii = 0
    0 = Eij pour (i≠j) = KHI Tij = 0
Compte-tenu de la relation (N2b), la première équation s'écrit :
    Δψ = (1/2) KHI ρ c4 + (1/2) Λ c2
Dans le cas où la constante cosmologique est nulle (Λ = 0), les dix équations d'Einstein se réduisent alors à une seule équation (Δψ = (1/2) KHI ρ c4). En choisissant un coefficient de couplage KHI égal à : KHI = 8 π G/c4, on retrouve alors l'équation de Poisson de la gravitation Newtonienne (Δψ = 4 π G ρ).
En comparant le g00 de la métrique de Schwarzschild (g00 = -(1 - r*/r)) avec le g00 de la limite Newtonienne (g00 = -(1 + B)), on obtient le rayon gravitationnel de Schwarzschild : r* = 2 G M c-2

Loi de Hubble

Image Relativite : HubbleImage Relativite : Loi de Hubble

La loi de Edwin Powell Hubble énonce que les galaxies s'éloignent les unes des autres à une vitesse v d'expansion approximativement proportionnelle à leur distance d :

v = H(t) d

où H(t) est le paramètre de Hubble utilisé notamment dans les Equations de Friedmann.
La vitesse v n'est pas une vitesse physique. Elle traduit seulement la dilatation de l'Espace-temps qui provoque un mouvement d'ensemble des galaxies de l'univers. Ainsi, la Terre "recule devant la lumière" parce que l'espace-temps se dilate.
La valeur actuelle H(t) (appelée constante H0 de Hubble) vaut environ 70 (km/s)/Mpc, avec 1 pc = 1 parsec = 3,2616 années-lumière = 3,085677581 1016 m
Toute galaxie lointaine ayant même Temps propre que l'observateur (appelé temps cosmique), il n'y a pas d'effet de temps relatif (Effet Doppler-Fizeau) sur sa période de rayonnement mais un simple effet de retard différentiel sur la période du rayonnement reçu.
A ce mouvement d'ensemble se superposent les mouvements propres acquis par les galaxies du fait de leurs interactions gravitationnelles avec leurs voisines.

Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (ou métrique FLRW)

Image Relativite : Lemaitre-FriedmannImage Relativite : Robertson-Walker

La Métrique de Alexander Alexandrowitsch Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker est une Métrique relativiste correspondant à un espace-temps spatialement homogène et isotrope.
En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ = [0, 2 π]), cette métrique s'écrit en prenant la convention de signe (- + + +) :

ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 (1 - k r2)-1 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )

où k est une constante appelée paramètre de courbure de l'espace qui peut être plate (k = 0), fermée (k = 1) ou ouverte (k = -1) ;
et a(t) une fonction de t uniquement, appelée facteur d'échelle ou facteur de courbure ou rayon de l'univers (a(t) > 0).
La coordonnée r est sans dimension et le rayon (a) a la dimension d'une longueur.
Les potentiels de gravitation gij sont alors les suivants :

g00 = -1 ; g11 = a(t)2 (1 - k r2)-1 ; g22 = a(t)2 r2 ; g33 = a(t)2 r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Le signe de d(a)/dt renseigne sur l'évolution de l'univers : positif si expansion, négatif si contraction et nul si statique.
Les coordonnées spatiales (xi) décrivent alors des hypersurfaces spatiales de type espace euclidien (pour k = 0), hypersphérique (pour k = 1) et hyperbolique (pour k = -1), dont la courbure spatiale k* est constante et vaut : k* = 6 k a(t)-2
Pour k = 0, on retrouve la Métrique de Minkowski : ds2 = -c2dt2 + a(t)2 ( dr2 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2) )

Démonstration [GOU Relativité_Générale, p.194] :

Un espace-temps spatialement homogène et isotrope est équivalent à un espace maximalement symétrique de dimension 3 (ou encore à courbure k* constante spatialement) avec trois types possibles d'espaces maximalement symétriques selon la valeur de k* (non démontré ici) :
Si k* = 0, l'espace est l'espace R3 muni de la métrique euclidienne standard.
Sa métrique est la suivante :
    gij dxi dxj = dr2 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
Si k* > 0, l'espace est l'hypersphère S3 qui est la partie de R4 définie par : x2 + y2 + z2 + w2 = 1
où (x, y, z, w) désigne un élément générique de R4.
Cette définition est la transposition à 3 dimensions de la définition de la sphère bidimensionnelle S2 dans R3.
Sa métrique est la suivante :
    gij dxi dxj = dΧ2 + sin2[Χ] (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
    avec Χ = [0, π]
Si k* < 0, l'espace est l'espace hyperbolique H3 qui est la nappe supérieure de l'hyperboloïde à deux nappes de dimension 3 défini dans R4 par : x2 + y2 + z2 - w2 = -1
Sa métrique est la suivante :
    gij dxi dxj = dρ2 + sinh2[ρ] (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
    avec ρ > 0
En posant r = sin[Χ] = sinh[ρ], ces trois métriques se mettent sous une forme commune :
gij dxi dxj = dr2 (1 - k r2)-1 + r2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
avec k = 0 pour l'espace euclidien, k = 1 pour l'hypersphère et k = -1 pour l'espace hyperbolique.

Métrique de Minkowski

Image Relativite : Minkowski

La Métrique de Hermann Minkowski est une Métrique relativiste correspondant à l'espace-temps plat de la Relativité Restreinte. Cette métrique est solution des Equations d'Einstein sous les conditions Λ = 0 et Tab = 0 (vu que le Tenseur de courbure est nul, donc également le Tenseur de Ricci Rab).
Les coordonnées sont les suivantes en prenant la convention de signe (- + + +) :

En coordonnées cartésiennes :

ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2

correspondant aux potentiels de gravitation gij tels que :

g00 = -1 ; g11 = 1 ; g22 = 1 ; g33 = 1 ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3.

Cette métrique gij_MINK a les propriétés suivantes : gij = gji = gij = gji

En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ = [0, 2 π]) : ds2 = -c2dt2 + dr2 + r22 + r2 sin2[θ] dφ2
correspondant aux potentiels de gravitation gij tels que : g00 = -1 ; g11 = 1 ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3.

Métrique de Schwarzschild

Image Relativite : Schwarzshild

La métrique de Karl Schwarzschild est une Métrique relativiste correspondant au champ gravitationnel statique et à symétrie centrale. C'est le cas du Soleil et de nombreux astres. Le corps central est à symétrie sphérique et sans être nécessairement statique (par exemple une étoile pulsante qui oscille radialement ou une étoile qui s'effondre en un trou noir en maintenant sa symétrie sphérique). Le champ gravitationnel doit être par contre statique, même s'il ne l'est pas dans la zone où se trouve la matière. A noter que le champ gravitationnel est nécessairement statique en symétrie sphérique et dans le vide (théorème de Birkhoff).
En coordonnées sphériques (r > 0, θ = [0, π], φ = [0, 2 π]), cette métrique s'écrit en prenant la convention de signe (- + + +) :

ds2 = -e2 μ c2dt2 + e2 α dr2 + r22 + r2 sin2[θ] dφ2

où μ et α sont des fonctions uniquement de r.
Les potentiels de gravitation gij sont alors les suivants :

g00 = -e2 μ ; g11 = e2 α ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2[θ] ; gij = 0 pour i et j pris différents entre 0 et 3

Démonstration [GOU Relativité_Générale, p.116] :

La symétrie centrale sphérique du champ permet d'écrire la métrique sous la forme suivante :
ds2 = -N2 c2dt2 + A2dr2 + B2 (dθ2 + sin2[θ] dφ2)
où les composantes N, A et B sont des fonctions de r et de t.
La staticité du champ permet ensuite de supprimer la dépendance de t dans ces composantes.
Par ailleurs, on peut toujours choisir comme coordonnée r le rayon aréolaire des sphères d'invariance liées à la symétrie sphérique.
D'où les résultats :
N(r,t) = N(r) = eμ
A(r,t) = A(r) = eα
B(r,t) = B(r) = r

Métrique relativiste

Si (ds) est la distance (ou intervalle) entre deux événements infiniments voisins de l'Espace-temps, alors la métrique relativiste est le "carré" de cette distance et s'écrit :

ds2 = gij dxi dxj

Dans l'Espace-temps courbe de la Relativité Générale, cette métrique peut être négative, nulle ou positive, et s'écrit en coordonnées cartésiennes :
ds2 = g00 (c dt)2 + g01 (c dt) dx + g02 (c dt) dy + g03 (c dt) dz +
g10 dx (c dt) + g11 dx2 + g12 dx dy + g13 dx dz +
g20 dy (c dt) + g21 dy dx + g22 dy2 + g23 dy dz +
g30 dz (c dt) + g31 dz dx + g32 dz dy + g33 dz2
Les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.

Modèle cosmologique standard

Le modèle cosmologique qui décrit le mieux à l'heure actuelle l'histoire et le comportement de l'univers observable est le modèle standard de la cosmologie (ou modèle avec Big Bang ou modèle Λ-CDM signifiant "Λ Cold Dark Matter").
Ce modèle représente un univers (voir courbe C4 en Figure 1 ci-dessus) :
- spatialement homogène et isotrope à grande échelle (donc aussi à courbure spatiale constante). Voir Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.
- rempli d'un fluide parfait de pression généralement nulle (gaz de galaxies correspondant à : w = 0) et de densité ρ composée de matière chaude (relativiste ou rayonnement) et matière froide (non relativiste).
- dont la courbure spatiale est nulle (k = 0).
- qui contiendrait, en plus de la matière ordinaire, de la matière noire (surplus de gravité dont les galaxies ont besoin pour ne pas se défaire durant leur rotation) et de l'énergie noire (force répulsive globale qui tend à accélérer l'expansion de l'univers et nécessitant : Λ > 0).
- issu d'une explosion primordiale telle que le facteur d'échelle a(t) tende vers 0 quand t tend vers 0 (modèle avec Big Bang).

Multiplicité des temps propres (ou Désynchronisation des horloges parfaites)

Image Relativite : Desynchronisation des horloges parfaites

La désynchronisation des horloges parfaites est la prédiction la plus extraordinaire et contre-intuitive de la Relativité Restreinte. La version la plus étonnante de cette prédiction est le Paradoxe des jumeaux.
Cet effet fut décrit pour la première fois par Einstein en 1905 sous la forme suivante : "Si au point A, il y a deux horloges synchronisées et si nous déplaçons l'une d'elles à une vitesse constante v selon une courbe fermée qui revient à A, le déplacement étant complété en t secondes, alors à son arrivée à A, cette dernière retardera de (1/2) t (v/c)2 secondes sur l'horloge immobile (en négligeant les approximations du quatrième ordre en v/c et supérieurs) [EIN Sur_l'électrodynamique, parag.4]".
Einstein indique toutefois que ce résultat est valable si "nous faisons l'ypothèse que le résultat obtenu pour une ligne polygonale est également vrai pour une ligne courbe".
Ainsi, deux horloges associées à des Lignes d'univers distinctes seront en général désynchronisées lorsqu'elles se croiseront. Plus précisément, deux horloges parfaites (c'est-à-dire ne se déréglant jamais) et idéalement synchronisées vont se décaler si on les sépare avant de les réunir à nouveau. Le nombre de secondes comptée diffèrera d'une horloge à l'autre, le temps cumulé dépendant de la trajectoire suivie par chaque horloge. Si le référentiel n'est pas inertiel, le décalage correspondra à une avance ou à un retard.

Mais qu'en est-il de l'explication rationnelle de cet effet ? Les avis sont rares et partagés, notamment :
- Pierre Spagnou, auteur scientifique, enseignant à l'ISEP, explique : "L'effet est chrono-géométrique : ce ne sont pas les horloges qui se dérèglent mais les "longueurs" temporelles qui ne se conservent pas lors de nos déplacements, contrairement au cadre cinématique classique." [SPA Einstein_et_la_révolution, p.23]
- Henri Bergson, philosophe français, explique : "On nous dit que, si deux horloges identiques et synchrones sont au même endroit dans le système de référence, si l'on déplace l'une et si on la ramène près de l'autre au bout du temps t (temps du système), elle retardera sur l'autre horloge. Il faudrait en réalité dire que l'horloge mobile présente ce retard à l'instant précis où elle touche, mouvante encore, le système immobile, et où elle va y rentrer. Mais aussitôt rentrée, elle marque la même heure que l'autre..." [BER Durée, p.208].
A noter que nous n'avons pas trouvé à ce jour d'explication de cet effet qui soit intuitivement satisfaisante (comme l'est par exemple celle de la Dilatation des durées apparentes donnée par Poincaré [POI L'Etat, p.311]).

Opérateurs élémentaires sur les tenseurs

Soient U, V et W des Tenseurs d'ordre quelconque et de valence quelconque portant sur les indices i,j,k,l...
En utilisant la Convention de sommation, on définit les opérations élémentaires suivantes sur ces Tenseurs :

Somme (Wijk = Uijk + Vijk) de composantes : Wijk = Uijk + Vijk

Produit par un scalaire s (Wijk = s Uijk) de composantes : Wijk = s Uijk

Produit scalaire (W = Uij.Vij) de composante : W = Uij Vij

Produit tensoriel (Wijkl = Uij * Vkl) de composantes : Wijkl = Uij Vkl

Dérivée covariante

Divergence

Elévation d'indice :
    Un indice inférieur peut être changé en un indice supérieur par multiplication avec le Tenseur métrique inverse gij. Exemples :
    Uik = gij Ujk
    Uik = gil gkm Ulm

Abaissement d'indice :
    Un indice supérieur peut être changé en un indice inférieur par multiplication avec le Tenseur métrique gij. Exemples :
    Uik = gij Ujk
    Ulm = gjl gkm Ujk
    Uklm = glp Ukpm

Contraction des indices

Changement de base. Voir Tenseur.

Paradoxe des jumeaux (ou paradoxe des horloges ou voyageur de Langevin)

Image Relativite : Paradoxe des jumeaux

Dans le paradoxe des jumeaux, l'un des jumeaux reste sur Terre tandis que son frère effectue un voyage spatial à une vitesse proche de la lumière puis revient sur Terre. Il faut alors considérer trois référentiels inertiels : celui du jumeau "au repos", celui du jumeau voyageur lors de l'aller et celui du jumeau voyageur lors du retour. Il n'est plus contesté à ce jour que les horloges des deux référentiels successifs du jumeau voyageur indiquent au total une durée plus courte que celle du jumeau au repos (Multiplicité des temps propres) et le paradoxe n'en est plus un. Peu d'auteurs cependant produisent une démonstration de ce phénomène qui soit physiquement acceptable, avec des Quadri-accélérations non infinies aux points de rupture de la trajectoire spatio-temporelle du jumeau voyageur [GOU Relativité_Restreinte, p.41].
A noter que le Principe d'équivalence combiné à la Multiplicité des temps propres prédite par la Relativité Restreinte, conduit à prédire une multiplicité de temps propres là où il y a multiplicité des potentiels gravitationnels. Deux horloges parfaites placées en des lieux de potentiels gravitationnels différents n'enregistreront pas des temps cumulés identiques. On peut parler de "Paradoxe des jumeaux bis" : deux jumeaux vivant à des altitudes différentes n'enregistreront pas la même durée.

Mais qu'en est-il du vieillissement des deux jumeaux ? Peut-on dire que le jumeau voyageur revient sur Terre "plus jeune" que le jumeau sédentaire ? Les avis sont très partagés :
- Poincaré ne parle nulle part du temps biologique et affirme que "les propriétés du temps ne sont que celles des horloges".
- Einstein affirme que le temps physique mesuré par les horloges est le temps réellement vécu par les habitants liés à un référentiel donné.
- Thibault Damour, phycisien de la Relativité, affirme que, même si le jumeau voyageur revient sur Terre plus jeune que le jumeau sédentaire, il n'en vivra pas plus longtemps pour autant. La meilleure image est celle de la cryogénie. Tout se passe comme si, au lieu d'envoyer un des jumeaux dans l'espace, on l'avait mis dans un bloc de glace puis sorti par la suite. Le temps propre du jumeau voyageur est effectivement plus court que celui du jumeau sédentaire, mais il n'acquiert pas un supplément de "temps biologique", par exemple le nombre de battements de coeur.
- La plupart des astrophysiciens affirment que parler de temps biologique n'a pas de sens scientifique.

Principe d'équivalence

Image Relativite : Principe d'equivalence

Le principe d'équivalence est un des principes fondamentaux de la Relativité Générale. Il généralise le principe Newtonien d'égalité entre masse grave (ou gravitationnelle) et masse inerte (ou inertielle) en affirmant qu'un champ de gravitation est localement équivalent à un champ d'accélération.
Il s'énonce comme suit [GOU Relativité_Restreinte, p.709] : Les mesures physiques effectuées par un observateur "inertiel" dans un champ de gravitation uniforme sont en tout point identiques aux mesures effectuées par un observateur uniformément accéléré. Par "inertiel", on entend "dont la tajectoire est une droite de l'espace-temps de Minkowski et dont la Quadri-rotation est nulle".

Produit scalaire et norme

Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x et y s'écrit :

x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yi

où les coefficients gij sont les composantes du Tenseur métrique.
Certains auteurs utilisent également les deux autres notations suivantes :
x.y = <x, y> = g(x, y)

La norme ||x|| d'un vecteur x quelconque est la racine carrée de la valeur absolue du produit scalaire de x par lui-même :
||x|| = (|x.x|)1/2

Quadri-accélération

La quadri-accélération ou 4-accélération d'un point quelconque x de l'Espace-temps est le Quadri-vecteur a qui mesure la variation du champ de Quadri-vitesses u le long de la trajectoire du point. Ce vecteur de dimension m-1 est défini par la relation suivante [GOU Relativité_Restreinte, p.38] :

a = (1/c) du/dτ = ai ei

où τ est le Temps propre du point.
et ei sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel de dimension 4.

On a les propriétés suivantes :
a est orthogonal à u : a.u = 0
a est soit le vecteur nul soit un vecteur du Genre espace : a.a ≥ 0 (voir Cône de lumière)

Quadri-force

La quadri-force ou 4-force d'une particule matérielle est le Quadri-vecteur f défini par la relation suivante [GOU Relativité_Restreinte, p.313] :

f = dp/dτ

p est la Quadri-impulsion de la particule et τ son Temps propre
Ce vecteur est de dimension N ou kg.m.s-2.

On a les propriétés suivantes :
f = d(m c u)/dτ = m c2 a + c (dm/dτ) u
f.u = -c (dm/dτ)

Quadri-impulsion

La quadri-impulsion ou 4-impulsion d'une particule matérielle simple (sans spin ni structure interne) est le Quadri-vecteur p défini par la relation suivante [GOU Relativité_Générale, p.37] :

p = m c u

où m est la masse au repos (ou masse propre) de la particule et u sa Quadri-vitesse
Ce vecteur est de dimension kg.m.s-1 (analogue à une quantité de mouvement).

On a la propriété suivante :
p.p = -m2 c2

Quadri-vecteur

Voir Espace-temps.

Quadri-vitesse

La quadri-vitesse ou 4-vitesse d'un point quelconque x de l'Espace-temps est l'unique Quadri-vecteur unitaire u qui est tangent à la trajectoire du point et dirigé vers le futur. Ce vecteur sans dimension est défini par la relation suivante [GOU Relativité_Restreinte, p.36] :

u = (1/c) dx/dτ = ui ei

où τ est le Temps propre du point
et ei sont les vecteurs de base de l'espace vectoriel de dimension 4.

On a la propriété suivante :
u est un vecteur unitaire du Genre temps : u.u = -1 (voir Cône de lumière)

Simultanéité

En Relativité Restreinte, on démontre que deux événements situés en des lieux différents peuvent être simultanés dans un référentiel sans l'être dans un autre. La notion de simultanéité perd son caractère universel.

Démonstration :

Soit deux événements simultanés (x1, y1, z1, t1) et (x2, y2, z2, t2 = t1) dans le référentiel R. Dans le référentiel R' en translation uniforme par rapport à R, la durée (t'2 - t'1) entre ces deux mêmes événements s'écrit, compte-tenu des équations de Lorentz-Poincaré (L2) :
t'2 - t'1 = gamma ( (t2 - t1) - B (x2 - x1) ) = -gamma B (x2 - x1)
gamma et B étant donnés par les équations (L3) et (L4).
Lorsque les deux événements ne sont pas localisés aux mêmes points, la différence spatiale (x2 - x1) dans R n'est pas nulle. La différence temporelle (t'2 - t'1) dans R' n'est donc pas nulle malgré la simultanéité (t2 = t1) des deux événements dans R.

Symboles de Christoffel (ou de connexion)

Picture Relativity : Riemann, Christoffel and Ricci-Curbastro

Images ci-dessus de gauche à droite : Riemann, Christoffel et Ricci-Curbastro

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), les symboles de Christoffel Γijk (dits "de seconde espèce") représentent l'évolution des vecteurs de base en fonction de leur dérivée partielle. En utilisant la Convention de dérivée partielle et la Convention de sommation, cela s'écrit :

ej,k = Γijk ei

Γijk est symétrique par rapport aux indices inférieurs : Γijk = Γikj
Bien que possédant trois indices, les symboles de Christoffel de seconde espèce ne sont pas des Tenseurs mixtes d'ordre 3 car ils ne vérifient pas les critères de Tensorialité. Néanmoins, ils apparaissent abondamment dans des expressions qui représentent des Tenseurs (par exemple : Dérivée covariante, Divergence, Tenseur de Ricci).
A noter qu'il existe d'autres symboles de Christoffel Γijk (dits "de première espèce") définis par la relation : Γijk = glj Γlik, où les coefficients gjl sont les composantes du Tenseur métrique.

Γijk peut s'exprimer en fonction des vecteurs de base de l'espace Dual :

Γijk = ei.ej,k

Démonstration :

ei.ej,k = ei.ijk ei) = Γijk δii = Γijk

Γijk peut s'exprimer en fonction des composantes gij du Tenseur métrique :

Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)

Démonstration :

En dérivant gij = ei.ej par rapport à xk, on obtient :
gij,k = (ei,k).ej + ei.(ej,k) = (Γlik el).ej + ei.(Γljk el)
D'où le résultat :
gij,k = Γlik glj + Γljk gil
Une permutation circulaire des trois indices i, j, k donne alors les deux égalités suivantes :
gki,j = Γlkj gli + Γlij gkl
gjk,i = Γlji glk + Γlki gjl
Ce qui donne ensuite par combinaison linéaire :
gij,k + gki,j - gjk,i = 2 Γlkj gil
En multipliant les deux membres par gmi et en utilisant la relation gmi gil = δml, on obtient :
Γmkj = (1/2) gmi (gij,k + gki,j - gjk,i)
En renommant les indices (i en l et m en i), on obtient finalement :
Γijk = (1/2) gil (glk,j + glj,k - gjk,l)

Symbole de Kronecker

Image Relativite : Kronecker

L'expression du symbole δ de Kronecker est la suivante :

δij = δij = δij = 1 si i = j et 0 sinon.

Attention : le symbole de Kronecker n'est pas un Tenseur. On ne peut pas écrire par exemple que : δij = gik δkj = gij, ce qui est faux.

Symbole de Levi-Civita

Image Relativite : Levi-Civita

L'expression du symbole ε de Levi-Civita est la suivante :

εijkl... = εijkl... =
    0 si deux indices ou plus (i,j,k,l...) sont égaux
    +1 si (i,j,k,l...) est une permutation paire de (1,2,3,4...)
    -1 si (i,j,k,l...) est une permutation impaire de (1,2,3,4...)

Quand deux indices quelconques, égaux ou non, sont interchangés, le symbole est multiplié par -1 :
ε...i...l... = -ε...l...i...
Pour 3 indices (i,j,k) on a :
    εijk = +1 pour 123 ou 231 ou 312
    εijk = -1 pour 132 ou 213 ou 321
Pour 4 indices (i,j,k,l) on a :
    εijkl = +1 pour 1234 ou 1342 ou 1423 ou 2143 ... ou 4321
    εijkl = -1 pour 1243 ou 1324 ou 1432 ou 2134 ... ou 4312
ε permet notamment d'exprimer certaines opérations vectorielles sous forme compacte :
- Produit vectoriel (w = u x v) de composantes : wi = εijk uj vk
- Rotationnel (w = rot(u)) de composantes : wi = εijk uk,j
- Déterminant (d = det(u,v,w)) de composante : d = εijk ui vj wk

Temps et Durée

Temps propre et temps apparent
Chaque corps de référence a son temps propre. Ce temps propre (ou vrai) est le temps (τ) mesuré dans le référentiel où le corps est immobile. A l'inverse, le temps apparent (ou impropre ou relatif ou observé ou "mesuré") est le temps (t) mesuré dans un référentiel mobile par rapport à ce référentiel propre.
Temps propre et temps apparent sont donc deux temps distincts mesurés dans des conditions différentes.
Toutes les mesures sont réalisées par des horloges fixes dans leur référentiel et dont le mécanisme interne est généralement insensible au mouvement des référentiels. Une horloge atomique constitue une horloge idéale car le temps qu'elle fournit ne dépend quasiment pas des accélérations subies qui sont très faibles par rapport à l'accélération centripète d'un électron autour de son noyau atomique (de l'ordre de 1023 m.s-2).
Le temps propre τ d'une particule matérielle le long de sa trajectoire est définie par la relation :

dτ = (1/c) (-ds2)1/2

où ds2 est la Métrique relativiste.

Durée propre et durée apparente
En Relativité Restreinte, pour un référentiel donné, la durée propre (d0) est l'intervalle de temps qui sépare deux événements se produisant en un même lieu de ce référentiel. Dans tout autre référentiel, la durée est supérieure à la durée propre et s'appelle durée apparente (d). Certains auteurs parlent à ce propos de Dilatation des durées apparentes.

Temps biologique
Voir Paradoxe des jumeaux.

Démonstration de la relation : d > d0 [ANN Electricité_2] :

Soient deux événements se produisant dans le référentiel R en un même lieu de coordonnées (x, y, z) mais à des instants différents t1 et t2. La durée (propre) les séparant est : d0 = t2 - t1.
Pour un observateur du référentiel R' en translation uniforme à la vitesse V par rapport à R, les événements se produisent aux instants t1' et t2' donnés par les équations de Lorentz-Poincaré (L2) :
t1' = gamma (t1 - B x)
t2' = gamma (t2 - B x)
et séparés par la durée (apparente) : d = t2' - t1' = gamma (t2 - t1) = d0 / (1 - V2/c2)1/2
D'où : d > d0

Tenseur

Image Relativite : VoigtImage Relativite : Tenseur des contraintes

Le terme "tenseur" fut introduit par le physicien Woldemar Voigt pour représenter mathématiquement les tensions dans un solide (voir Figure ci-dessus).
Un tenseur est une fonction multilinéaire des coordonnées de l'espace, défini dans un espace vectoriel à n dimensions par nm composantes, où m est l'ordre du tenseur. Le tenseur d'ordre 0 est un scalaire et a une seule composante. Le tenseur d'ordre 1 est un vecteur à n composantes. Le tenseur d'ordre 2 est une matrice carrée à n2 composantes.
Tout tenseur possède également une valence ou type noté (h, q) où h est le nombre d'indices contra-variants (indiqués en position supérieure) et q le nombre d'indices Covariants (indiqués en position inférieure), tels que : m = h + q
Pour un tenseur quelconque W, ses composantes peuvent être contra-variantes (exemple : Wijk), covariantes (exemple : Wijk) ou mixtes (exemple : Wijk est un tenseur mixte d'ordre 3 avec un indice contra-variant i et deux indices covariants j et k).
Le calcul tensoriel a pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et les résultats des développements mathématiques sont ainsi invariants par changement de référentiel (voir Covariance d'une loi physique).

Changement de base :
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k} telle que : e'k = Aik ei, et [B] = [A-1] la matrice de passage inverse telle que : ei = Bik e'k
Pour un tenseur quelconque W d'ordre 2, en utilisant la multilinéarité de W et les propriétés de Covariance et Contra-variance, les composantes du tenseur sont données par les lois suivantes :
W'ij = Aki Alj Wkl
W' ij = Bik Bjl Wkl
W' ij = Bik Alj Wkl
Le changement de base transforme le tenseur W en un tenseur W' dont les composantes sont des combinaisons linéaires des composantes du tenseur origine.
Pour un tenseur quelconque W h fois contra-variant et q fois covariant, la loi générale est la suivante [GOU Relativité_Restreinte, p. 476] :

W' i1... ih j1... jq = (Bi1 k1) ... (Bih kh) (Al1 j1) ... (Alq jq) W k1... kh l1... lq

Dans les livres anciens, un tenseur est défini non pas comme une application multilinéaire mais comme un tableau de nombres W i1... ih j1... jq qui se transforme suivant cette loi lors d'un changement de base. Voir Tensorialité (critères).

Tenseur d'Einstein

Image Relativite : Einstein

Le tenseur d'Einstein (Eab) mesure la déformation locale de la chrono-géométrie de l'Espace-temps et représente sa courbure en un point donné. C'est un Tenseur d'ordre 2, symétrique et à Divergence nulle (Eab;a = 0).
Ses composantes sont données dans Les équations d'Einstein.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.

Tenseur de courbure (ou de Riemann-Christoffel)

Image Relativite : Riemann, Christoffel et Ricci-Curbastro

Images ci-dessus de gauche à droite : Riemann, Christoffel et Ricci-Curbastro

Le tenseur de courbure est un Tenseur symétrique d'ordre 4. C'est la mesure la plus complète possible de la déformation locale d'un espace-temps courbe. Il comporte 44 = 256 composantes. En utilisant la Convention de dérivée partielle, ses composantes ont pour expression :

Rijkl = Γijl,k - Γijk,l + Γimk Γmjl - Γiml Γmjk

où Γijk sont les Symboles de Christoffel.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.
L'Espace-temps est dit "plat" quand le tenseur de courbure est nul.

On a les propriétés suivantes :
Antisymétrie : Rijkl = -Rijlk
Permutation d'indices seuls : Rijkl = -Rjikl = -Rijlk
Permutation d'indices deux à deux : Rijkl = Rklij
Première identité de Bianchi : Rijkl + Riklj + Riljk = 0, également écrit : Ri[jkl]
Seconde identité de Bianchi : Rijkl;m + Rijlm;k + Rijmk;l = 0, également écrit : Rij[kl;m]

Tenseur de Ricci

Image Relativite : Riemann, Christoffel et Ricci-Curbastro

Images ci-dessus de gauche à droite : Riemann, Christoffel et Ricci-Curbastro

Le tenseur de Ricci (Rab) est un Tenseur symétrique d'ordre 2 obtenu par Contraction du Tenseur de courbure sur les premier et troisième indices. C'est un Tenseur qui mesure également la déformation locale de l'espace-temps mais de façon incomplète.
En utilisant la Convention de dérivée partielle, ses composantes sont les suivantes :

Rij = Rkikj = Γkij,k - Γkik,j + Γkkl Γlij - Γkjl Γlik

où Γijk sont les Symboles de Christoffel.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-2.

Tenseur électromagnétique (ou tenseur de Maxwell ou tenseur de Faraday)

Les notations sont celles du paragraphe Equations de Maxwell
En Relativité Restreinte, la force de Lorentz (F_LORENTZ = q (E + v x B)) s'écrit sous une forme tensorielle dont les composantes sont les suivantes [GOU Relativité_Restreinte, p.538] : fi_LORENTZ = q Fij uj
f_Lorentz est la Quadri-force de Lorentz et u la Quadri-vitesse de la particule.

Fij est le tenseur électromagnétique. C'est un tenseur d'ordre 2.
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension m-1.V ou C-1.N ou kg.m.s-3.A-1 et s'écrivent [GOU Relativité_Restreinte, p.541] :

Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = -F0i = Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

Ei et Bi étant respectivement les composantes spatiales des champs électrique E et magnétique B.
Par élévation d'indice (voir Opérateurs élémentaires sur les tenseurs), on obtient les composantes des Tenseurs Fij et Fij sous la forme suivante [GOU Relativité_Restreinte, p.543] :

Fij = gik_MINK Fjk
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = F0i = Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

Fij = gil_MINK Fjl
Fii pour i ≥ 0 = 0
Fi0 pour i > 0 = -F0i = -Ei
F21 = -F12 = -c B3
F31 = -F13 = c B2
F32 = -F23 = -c B1

gij_MINK correspond à la Métrique de Minkowski.

Tenseur Energie-Impulsion

Le tenseur Energie-Impulsion (Tab) peut prendre des formes très variées selon la distribution de matière ou d'énergie. En exemple : le tenseur du fluide parfait ou celui de l'électromagnétisme.
Ses composantes ont la signification suivante :

T00 : densité d'énergie ou pression ou c2 fois la masse volumique
Ti0 = T0i pour i > 0 : (-c) fois la composante i de la densité de l'impulsion relativiste (densité de quantité de mouvement) ou (-1/c) fois la composante i du flux d'énergie (vecteur de Poynting φ pour un champ électromagnétique)
Tij pour i et j > 0 : composantes spatiales du tenseur des contraintes (Sij)

C'est un Tenseur d'ordre 2, symétrique et construit de telle manière que sa Divergence nulle (Tab;a = 0) exprime, en mécanique des milieux continus, les deux lois de conservation de l'impulsion et de l'énergie (3 équations pour le vecteur impulsion et une équation pour l'énergie).
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont de dimension kg.m-1.s-2

Tenseur Energie-Impulsion du champ ElectroMagnétique

Les notations sont celles du paragraphe Equations de Maxwell
Les composantes du tenseur Energie-Impulsion (Tab_EM) du champ ElectroMagnétique sont les suivantes [GOU Relativité_Restreinte, p.635] :

Tij_EM = ε0 (Fim Fmj - (1/4) gij Fkl Fkl)

Fij est le Tenseur électromagnétique.

En Relativité Restreinte (Métrique de Minkowski), les calculs donnent en coordonnées cartésiennes [GOU Relativité_Restreinte, p.636] :
    T00_EM = densité d'énergie = (1/2) ε0 (E.E + c2 B.B)
    Ti0_EM = T0i_EM pour i > 0 correspondant à (-1/c) fois φ avec φ = vecteur de Poynting = (1/ μ0) E x B
    Tij_EM pour i et j > 0 correspondant à Sij = ε0 ( (1/2) (E.E + c2 B.B) δij - (Ei Ej + c2 Bi Bj) )
où δ est le Symbole de Kronecker.

Tenseur Energie-Impulsion du Fluide Parfait

Un fluide est dit "parfait" quand on peut négliger les effets de viscosité et de conduction thermique, ce qui est le cas en cosmologie où l'expansion de l'Univers est supposée adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur).
Les composantes du tenseur Energie-Impulsion (Tab_PF) du Fluide Parfait sont les suivantes [GOU Relativité_Générale, p.114] :

Tij_PF = (ρ c2 + p) ui uj + p gij

où :
ρ c2 et p représentent respectivement la densité d'énergie et la pression du fluide, toutes deux mesurées dans le référentiel du fluide.
u est le champ unitaire qui représente en chaque point la Quadri-vitesse d'une particule de fluide (avec ui = gik uk et uj = gjk uk).

Lorsque l'observateur est co-mobile avec le fluide, les calculs donnent en coordonnées cartésiennes [GOU Relativité_Générale, p.114] :
    T00_PF = ρ c2
    Ti0_PF pour i > 0 = T0i_PF = 0
    Tij_PF pour i et j > 0 correspondant à Sij = p δij
où δ est le Symbole de Kronecker.

Le Fluide Parfait satisfait à la condition d'énergie faible lorsque : (ρ ≥ 0) et (ρ c2 ≥ -p), et à la condition d'énergie dominante lorsque : (ρ c2 ≥ |p|).

Tenseur métrique (ou fondamental)

Pour un espace vectoriel de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on note le Produit scalaire de deux vecteurs de base sous la forme :

gij = ei.ej

Le tenseur métrique est le Tenseur gij ayant pour composantes ces gij. C'est un Tenseur d'ordre 2, symétrique et à Divergence nulle (gab;a = 0). Ses 16 composantes gij (pour i et j pris entre 0 et 3) sont appelées potentiels de gravitation. Ce sont des fonctions de x, y, z et t
En coordonnées cartésiennes, toutes les composantes sont sans dimension.

Le tenseur métrique inverse est le Tenseur gij tel que :

gij gjk = gik = δik

où δ est le Symbole de Kronecker.
La composante gij peut se calculer comme suit (règle de Cramer) :
gij = Cofacteur_ji / g
avec g = Déterminant de la matrice gij
Cofacteur_ij = (-1)i+j Mineur_ij
Mineur_ij = Déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j dans la matrice gij

On démontre les résultats suivants :
gij gij = n
gij;k = gij;k = 0
gij gij,k = -gij gij,k

Tensorialité (critères)

Tout objet mathématique vérifiant l'un des critères de tensorialité suivants est un Tenseur.
Critère n°1 : tout objet défini de façon intrinsèque en tant que forme multilinéaire (voir Tenseur).
Critère n°2 : tout tableau de nombres qui se transforme lors d'un changement de base selon les formules de transformation requises (voir Tenseur).
Critère n°3 : tout résultat d'une Opération élémentaire ou d'une combinaison d'opérations élémentaires sur des Tenseurs (Somme, Produit... Dérivée covariante... Changement de base).

5. Bibliographie ( Paragraphe Précédent / Début )

Les auteurs cités dans ce chapitre y sont mentionnés entre crochets sous la forme [AUTEUR Titre].

  1. AMIOT Pierre, Initiation aux Tenseurs, 2012.
  2. ANDRILLAT H., La théorie de la relativité générale, Partie 1 : les fondements, Bulletin de l'Union des Physiciens, N°760 Janvier 1994.
  3. ANDRILLAT H., La théorie de la relativité générale, Partie 2 : la méthode, Bulletin de l'Union des Physiciens, N°762 Mars 1994.
  4. ANNEQUIN R. et BOUTIGNY J., Electricité 2, Cours de sciences physiques, Vuibert, 1974.
  5. BERGSON H., Durée et simultanéité - A propos de la théorie d'Einstein, PUF, 1968.
  6. EINSTEIN A., Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, Vol. 322, N° 10, Band 17, p. 891-921, 1905.
  7. EINSTEIN A., Sur l'électrodynamique des corps en mouvement, traduction allemand-anglais sous le titre "On the Electrodynamics of Moving Bodies" de Meghnad Saha (Editions de l'Université de Calcutta en Inde, 1920). Puis traduction anglais-français par Cantons-de-l'Est en 2012.
  8. EINSTEIN A., Sur l'électrodynamique des corps en mouvement, traduction allemand-français de Maurice Solovine, Gauthier-Villars, 1925 puis 1965. Réimprimé aux Editions Jacques Gabay en 1994 puis 2005.
  9. EINSTEIN A., Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Inhalt, Annalen der Physik, Vol. 354, N° 7, Vierte Folge, Band 49, p. 769-822, 1916. Publié originellement en novembre 1915 sous forme de quatre articles, Sitzungsberichte der Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften (Berlin).
  10. EINSTEIN A., Les fondements de la théorie de la relativité générale, traduction allemand-français de Maurice Solovine, Hermann, 1933. Réimprimé aux Editions Jacques Gabay en 2009.
  11. GOURGOULHON E., Relativité restreinte - Des particules à l'astrophysique, EDP Sciences et CNRS Editions, 2010.
  12. GOURGOULHON E., Relativité générale, Observatoire de Paris, Universités Paris 6, 7 et 11, Ecole Normale Supérieure, cours UE FC5, 2013-2014.
  13. HARRISON E.R., Classification of uniform cosmological models, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 137, p.69-79, 1967.
        Correspondence with notations of this Webpage : μ = 1 + w ; R = a ; t = ct ; G = G c-2 ; Cv = A c-2.
  14. HLADIK J., Pour comprendre simplement la théorie de la Relativité, Ellipses, 2005.
  15. HLADIK J., Initiation à la Relativité restreinte et générale, Ellipses, 2013.
  16. KHARBEDIYA L.I., Some exact solutions of the Friedmann equations with the cosmological term, In Russian : Astron. Zh. Akad Nauk SSSR, Vol. 53, 1145-1152, 1976.
        English translation by R.B. Rodman in Soviet Astronomy of the American Institute of Physics, Vol. 20, N°6, p.647-650, Nov.-Dec. 1976.
        Correspondence with notations of this Webpage : case (r or d) = w (1/3 or 0) ; R = a ; t = ct ; h = k ; A or B = 3 A c-2 ; μ = KHI ; ρr or ρd = ρ0 c-2 ; Λcr = ΛF.
  17. LEVY-LEBLONG J.M., One more derivation of the Lorentz transformation, American Journal of Physics, Vol. 44, N°3, March 1976.
  18. POINCARE H., L'Etat actuel et l'Avenir de la physique mathématique, Bulletin des sciences mathématiques, Vol. 28, p. 302-324, 1904.
  19. SPAGNOU P., Einstein et la révolution relativiste, Bibnum Physique, Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 2014.


Copyright © 2005 Régis Petit.         CopyrightFrance.com        Dernière mise à jour de la page : 13 décembre 2017.